导数在高中数学中的应用

x 2-导数在高中数学中的应用自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。

当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性；3、函数的极值；4、函数的最值。

导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。

在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。

1 在代数中的应用1.1对导数几何意义的考查例1（2005年江西卷）已知函数()y xf x'=的图象如图1（其中()f x'是函数()f x的导数）图象大致是（）。

B D分析：这是考察求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。

由图象可知(1)0f'=，(1)0f'-=，所以()f x在1±处有平行与轴的切线，故选C。

1.2 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在(,)a b 内可导的函数()f x在(,)a b上递增（或递减）的充要条件是()0f x'≥（或()0f x'≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x'在(,)a b的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

例2.已知()1xf x e ax=--。

（1）求()f x的单调增区间；（2）若()f x在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a使()f x在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。

函数增区间是()0f x'≥恒成立的区间，函数的减区间是()0f x'≤恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）()1,()x xf x e ax f x e a'=--∴=-令()0f x'≥，得x e a≥，当0a≤时，有()0f x'>在R上恒成立；当0a>时，有lnx a≥。

综上情况，当0a≤时，()f x的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a>时，()f x的单调增区间为[ln,)a+∞。

（2）()1,()x xf x e ax f x e a'=--∴=-()f x在R上单调递增，()0xf x e a'∴=-≥（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即x e a≥，x R∈恒成立。

x R ∈ 时，(0,)x e ∈+∞，0a ∴≤。

（3）由已知()f x 在(,0]-∞上单调递减，在区间[0,)+∞上单调递增可知，(0)f 是()f x 的极值。

(0)01f e a a '∴=-=⇒=，∴存在1a =满足条件。

1.3 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

例3．（2005年山东卷）已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,m n R ∈，0m <。

（1）求m 与n 的关系表达式；（2）求()f x 的单调区间；（3）当[1,1]x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定m 与n 的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。

解：（1）2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++由1x =是()f x 的一个极值点，知(1)0f '=，即36(1)0m m n -++=， 36n m ∴=+（2）由（1），得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m=--+ 由0m <知，211x>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下： 由上可知, ()f x 在区间(1,)+∞和(,1)m -∞+上递减,在区间(1,1)m+上递增. (3)由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有2122(1)0x x m m-++<.① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以(1)0,(1)0;{g g -<<即22120,10.{m m+++<-<解之得,43m -<,又0m <,所以403m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-. 1.4 证明不等式例4.求证：1(0)x e x x >+>分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数()1x f x e x =--；再对()f x 进行求导，得到'()f x ；然后观察得到当0x >时，'()0f x >，即()f x 在0x >时是增函数；最后可得当0x >时，()(0)0f x f >=，即1x e x >+[6].解：令()1x f x e x =-- 则'()10x f x e =->()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.∴ 当0x >时，()(0)0f x f >=即1(0)x e x x >+> 1.5 证明组合恒等式例6.求证：1231232n n n n n n c c c nc n -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯ 分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式(1)nx +；然后对二项式进行求导，得到112321(1)23n n n n n n n n x c c x c x nc x--+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+；最后令1x =，就可以得到我们要证的等式. 证明：012233(1)n n nn n n n n x c c x c x c x c x +=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+对上面等式两边求导，得112321(1)23n n n n n n n n x c c x c x nc x --+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 令1x =，得1123223n nn n n n n c c c nc -⋅=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+原题得证.1.6 解决数列中的问题例7.求和2123(0,)n n s x x nx x n N +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠∈分析：当1x =时，n s 是等差数列1，2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和；当1x ≠时，n s 可看作2m n T x x x =++⋅⋅⋅+ 的导数，而n T 是等比数列，易知11n n x x T x+-=-，最后再对n T 求导即可得到n s [4].解：当1x =时，112(1)2n s n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+ 当1x ≠时，由121n nx x x x x x +-++⋅⋅⋅+=-，得12''()()1n n x x x x x x+-++⋅⋅⋅+=-即1121(1)12(1)n n n n n x nx s x nxx +--++=++⋅⋅⋅+=- 1.7 讨论方程解的个数例8.a R ∈，讨论关于x 的方程ln x ax =的解的个数. 分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x 有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线y kx =，求出k 的值；再根据a 的取值范围，讨论方程ln x ax =的解的个数.解：依题意可知，方程ln x ax =的解的个数就是直线y ax =与曲线ln y x =的交点的个数，设直线y kx=与曲线ln y x =相切于点(,ln ),P t t 则ln kt t ='1(ln )1,1ln 1,t tk kt t tt e k e=∴===∴==由图可知，原方程当0a ≤或1a e=时，有一个解；当10a e <<时，有两个解；当1a e >时，无解.2.解决几何问题2.1解决解析几何中的问题例10.（2004年湖南卷）已知函数21()ln ,(),02f x xg x ax bx a ==+≠。

（1） 若2b =，且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2） 设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 图象2C 交于,P Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行。

解：（1）2b =时，且21()ln 2(0)2h x x ax x x =-->，2121()2ax x h x ax x x+-'=--=-因为()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<在区间(0,)+∞上有解。

即2210ax x +->在区间(,)x +∞上有解。

①当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有一解；②当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，若2210ax x +->有解，则440a =+> ，且方程2210ax x +-=至少有一正根，此时10a -<<。

综上所述，a 的取值范围是(,0)(0,)a -+∞ 。

（2）设点,P Q 的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，120x x <<，则点,M N 的横坐标为122x x x +=， 1C 在点M 处的切线斜率为11212k x x x ==+， 2C 在点N 处的切线斜率为122()2a x x k axb b +=+=+。