安徽省泗县二中2020学年高一数学12月月考试题(无答案)新人教A版

泗县双语中学2012—2013学年第一学期第一次月考 高一数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合}4,2,1{=A ，}6,2{=B ，则A B ⋃等于 （ ）A.｛２｝B.｛１，２，４，６｝C.｛１，２，４｝D.｛２，６｝2.设集合}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}4,2{=B ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A.}4{B.}4,2{C.}5,4{D.}4,3,1{3．设{|10},3,M x x a =≤=则（ ）A ．a M ⊆B ．{}a M ≠⊂ C ．{}a M ∈ D ．a M ∉ 4．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,3,5}A =，{2,3}B =，则()U C A B ⋃=（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}2,4D ．{}2,3,45. 函数x x f 1)(=的定义域是 （ ）A.ＲB.}0|{≥x xC.}0|{>x xD.}0|{≠x x6．若()2f x x =，则()=-2f （ ） A ． 4 B ． 2 C ．21 D ．41 7．已知{1,2,3},A ≠⊂且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有（ ）个。

A ．6 B ．5 C ．4 D ．38. 设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则((1))f f -的值为（ ）A ．5B ．4C ．52D ．1- 9．集合{|04},{|02}P x x Q y y =≤≤=≤≤，下列对应不表示从P 到Q 的函数是（ ） A ．2:3f x y x →= B ．1:3f x y x →= C ．1:2f x y x →= D ．:f x y x →=10．若二次函数b x a x y +-+=)1(232在区间(,1]-∞上为减函数，那么（ ）A ．2a <-B 。

高一上学期12月月考数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2B. ()0,2C. [)02，D. (]0,2 2.与30-o 终边相同的角是 ( ) A. 330-oB. 30oC. 150oD. 330o3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 1-2BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA -u u u r u u u rC. 1-2BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA +u u u r u u u r4.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin cos θθ+的值的是（ ） A.43B.35C.45D.125.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（ ） A. [0，5]B. [5，10]C. [10，15]D. [15，20]7.设函数()()f x x R ∈满足()()sin ,f x f x x π+=+，当0x <π≤，()0f x =，则236f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A.123 C. 0D. 12-8.若函数()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. (][),11,-∞-+∞UB. 23,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),21,-∞-+∞UD. []2,1-9.若02x π<<，则tan 1x x <是sin 1x x <的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，所得到的图象对应的函数是（ ）A .奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数11.已知函数213()log (1)(0,1)12a xf x x x a a a =++++>≠-,如果3(log )2019f b =，其中0,1b b >≠，则13(log )f b =（ ）A. 2019B. 2017C. 2019-D. 2017-12.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈o)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.sin750︒= .14.若4log 3a =，则22a a -+= ．15.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）①图象C 关于直线12x π=对称；②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 16.已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知tan 2α=，计算(1)()()2cos cos 2sin 3sin 2παπαπαπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)33sin cos sin 2cos αααα-+ 18.（12分）已知函数11()142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 值域．19.（12分）已知函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数） （1）求()f x 的单调增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值；（3）求()f x 取最大值时x 的取值集合.20.（12分）已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值； （3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值.21.（12分）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+.（Ⅰ） 求,a b的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.高一上学期12月月考数学试卷答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级 姓名 座号密 封 装 订 线高一上学期12月月考数学试卷答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2 B. ()0,2 C. [)02， D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2.与30-o 终边相同的角是 ( ) A. 330-o B. 30oC. 150oD. 330o【答案】D 【解析】与30o -终边相同的角是k 36030k Z o n ，︒-∈. 当k =1时，36030330︒-=o o 故选D3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 1-2BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA -u u u r u u u rC. 1-2BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA +u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，用基底{},BC BA u u u r u u u r 表示向量CD uuu v.【详解】因为D 是△ABC 边AB 上的中点，所以1122CD CB BD CB BA BC BA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢. 4.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin cos θθ+的值的是（ ） A.43B.35C.45D.12【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式对式子进行化简，再由θ的范围求出4πθ+的范围，由正弦函数的性质求出式子的范围，结合选项选择正确答案即可．【详解】由题意得，sin θ+cos θ4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵θ为锐角，∴3444πππθ+＜＜，则124sin πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即14πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭A 符合， 故选：A ．【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质的应用，注意角的范围． 5.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小.【详解】解：1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>.故选A.【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题. 6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A. [0，5] B. [5，10]C. [10，15]D. [15，20]【答案】C 【解析】试题分析：函数()()504sin0202tF t t =+≤≤可看成由2t x =和()504sin F x x =+合而成，那么由22222t k k ππππ-≤≤+（k Z ∈）得44k t k ππππ-≤≤+，所以函数()()504sin 0202t F t t =+≤≤在[]4,4k k ππππ-+（k Z ∈）上单调递增，当1k =时，[]3,5t ππ∈，此时[][]10,153,5ππ⊆；故选C ．考点：1．三角函数的性质；2．函数模型的应用．7.设函数()()f x x R ∈满足()()sin ,f x f x x π+=+，当0x <π≤，()0f x =，则236f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.123 C. 0D. 12-【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为函数()(),f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x <π≤时，()0f x =，所以23171717111117()()()sin ()sin sin 6666666f f f f ππππππππ=+=+=++5511()sin sin 666f πππ=++1751117sin sin sin sin 6666ππππ+=++11112222=-+=，故选A ．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数()f x 满足()()sin f x f x x π+=+，当0x <π≤时，()0f x =，利用三角函数的诱导公式，即可求解23()6f π的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．8.若函数()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. (][),11,-∞-+∞UB. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (][),21,-∞-+∞UD. []2,1-【答案】C 【解析】 【分析】先由题意求出0223sin x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，进而得到f （x ）的范围，结合有零点列出不等式，得答案． 【详解】当0m =时，显然不满足题意；又∵()2sin 223f x m x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在零点， 令t 0223sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当05012x π≤≤，∴072336x πππ≤+≤，则012123sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．即012223sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，当0m >时，则f （x ）[]222m m ∈---，，则2022m m --≤≤-，即1m ≥， 当0m <时，则f （x ）[]222m m ∈---，，则2202m m -≤≤--，即2m ≤-， ∴实数m 的取值范围为(][),21,-∞-+∞U ． 故选：C .【点睛】本题考查y ＝Asin （ωx +φ）型函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，是中档题． 9.若02x π<<，则tan 1x x <是sin 1x x <的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】对tan x x 变形为sin cos x xx，利用()cos 0,1x ∈即可判断． 【详解】因为02x π<<，所以()cos 0,1x ∈，sin sin cos tan x xxx x x x >=所以tan 1x x <⇒t sin 1an x x x x <<，即tan 1x x <⇒sin 1x x <，当3x π=时，sin sin1333x x πππ==<，但是tan tan 1333x x πππ==>，所以sin 1x x <⇒ tan 1x x <，所以tan 1x x <是sin 1x x <的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，考查转化能力，属于基础题．10.把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，所得到的图象对应的函数是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律可得所得的图象对应的函数为y ＝＝sin 2x ，从而得出结论．【详解】把函数24y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π，所得的图象对应的函数为y ＝sin [2（x 8π+）4π-]＝sin 2x 的图象， 故所得函数为奇函数， 故选：A ．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．11.已知函数13()log )(0,1)12a x f x x a a a =++>≠-,如果3(log )2019f b =，其中0,1b b >≠，则13(log )f b =（ ）A. 2019B. 2017C. 2019-D. 2017-【答案】D 【解析】 【分析】由函数的解析式，化简得()()2f x f x +-=，进而根据3(log )2019f b =，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数213()log (1)(0,1)12a x f x x x a a a =++++>≠-， 则221313()()log (1)log (()1)21212a ax x f x f x x x x x a a -+-=+++++-++++=--，即313(log )(log )2f b f b +=，又由3(log )2019f b =，所以13(log )2017f b =-.故选D.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈o)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D 【解析】 【分析】由三角形OAD ，利用勾股定理可得半径，进而得AOD ∠，再利用OAB ACB OACB S S S ∆=-弓形扇形，乘以高即可得体积.【详解】连接,,OA OB OD ，设⊙O 的半径为R ， 则()22215R R -+=，所以13R =. 由于5sin 13AD AOD R ∠==， 所以22.5AOD ∠=︒，即45AOB ∠=︒. 所以OAB ACBOACB S S S ∆=-弓形扇形 2451311012 6.333602π⨯=-⨯⨯≈平方寸． ∴该木材镶嵌在墙中的体积为100633ACB V S =⨯≈弓形立方寸， 故选D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.sin750︒= . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．14.若4log 3a =，则22a a -+= ． 433【解析】详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=24223333a -+==考点：对数的计算 15.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）①图象C 关于直线12x π=对称；②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用正弦函数f （x ）＝3sin （2x 3π-）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可． 【详解】∵f （x ）＝3sin （2x 3π-）， ①：由2x 3π-=k π2π+（k ∈Z ）得：x 5212k ππ=+（k ∈Z ），∴f （x ）＝3sin （2x 3π-）的对称轴方程为：x 5212k ππ=+（k ∈Z ），当k ＝0时，x 512π=，k ＝﹣1时，x 12π=-，∴图象C 关于直线x 12π=对称是错误的，即①错误；②：∵f （23π）＝3sin （2233ππ⨯-）＝0， ∴图象C 关于点（23π，0）对称，即②正确；③：由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+得：k π12π-≤x ≤k π512π+（k ∈Z ），∴f （x ）＝3sin （2x 6π-）的增区间为[k π12π-，k π512π+]（k ∈Z ），当k ＝0时，[12π-，512π]为其一个增区间，故③正确；④：将y ＝3sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到y ＝3sin 2（x 3π-）＝3sin （2x 23π-）≠3sin（2x 3π-）＝f （x ），故④错误． 综上所述，②③正确． 故答案：②③．【点睛】本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．16.已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 【答案】(7,8) 【解析】 【分析】先画出函数()f x 的图象，把方程()f x a =有4个不同的实数根转化为函数()f x 的图象与y a =有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，要先画出函数()f x 的图象，如图所示， 又由方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的图象与y a =有四个不同的交点， 可得12341,6x x x x =+=，且3(2,3)x ∈， 则434123x x x x x x ++=3433366665x x x x x -+=+=+， 因为3(2,3)x ∈，则36(2,3)x ∈，所以434123x x x x x x ++(7,8)∈. 故答案为(7,8).【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程()f x a =有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知tan 2α=，计算(1)()()2cos cos 2sin 3sin 2παπαπαπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)33sin cos sin 2cos αααα-+【答案】(1)37-. (2) 16． 【解析】 【分析】直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵tan 2α=，(1)()()2cos cos 2sin cos 2tan 132cos 3sin 13tan 7sin 3sin 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪-+-+-⎝⎭===++⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. (2) ∵222222415sin tan sin sin cos tan αααααα===++，∴345sin sin αα= 33443sin cos tan 1sin cos 15554418sin 2cos 6sin 2cos tan 2555αααααααααα---====+++．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．18.已知函数11()142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域． 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可.（Ⅱ）12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域. 【详解】（Ⅰ）11()1342x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 112042x x ⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦Q . 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =,所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题. 19.已知函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数） （1）求()f x 的单调增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值； （3）求()f x 取最大值时x 的取值集合. 【答案】（1）36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，．（2）a ＝1．（3）{x |x 6k k Z ππ=+∈，}． 【解析】 【分析】（1）令 2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+，k ∈z ，求出x 的范围，即可求出f （x ）的单调增区间．（2）根据x 的范围求出2x 6π+的范围，即可求得sin （2x 6π+）的范围，根据f （x ）的最大值为2+a +1＝4，求出a 的值．（3）由相位的终边落在y 轴正半轴上求得使f （x ）取最大值时x 的取值集合． 【详解】（1）令 2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+，k ∈z ，可得 k π3π-≤x ≤k π6π+，k ∈z ， 故函数的增区间为：36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，． （2）当x ∈[0，2π]时，6π≤2x 766ππ+≤，12-≤sin （2x 6π+）≤1， 故f （x ）的最大值为2+a +1＝4，解得a ＝1． （3）当2x 262k πππ+=+，即x 6k k Z ππ=+∈，时，f （x ）取最大值，∴使f （x ）取最大值时x 的取值集合为{x |x 6k k Z ππ=+∈，}．【点睛】本题主要考查复合三角函数单调性的应用及最值的求法，属于中档题．20.已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值； （3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值.【答案】（1）cos α-（2）（3）25【解析】 试题分析：（1）利用诱导公式可化简； （2）代入已知()()sin cos 2f f παααα+=-，从而得1sin cos 8αα=，结合平方关系22sin cos 1αα+=可求得sin cos αα-值；（3）同样由诱导公式化已知为sin 2cos αα=-，代入平方关系22sin cos 1αα+=可求得2cos α，也即得()()sin cos 2f f παααα+=-的值．试题解析： （1）()()()cos sin )tan cos tan sin f ααααααα--==--.(2) cos sin 22f ππααα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()128f f παα⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，所以1cos sin 8αα⋅=，可得()23sin cos 4αα-=，结合5342ππα≤≤，cos sin αα>，所以()sin cos 22f f παααα⎛⎫++=-=-⎪⎝⎭（3）由（2）得()22f f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭即为sin 2cos αα=-，联立22sin cos 1αα+=，解得21cos 5α=，所以()22sin cos 2cos 25f f πααααα⎛⎫⋅+=-== ⎪⎝⎭. 点睛：诱导公式：公式一：2k πα+，公式二：πα+，公式三：α-，公式四：πα-，公式五：2πα-，公式六：2πα+，这六公式可统一写成：2k πα⋅±，k Z ∈，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．21.已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π 56π 43π 116π73π 176πy1- 1 3 1 1- 1 3（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）)31,3⎡+⎣ 【解析】 试题分析：(1)结合所给的数据描点绘图即可确定函数的图象，结合三角函数的性质可得1ω=．2,1A B ==,3πφ=-．函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)由题意结合函数的最小正周期公式可得3k =．结合正弦函数的性质讨论可得实数m 的取值范围是)31,3⎡+⎣． 试题解析：(1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=．又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩,令5262k ππωφπ⋅+=+，即5262k ππφπ+=+，k Z ∈， 据此可得：23k πϕπ=-，又2πφ<，令0k =可得3πφ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =． 令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．sint s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的条件是s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)1,3m ∈，即实数m 的取值范围是)1,3．点睛：已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+.（Ⅰ） 求,a b 的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）13a b ==，；（Ⅱ）1k >-；（Ⅲ）6. 【解析】 【分析】（Ⅰ）()f x 定义在R 上的奇函数，所以利用特殊值(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩求解,a b ，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数()f x 在R 上单调递减，然后再根据单调性将22(2)(2)f t t f t k -<-等价转化为2222t t t k ->-有解，即22k t t >+，求二次函数的最小值，即可解出实数k 的取值范围. （Ⅲ）首先根据[]1()()2(33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，()13()331xxf x -=+，解出()33,x xg x x R -=+∈，代入(2),()g x g x 得到解析式()22333311x x x x m --+≥⋅+-，令3+3x x u -=，（2u ≥），则9u m u+≥，利用基本不等式求最值求出m . 【详解】（Ⅰ）()f x Q 是R 上的奇函数，(0)0(1)(1)f f f =⎧∴⎨-=-⎩,113319a a a bb =⎧⎪⎪∴⎨--⎪=-⎪++⎩13a b =⎧∴⎨=⎩,当13a b ==，时，()13()331x x f x -=+, 此时()()1331()()331313x x x x f x f x -----===-++()f x ∴是奇函数成立. 13a b ∴==， ；（Ⅱ）任取12,,x x R ∈且12x x <，()()()2112121112233113131()()03313133131x x x x x x x x f x f x -⎛⎫--∴-=-=⋅> ⎪++++⎝⎭， 12()()0f x f x ∴->12()()f x f x ∴>,()f x ∴R 上为减函数.若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，则2222t t t k ->-有解22k t t ∴>+，当1t =-时，()2min21t t+=-，1k ∴>- ,（Ⅲ）[]1()()2(33)(0)3xx f x g x x -+=-≠Q , ()[]213113()233331x x x xg x --∴+=⋅+, 2(13)()23323x x x xg x -+∴+==++, ()33(0)x x g x x -∴=+≠，且(0)2g =也适合,()33,x x g x x R -∴=+∈ ,任意x ∈R ，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立,()22333311x x x x m --∴+≥⋅+-,令3x t ∴=0x R t ∈∴>Q ， 令13+3xxu t t-∴==+,任取12,,t t R ∈且12t t <，()211212121212121212111()()t t t t u t u t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫--∴-=+--=-+=- ⎪⎝⎭， 当()12,1+t t ∈∞，时，12()()u t u t <，()u t ∴上为增函数. 当()12,01t t ∈，时，12()()u t u t >，()u t ∴上为减函数.1t ∴=时min ()2u t =即2u ≥, ()22333311x x x x m --+≥⋅+-Q , ()22111t t m t t --∴+≥⋅+-,()()211211t t m t t --∴+-≥⋅+-,2211u m u ∴-≥⋅-，且2u ≥,9u m u∴+≥，同理9y u u ∴=+在()3+∞，上是增函数，在()23，上是减函数.3u ∴=时min9+6u u ⎛⎫= ⎪⎝⎭6m ∴≤,m ∴的最大值为6.【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题.。

高中2020年12月月考高一数学试题考试范围：第一章—第五章第3节 时间：120分钟 分值：150分一、单选题(每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分)1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．函数()f x = ） A ．()0,∞+B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．(]0,13．设1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，用二分法求方程1102xx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在(1,3)内近似解的过程中，(1)0f >，(1.5)0f <，(2)0f <，(3)0f <，则方程的根落在区间（ ）．A ．(2,3)B ．(1.5,2)C ．(1,1.5)D ．(1.5,3)4．“0t >”是“12t t+≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在直角坐标系中，已知角α的终边不在坐标轴上，则式子|sin ||cos ||tan |sin cos tan αααααα++的值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为( ) A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,107．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是( )A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃8．若存在负实数使得关于x 的方程121xa x -=-有解,则实数a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．0a >C ．01a <<D ．02a <<二、多选题(每小题有多个选项，选对得5分，选不全得3分，选错或不选得0分，共20分)9．设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．下列四个命题：①函数||y x =与函数y =表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)f x 的定义域为[0,4]；④设函数()f x 是在区间[],a b 上图像连续的函数，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在区间[],a b 上至少有一实根；其中正确命题的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．下列判断错误的是（ ） A ．若1sin 2α=，且α为第一象限角，则6πα= B ．若由2a ，2017a 组成的集合M 中有且仅有一个元素，则2017a = C ．若a b e e <，则ln ln a b <D ．若函数()y f x =在区间()3,1k k -+上具有奇偶性，则1k = 12．对任意两个实数a ，b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若2()2f x x =-，2()g x x =，下列关于函数{}()min (),()F x f x g x =的说法正确的是（ ）A ．函数()F x 是奇函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 有4个单调区间D ．函数()F x 有最大值为2，无最小值三、填空题 (每小题5分，共20分)13．设a b 、是实数，且23a b +=，则24a b +的最小值为 .14．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为______．15．已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________． 16．已知函数()1311xxe xf x e -+=+ (x ∈R 且1x ≠)的最大值为M ,最小值为m ,则M m +的值为___________.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）计算：（1）()()2223033201831228-⎛⎫⎛⎫-+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23log 27lg252lg27++-.18．（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，记扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，面积为S 扇形.若已知圆心角3πα=，扇形的周长为243π+，请求S 扇形和S 弓形. （Ⅱ）化简：()()()()()9sin cos 3cos cos 211cos 2sin sin sin 22ππαπαπααπππαπααα⎛⎫----+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？20．（本小题满分12分）已知函数()xf x b a =⋅（,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8)A ，(3,32)B （1）试求,a b 的值；（2）若不等式11()()0xxm a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()22f x x ax a =-+.（1）若对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立，求实数a 的值； （2）若()f x 在区间[)1,+∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值.22．（本小题满分12分）对于定义域为I 的函数，如果存在区间[]m n I ⊆，,同时满足下列条件：①()f x 在区间[]m n ，上是单调的；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，.则称[]m n ，是函数()y f x =的一个“美丽区间”.（1）证明：函数()430y x x=->不存在“美丽区间”. （2）已知函数222y x x -=+在R 上存在“美丽区间”，请求出他的“美丽区间”.（3）如果[]m n ，是函数()()2210aa x y a a x+-=≠的一个“美丽区间”，求n m -的最大值.【试题解析】一、单选题(每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分)1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8【答案】B【解析】阴影部分表示的集合为{}{}{}()4,6,7,82,4,64,6UA B ⋂=⋂=【点睛】此题考查了补集、交集及其运算，属基础题.2．函数()f x = ） A ．()0,∞+ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．(]0,1【答案】B【解析】由表达式有意义，即lg 0x ≥可得．【详解】由题意lg 0x ≥，1x ≥，定义域为[1,)+∞．故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．属于基础题．3．设1()12x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，用二分法求方程1102xx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在(1,3)内近似解的过程中，(1)0f >，(1.5)0f <，(2)0f <，(3)0f <，则方程的根落在区间（ ）．A ．(2,3)B ．(1.5,2)C ．(1,1.5)D ．(1.5,3)【答案】C【解析】根据方程在区间（a ，b ）上有零点，则f （a ）⋅f （b ）＜0，对各点的函数值的符号进行判断，即可得到答案．【详解】∵二分法求方程1102xx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在（1，3）内近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，(1)(1.5)0f f ⋅<故方程的根落在区间（1，1.5）故选：C ．【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，考查函数零点的判定定理，属于基础题. 4．“0t >”是“12t t+≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】()2201121200t t t t t t t t--++≥⇔≥⇔≥>⇔ ∴“0t >”是“12t t+≥”的充分必要条件．故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 5．在直角坐标系中，已知角α的终边不在坐标轴上，则式子|sin ||cos ||tan |sin cos tan αααααα++的值的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】分四种情况讨论角α的终边，分别可得所求代数式的值，从而可得结论.【详解】当α的终边在第一象限时，|sin ||cos ||tan |sin cos tan 3sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++=++=； 当α的终边在第二象限时，|sin ||cos ||tan |sin cos tan 1sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++=--=-； 当α的终边在第三象限时，|sin ||cos ||tan |sin cos tan 1sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++=--+=-； 当α的终边在第四象限时，|sin ||cos ||tan |sin cos tan 1sin cos tan sin cos tan αααααααααααα++=-+-=-， |sin ||cos ||tan |sin cos tan αααααα∴++的值的个数为2，故选：B.【点睛】考查分类讨论思想与三角函数值的符号判断，属基础题. 6．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为( ) A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,10【答案】C【解析】令1()()g x f x =，把已知函数解析式变形，令1t x =+变形，再由“对勾函数”的单调性求解. 【详解】令1()()g x f x =，22210(1)99()(1)111x x x g x x x x x ++++===+++++， 令1t x =+，则[1,9]t ∈，原函数化为9(19)y t t t=+≤≤，该函数在[1,3]上为减函数，在[3,9]上为增函数，又当1t =时，10y =，当3t =时，6y =，当9t =时，10y =.∴函数2210(),(08)1x x g x x x ++=≤≤+的值域为[]6,10，则函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.7．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是( )A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【解析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式.【详解】若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<.即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 8．若存在负实数使得关于x 的方程121xa x -=-有解,则实数a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．0a >C ．01a <<D ．02a <<【答案】D【解析】由已知，将a 分离得出121xa x =--.令1()2,(0)1x f x x x =-<-，a 的取值范围为()f x 在(,0)-∞的值域.【详解】由已知，将a 分离得出121xa x =--. 令1()2,(0)1x f x x x =-<-. 因为函数2xy =和11y x =--在(),0-∞上均为增函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数. 所以0()(0)2f x f <<=，a 的取值范围是(0,2).故选：D.【点睛】本题考查参数的取值范围，利用了函数与方程的思想，转化为()f x 在(,0)-∞的值域是本题的关键.二、多选题(每小题有多个选项，选对得5分，选不全得3分，选错或不选得0分，共20分)9．设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出2α满足的不等式，从而确定2α的终边所在的象限． 【详解】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；令21k n =+，n z ∈，有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题. 10．下列四个命题：①函数||y x =与函数y =表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)f x 的定义域为[0,4]；④设函数()f x 是在区间[],a b 上图像连续的函数，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在区间[],a b 上至少有一实根；其中正确命题的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】AD【解析】①||y x ==与||y x =两函数的定义域相同，对应法则相同，①正确；②举反例如函数1y x =，②错误；③求函数(2)f x 的定义域可判断③错误；④由根的存在性定理可判断正确．【详解】①函数||y x =的定义域为R ，函数||y x ==定义域为R ，两函数的定义域相同，解析式相同，①正确； ②函数1y x=为奇函数，但其图象不过坐标原点，②错误； ③函数()f x 的定义域为[0，2]，要使函数(2)f x 有意义，需022x ，即[0x ∈，1]，故函数(2)f x 的定义域为[0，1]，错误；④函数()f x 是在区间[a ．]b 上图象连续的函数，f （a ）f ⋅（b ）0<，则方程()0f x =在区间[a ，]b 上至少有一实根，④正确． 故选：AD【点睛】本题主要综合考查了函数的概念，函数的奇偶性及其图象，抽象函数的定义域求法，根的存在性定理，属于基础题．11．下列判断错误的是（ ） A ．若1sin 2α=，且α为第一象限角，则6πα= B ．若由2a ，2017a 组成的集合M 中有且仅有一个元素，则2017a = C ．若a b e e <，则ln ln a b <D ．若函数()y f x =在区间()3,1k k -+上具有奇偶性，则1k = 【答案】ABC【解析】逐个分析，对ABC 可举反例，对D 求解论证. 【详解】当26παπ=+时满足1sin 2α=，且α为第一象限角，所以A 错；当0a =时由2a ，2017a 组成的集合M 中有且仅有一个元素，所以B 错； 当1,0a b =-=时a b e e <，但ln a 没意义，所以C 错；因为函数()y f x =在区间()3,1k k -+上具有奇偶性，所以3+101k k k -+=∴=，故选：ABC 【点睛】本题考查象限角概念、对数真数范围以及函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属中档题. 12．对任意两个实数a ，b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若2()2f x x =-，2()g x x =，下列关于函数{}()min (),()F x f x g x =的说法正确的是（ ）A ．函数()F x 是奇函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 有4个单调区间D ．函数()F x 有最大值为2，无最小值【答案】BC【解析】写出函数解析式()()[]222,,11,(),1,1x x F x x x ⎧-∈-∞-+∞⎪=⎨∈-⎪⎩，结合函数图象即可得解.【详解】根据题意可得：()()[]222,,11,(),1,1x x F x x x ⎧-∈-∞-+∞⎪=⎨∈-⎪⎩，作出函数图象可得：所以该函数是偶函数，有三个零点x =±1时取得最大值为1，无最小值. 故选：BC【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，作出函数图象便于解题.三、填空题 (每小题5分，共20分)13．设a b 、是实数，且23a b +=，则24a b +的最小值为 .【答案】【解析】直接用均值不等式24a b +≥【详解】由题24a b +≥==，当24a b =时取最小值 【点睛】本题主要考查均值不等式a b +≥，以及指数运用m nm n a a a +⋅=．14．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(1,0)(1,3)-【解析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【详解】不等式()0xf x <等价为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，则13x <<，或10x -<<，故不等式()0xf x <的解集是(1,0)(1,3)-．故答案为：(1,0)(1,3)-．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．15．已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[4,8)【解析】根据函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则每一段都是增函数且1x =左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数,1()42,12xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，函数14024122a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<. 故答案为：[4,8)【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.16．已知函数()1311xxe xf x e -+=+ (x ∈R 且1x ≠)的最大值为M ,最小值为m ,则M m +的值为___________. 【答案】2 【解析】设13||()1x e xg x =+，得到()g x 为奇函数，得到max min ()()0g x g x +=，相加可得答案.【详解】()1313||1111xx xe x xf e x e -+==-++，函数的定义域为R ，设13||()1x e xg x =+，函数的定义域为R ，∴()||1133||()()11x x x xg x g x ee ---==-=-++，∴()g x 为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，max min min max ()1(),()1 (x) M f x g x m f x g ==-==-，()max min 2()()2M m g x g x ∴+=-+=，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题.五、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19．（本小题满分10分）计算：（1）()2230332018328-⎛⎫⎛⎫-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）7log 23log lg252lg27+-.【答案】（11；（2）32. 【解析】（1）由指数幂的运算性质即可求解.（2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意，（1）原式)4911194=+⨯+=；（2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=. 【点睛】本题考查了指数幂、对数的运算性质，需熟记运算性质，属于基础题.18．（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，记扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，面积为S 扇形.若已知圆心角3πα=，扇形的周长为243π+，请求S 扇形和S 弓形.（Ⅱ）化简：()()()()()9sin cos 3cos cos 211cos 2sin sin sin 22ππαπαπααπππαπααα⎛⎫----+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（Ⅰ）2,3S π=扇形23S π=弓形Ⅱ）tan α- 【解析】（Ⅰ）根据扇形弧长公式列方程，解得半径，再根据扇形面积公式求结果，最后减去三角形面积得S 弓形；（Ⅱ）先根据诱导公式化简，再约分得结果. 【详解】（Ⅰ）由周长2423R l π+=+及弧长3l R R πα==，可解得2R =，∴21223R S απ==扇形，又2OAB S R ∆==∴23OAB S S S π∆=-=弓形扇形（Ⅱ）原式()()()()()sin cos cos sin tan cos sin cos cos ααααααααα⋅-⋅-⋅-==-⋅-⋅⋅-.【点睛】本题考查扇形弧长公式、扇形面积公式以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】（1）1()(0),()8f x x x g x =≥=2）投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元；最大年收益为3万元.【解析】（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k =≥=，根据已知求出12,k k 即得解； （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20)x -万元，年收益为y 万元,得到20)8x y x =≤≤，再换元求出函数的最值即可.【详解】（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k =≥=12111(1),(1)()(0),()828f k g k f x x x g x ====∴=≥=（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20)x -万元，年收益为y 万元依题意得()(20)y f x g x =+- 即20)8x y x =+≤≤令t = 则220,[0,x t t =-∈则22082t t y -=+21(2)3,8t t =--+∈当2t = 即16x =时，收益最大，最大值为3万元,所以投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大，最大值为3万元.【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数最值的求法，考查二次函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.20．（本小题满分12分）已知函数()xf x b a =⋅（,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8)A ，(3,32)B （1）试求,a b 的值；（2）若不等式11()()0xxm a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2,4a b ==；（2）3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值. （2）将原不等式分离常数m ，利用函数的单调性，求出m 的取值范围.【详解】（1）由于函数()f x 图像经过(1,8)A ，(3,32)B ，所以3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得2,4a b ==，所以()2422xx f x +=⋅=.（2）原不等式11()()0x x m a b +-≥为11024xxm ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1124xxm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞时恒成立，而1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞时单调递减，故在1x =时1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最小值为11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故34m ≤.所以实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.21．（本小题满分12分）已知函数()22f x x ax a =-+.（1）若对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立，求实数a 的值； （2）若()f x 在区间[)1,+∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）1a =（2）1a ≤（3）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）由对任意的实数x 都有f （1+x ）＝f （1﹣x ）成立，可知：函数f （x ）的对称轴为x ＝1，即可得出a ；（2）函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1的图象的对称轴为直线x ＝a ．根据y ＝f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a ≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴x ＝a ，对a 分类讨论即可得出．【详解】（1）由题意知函数2()21f x x ax =-+的对称轴为1，即1a =（2）函数2()21f x x ax =-+的图像的对称轴为直线x a =;()y f x =在区间[)1,+∞上为单调递增函数，得，1a ≤（3）函数图像开口向上，对称轴x a =，当0a <时，1x =时，函数取得最大值为：max ()22f x a =- 当0a >时，1x =-时，函数取得最大值为：max ()22f x a =+当0a =时，1x =或－1时，函数取得最大值为：max ()2f x =【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（本小题满分12分）对于定义域为I 的函数，如果存在区间[]m n I ⊆，,同时满足下列条件：①()f x 在区间[]m n ，上是单调的；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，.则称[]m n ，是函数()y f x =的一个“美丽区间”.（1）证明：函数()430y x x=->不存在“美丽区间”. （2）已知函数222y x x -=+在R 上存在“美丽区间”，请求出他的“美丽区间”.（3）如果[]m n ，是函数()()2210aa x y a a x+-=≠的一个“美丽区间”，求n m -的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）[1,2].（3 【解析】(1)根据美丽区间的定义证明即可;(2)记[,]m n 是函数222y x x -=+的一个“美丽区间”()m n <,则方程222xx x -+=有两个不同的解,m n ,求出,m n 即可;(3)由()221()=aa x f x a x+-=211a a a x +-在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数, 得出(,)m n m n <是方程211a x a a x+-的两个同号的实数根,等价于方程()22210a x a a x -++=有两个同号的实数根,因此由判别式大于零解得1a >或3a <-,再由根与系数的关系得出n m -=,根据二次函数的性质求出范围即可.【详解】（1）由43y x=-为()0，+∞上的增函数，假设存在“美丽区间”[]m n ，， 则有()()f m m f n n ==，即方程43x x-=有两个不同的解m n ， 而43x x -=得2340x x -+=，易知该方程无实数解，所以函数43(0)y x x =->不存在“美丽区间”.（2）记[]m n ，是函数222y x x -=+的一个“美丽区间”()m n <， 由2(1)11y x =-+≥，值域[]m n ，，可知m 1≥，而其图像对称轴为1x = 那么222y x x -=+在[]m n ，上必为增函数，同（1）的分析，有方程有222x x x -+=有两个的解,m n 解之则得1,2,m n ==故该函数有唯一一个“美丽区间”[1,2].（3）由222()111()a a x a f x a x a a x +-+==-在(,0),(0,)-∞+∞上均为增函数， 已知()f x 在“美丽区间”[]m n ，上单调，所以[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞， 且()f x 在“美丽区间”[]m n ，上单调递增，则同理可得(),(),f m m f n n == 即(,)m n m n <是方程211a x a a x+-=的两个同号的实数根， 等价于方程222()10a x a a x -++=有两个同号的实数根，并注意到210mn a => 则只要222()40a a a ∆=+->，解得1a >或3a <-，而由韦达定理知，2211,.a a a m n mn a a a+++===所以n m -====其中1a >或3a <-，所以3a =时，n m -. 【点睛】本题主要考查新定义问题、考查了一元二次方程根的分布，同时考查了转化思想的应用，属于难题. 本题将“美丽区间”问题转化为方程根的存在性问题是解题的关键.。

-第一学期高邮中学 高一数学十二月考试卷4一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则)(N M C U = ． 2．cos 20()3π-的值是 ． 3．函数()3cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ．4．函数()lg(1)f x x =++的定义域是 ．5．在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，已知(3,2)AB =-，(5,1)AC =--，则AD 的坐标为 ．6．三个数5.06，65.0，6log 5.0的大小按从小到大顺序为 ． 7．若函数 1 (0)()(2) (0)x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，则(2)f -=__________ ．8．设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于: ． 9．函数3sin(2)6y x π=-+的单调递减区间为_____________．10．要得到函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 2f x x =的图象向右平移()02ρρπ<<个单位，则ρ= ．11．12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+122CD e e =-,且D B A ，，三点共线，则实数k = .12．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数)(x f ，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，则满足()0>f x 的x 的取值范围是 .13．已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中,则sin(105)cos(375)αα-+-的值为 ．14．关于向量有下列命题：(1)若,;a b a c b c ⋅=⋅=则 (2)若0,00a b a b ⋅===则或;(3),,,()()1,2,0..a b c b c a a c b c a b a b a b ⋅-⋅==-=⋅=若为非零向量则与垂直.(4)若则其中正确命题的个数是 二．解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知向量(1,2),(2,3)a b =-=． (1) 若(3)//()a b a kb -+，求k 的值； (2) 若()a ma b ⊥-，求m 的值；16．(本题满分14分)已知弹簧下方挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离S 与t 的函数关系为sin(),(0,0,,0)2S A t A t πωϕωϕ=+>><≥，下图是其图象的一部分，试根据图象回答下列问题： （1）求小球振动时的振幅和周期； （2）求S 与t 的函数解析式．已知向量m n m),1,(sin ),1,32(cos αα=--=与n 为共线向量，且]0,2[πα-∈ （Ⅰ）求ααcos sin +的值 （Ⅱ）求ααααcos sin cos sin -的值18．（本题满分16分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月效益最大？最大效益是多少？已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -,点P 的横坐标为14，且OP PB λ=.点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=.(Ⅰ)求实数λ的值与点P 的坐标； (Ⅱ)求点Q 的坐标；(Ⅲ)若R 为线段OQ 上的一个动点,试求()RO RA RB ⋅+的最小值.本小题满分16分)已知函数3()lg()3xf x x-=+，其中 (3,3)x ∈- （1）判别函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(3,3)-上单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由。