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第五节 椭 圆【考纲下载 】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．认识圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形联合的思想．1． 椭圆的定义(1)知足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点 F 1， F 2 的距离的和等于常数； ③常数大于 |F 1 F 2 |.(2)焦点：两定点． (3)焦距：两焦点间的距离．2． 椭圆的标准方程和几何性质x 2y 2标准方程 x 2 y 2学科王a 2＋ b2＝ 1(a ＞ b ＞0)b 2 ＋ a 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)图形－ a ≤x ≤ a ，－ b ≤ x ≤ b ， 范围学科王－ b ≤ y ≤ b－ a ≤ y ≤ a学科王对称性对称轴：坐标轴，对称中心： (0,0)性极点A 1(－ a,0)， A 2 (a,0)， A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)，B 1(0，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b,0)， B 2(b,0)轴长轴 A 1 A 2 的长为 2a ，短轴 B 1B 2 的长为 2b学科王质焦距 |F 1F 2|＝ 2c离心率e ＝ c， e ∈ (0,1)aa ，b ，c c 2＝ a 2－ b 2的关系1．在椭圆的定义中，若 2a ＝ |F 1 F 2 |或 2a<|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当 2a ＝ |F 1 F 2 |时动点的轨迹是线段 F 1F 2；当 2a<|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有如何的关系？提示：离心率 e ＝a c越靠近 1，a 与 c 就越靠近， 进而 b ＝ a 2 －c 2就越小， 椭圆就越扁平；同理离心率越靠近 0，椭圆就越靠近于圆．1．已知 F 1，F 2 是椭圆x 2 ＋ y2＝ 1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于 A ， B 两点，在△16 9 AF 1B 中，如有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3分析：选A依据椭圆定义，知△ AF 1B 的周长为 4a ＝ 16，故所求的第三边的长度为 16－ 10＝ 6.222．椭圆 x＋ y＝ 1 的离心率为 ()16 81 132A. 3B.2C. 3D. 2分析：选 D在椭圆 x 2 y 2222222，＋＝ 1 中， a ＝ 16， b ＝ 8，所以 c＝a － b ＝ 8，即 c ＝ 216 8所以，椭圆的离心率e ＝ c ＝22＝ 2x2y2a 42.3．椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的右焦点到直线 y ＝ 3x 的距离是 ()1 3 C ．1 D. 3 A.2 B. 2分析：选 B在椭圆 x2＋ y 2＝ 1 中， a 2＝ 4，b 2 ＝3，所以 c 2＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝ 1，所以，其4 3右焦点为 (1,0)．该点到直线y ＝ 3x 的距离 d ＝| 3－0|＝ 332＋ －122 .4．已知椭圆的方程为2x2＋3y 2 ＝m(m>0) ，则此椭圆的离心率为 ________．m2 226 ＝分析： 椭圆 2x 2＋3y 2＝ m(m>0)可化为 x ＋y＝1，所以 c 2＝ m －m＝ m，所以 e 2＝c2＝mm236am2 321，即 e ＝ 333 .答案：335．椭圆 x 2＋ my 2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的2 倍，则 m ＝ ________.2 2 2 y 221 2分析： 椭圆 x＋ my ＝1 可化为 x ＋＝ 1，由于其焦点在y 轴上，∴ a ＝， b ＝ 1，1mm依题意知11＝ 2，解得 m ＝ .m4答案：14压轴大题巧打破 (一 )与椭圆相关的综合问题求解x 2y 23[典例 ](2013 天·津高考 )(13 分 )设椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左焦点为 F ，离心率为 3，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程；(2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右极点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ，D 两点．若AC ·DB ＋ AD ·CB ＝ 8，求 k 的值．[ 化整为零破难题 ](1)基础问题 1：如何获得 a 与 c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题 2：如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？直线 x ＝－ c 与椭圆订交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题 1：如何求 A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右极点即为 (－ a,0)， (a,0) ．基础问题 2：设 C(x 1， y 1)， D (x 2， y 2)，如何找寻 x 1＋ x 2， x 1x 2 呢？将直线方程与椭圆方程联立， 消去 y 获得对于 x 的一元二次方程． 利用根与系数关系即可获得．基础问题 3：如何表示 AC ·DB ＋ AD ·CB ？ 利用向量的坐标运算即可．[规范解答不失分](1) 设 F ( － c, 0) ，由 c＝ 3 ，知 a ＝3c ，a 3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x ＝－ c ，代入椭圆方程有解得 y ＝ ± 6b ， ①32 6b 4 32于是 3 ＝ 3 ，解得 b ＝ 2，则 b ＝2. 又由于 a 2－ c 2＝ b 2，进而 a 2＝ 3， c 2＝ 1，x 2 y 2 所以所求椭圆的方程为 3 ＋2＝1.4(2)设点 C x 1，y 1 ， D x 2， y 2，②由 F ( － 1,0) 得直线 CD 的方程为 y ＝k(x ＋1)，由方程组－ c 22 y＝ 1，a 2＋ b 22 分分y ＝ k x ＋ 1 ，2 2 x ＋ y ＝ 1，3 2消去 y 得2＋ 3k 2x 2＋6k 2 x ＋3k 2－ 6＝ 0.③63k 2－ 6分依据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－ 6k 2 8分2， x 1x 2＝2.2＋ 3k2＋ 3k由于 A ( － 3，0) ，B (3，0)，所以 AC ·DB ＋AD ·CB= x 13, y 13 x 2 , y 2 x 23, y 2 3 x 1, y 1④＝ 6－2x 1x 2 － 2y 1y 2＝ 6－2x 1x 2－ 2k 2( x 1＋ 1)(x 2＋ 1)＝ 6－(2＋ 2k 2 2 22k 2＋ 12 .11 分)x 1x 2－ 2k (x 1＋ x 2)－ 2k ＝6＋ 2 2k 2＋12 2＋ 3k由已知得 6＋13分2 ＝ 8，解得 k ＝ ± 2. 2＋ 3k[易错警告要切记 ]易错点一①处易用 a，b，c 三个量来表示 y，造成运算大而出现错误，原由是忽视a，b，c 三者的关系易错点二②处易忽视设点，尔后边直接用根与系数的关系，造成不谨慎，出现错误易错点三③方程整理错误易错点四④处公式记忆禁止，向量坐标运算错误。
