年高考第一轮复习数学椭圆

椭圆复习课（第一课时）学习目标知识与技能：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握椭圆的简单应用.理解数形结合的思想. 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学过程一、知识梳理1、定义：平面内到两个定点21F F ，的距离之 等于常数（ ）的点的 轨迹叫椭圆.2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221(0)x y a b a b +=>> )0(12222>>=+b a b x a y 图 像范围 -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b对称性 对称轴：坐标轴; 对称中心：原点顶点坐标()0,1a A - ()0,2a A ()b B -,01 ()b B ,01()a A -,01 ()a A ,02 ()0,1b B - ()0,2b B焦点坐标 ()0,1c F - ()0,2c F()c F -,01 ()c F ,02轴长 长轴长2a ，短轴长2b焦距 c F F 221=a,b,c 关系222b a c +=亲，表格中有数处错误，你能一一找出吗？离心率1>=ac e（1）动点P 到两定点A （–2，0）,B(2，0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆.（ ）（2）若椭圆1ky 4x 22=+的焦距是22，则k=2. ( )三、能力提升考点一 椭圆的定义及其标准方程例1：已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）一个焦点为（2，0），离心率为 ；（2）过 ()23,N 1,6M ，），（-两点.直击高考已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，离心率为33，过2F 的直线L 交C 于A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A.12y 3x 22=+B. 1y 3x 22=+ C. 18y 12x 22=+ D. 14y 12x 22=+变式提升：设21F F ，分别是椭圆116y 25x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，|OM| =3，则P 点到椭圆左焦点的距离为 （ ）A.4B.3C.2D.521=e X YPO xyBOA1F1F2F2FM考点二、椭圆的几何性质例2、已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，P 是椭圆短轴的一个端点，且21PF PF ⊥,则椭圆的离心率为 .变式提升椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为21F F ，，焦距为2c ，若直线y=3（x+c ）与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .互动探究已知椭圆C: 1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，M 为椭圆上一点，021=•M F M F ,则椭圆离心率的范围是 .XYMO1F2FYOXP1F2F探究思考1)本题中若P 点在椭圆内部，其他条件不变，试求之。

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第二节常用逻辑用语1.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.∀x∈R，1＜f（x）≤2B.∃x∈R，1＜f（x）≤2C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞22.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜bC.若2x为偶数，则x∈ND.π是无理数3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）使2≥1成立的一个充分不必要条件是（）A.0＜x＜1B.0＜x＜2C.x＜2D.0＜x≤27.（多选）已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5）D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）8.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题p是命题（填“真”或“假”）.9.能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1≥2”是假命题的x的值可以是（写出一个即可）.10.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.11.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x212.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）13.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A.xc2＞yc2B.1＜1＜0C.｜x｜＞｜y｜D.ln x＞ln y14.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.。

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2 2.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14. 4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12 (2)(2012山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.(2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D―――――――――――――――――――用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a b 0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m 0，n 0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆有????? |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1||PF 2|＝18，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3.答案：3[例2] (2012安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ????85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ＝12a 165c 32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a 85a 32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆―――――――――――――――――――椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54D.3＋14 解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a 5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得????? (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得????? c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，????? x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，????? x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝39612－m 2.设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |d ＝36(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆――――――――――――――――――― 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由??? y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×???－169＝16k 2＋6490恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MAMB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律――椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m n 0；椭圆的焦点在y 轴上?0m n .1种思想――数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法――求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧――与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0e 1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板――直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y ＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆*****DD→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围D→需建立关于m 的不等式．3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程D→DDDDDD→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2*****→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G *****DDDD→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线*****→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元DDDDDD→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件*****DD→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标*****DDD→写出k AN ，k AG 的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当????? 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，?(3分) 解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是????72，5.?(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．?(5分)高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆由?????y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.?(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.?(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝24 1＋2k 2.?(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为????3x 1y 1＋2，1.?(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，?(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .?(13分)故A ，G ，N 三点共线．?(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：?高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn 0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m 0，n 0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m 0，n 0，mn 0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由?????10－m 0，m －20，得2m 10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r . 6．(2012新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆所以22≤c a .又c a 1，所以22≤e 1. 答案：????22，1 8．(2012江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55 . 答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32 .过右焦点F 且斜率为k (k 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k 0，故k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝5.由|PF 1||PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12. 可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|cos π6＝253，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆从而b 2＝a 2－c 2＝103. 所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由????? y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |d ＝92. 12．(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12|B 1B 2||OA |＝|OB 2||OA |＝c 2b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P 2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P 2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴???a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0b 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1||PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1||PF 2|≤????|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1||PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1||PF 2|＝2563.① 又?????|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以3|PF 1||PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8. 3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；。