3.1.1两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。

3.1.1 两角差的余弦公式班级： 姓名： 编者：陆祖银 审阅：高一数学备课组 问题引航2、两角差的余弦公式是什么？3、两角差的余弦公式的使用条件是什么？ 自主探究βα,，其终边与单位圆相交于B A ,两点，那么OA = ,OB = .(尝试用βα,的三角函数值表示,的坐标)2、如图，观察与的夹角θ与βα,的关系θ= .3、利用向量夹角计算公式表示θcos = .4、通过坐标运算，大家发现了什么？ .5、两角差的余弦公式：)cos(βα-= .6、简记符号： .7、两角差的余弦公式的使用条件：βα,都是 .互动探究（1）︒15cos ；（2）︒75cos .例题2：已知53sin =α，),2(ππα∈，1312sin -=β，)23,(ππβ∈，求)cos(βα-的值。

当堂检测1.已知βα,均为锐角，且552cos =α，1010cos =β，则βα-的值为多少？2.︒345cos 的值等于（ ） 462.-A 426.-B 462.+C 462.+-D3.)24sin()21sin()24cos()21cos(︒-︒++︒-︒+θθθθ= .4.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值。

知识拓展1.已知1312)cos(,1312)cos(=+-=-βαβα，且)2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈-，求角β的值。

作业课本127页练习第2、3、4题自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。

高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。

设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。

已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。

（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。

分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。

例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。

分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。

求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。

例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。