破解高考数学压轴题之 参数方程

第二节参数方程目录第二节参数方程 (1)考点一求曲线的参数方程 (3)考点二参数方程与普通方程的互化 (3)考点三圆和圆锥曲线的参数方程问题应用及其最值问题 (5)考点五直线的参数方程及其应用 (10)考点六利用参数法求轨迹方程 (13)考点七极坐标参数方程的综合应用 (13)一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．(2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()00cos sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数． 注意：直线的参数方程可以写成这样的形式：()00x x att y y bt=+⎧⎨=+⎩为参数，当221a b +=且b >0时，0t M M =此时，我们可以认为cos sin a b αα==，若[)0απ∈，，则α为倾斜角。

直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是()00cos sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则.①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 求曲线的参数方程 求曲线的参数方程的一般步骤第一步：设点．建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标 第二步：选参．选择合适的参数第三步：表示．依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出由参数表示的x ，y 的表达式第四步：结论．用参数方程的形式表示曲线的方程．典例１：如图所示，△ABP 是等腰直角三角形，B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求顶点P 在第一象限的轨迹的参数方程.考点二 参数方程与普通方程的互化[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．[典例] 已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．[题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)． (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．2．将下列参数方程化为普通方程，并说明他们各表示什么曲线：（1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （2）sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)（3）2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) (4)22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(02θπθ≤≤，为参数)（5）11x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)3.把参数方程化为普通方程(1) ⎩⎨⎧+==θθ2cos 2sin y x (R θ∈，θ为参数)； （2）⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x (R θ∈，θ为参数）；(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t t y t t x 1211 (1t ≠,t 为参数)； （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x (t 为参数).4.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．5.求方程22416x y +=的参数方程： （1）设y =4sin θ，(θ为参数)；（2）若令y =t （t 为参数），如何求曲线的参数方程？ （3）若令x =2t （t 为参数），如何求曲线的参数方程？考点三 圆和圆锥曲线的参数方程问题应用及其最值问题1、解决与圆上的动点有关的距离的取值范围及最大最小值问题，可转化为圆心到点、直线的距离问题，通过加减半径求最值；弦长问题可直接使用垂径定理解决；2、圆与椭圆的参数方程实质上都是三角代换，有关距离的最大值、最小值及取值范围问题，通常直接利用圆或者椭圆的参数方程，直接使用点到直线距离（或两点间距离），借助辅助角公式，转化为三角函数值域问题求解.3、双曲线和抛物线的参数方程形式不唯一，通常消去参数转化为普通方程求解.1、已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21232（t 为参数）：曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最值．例1、设x ,y 满足22(1)(2)4x y -++=，（1）求2x +y 的最大值和最小值；（2）求22x y +的最大值和最小值.例2、圆的直径AB 上有两点C ，D ，且10AB =，4AC BD ==，P 为圆上一点，求PC PD +的最大值.9、已知在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 24cos 23y x 。

（1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()0,2-A ，()2,0B ，圆C 上任意一点()y x M ,，求ABM ∆面积的最大值。

5、已知曲线1C ：)(sin 3cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，曲线2C ：θρsin =， （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程。

（2）已知直线l ：08=-+y x ，求曲线1C 上的点到直线l 的最短距离。

2、已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 23211（t 为参数），曲线1C ：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21，纵坐标缩小为原来的23，得到曲线2C ，设点p 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.例1、已知A ，B 两点是椭圆22194x y +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.变式1、在直角坐标系xoy 中,曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为级轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程sin()4πρθ+=；(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值。

7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．261、已知曲线1C ：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3cos 4（t 为参数），2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 8y x （θ为参数）。

（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点p 对应的参数为2π=t ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：⎩⎨⎧+-=+=ty tx 223（t为参数）距离的最小值。

例2、已知点P 在圆()2221C x y +-=：上，点Q 在双曲线221x y -=上，试求|PQ |的最小值.例3、求抛物线24y x =上的点到直线:2l y x =+的距离的最小值.变式、求抛物线24y x =上的点到()10P ，的距离的最小值.6、已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x L 213231:（t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为)6sin(4:πθρ-=C . (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)若()y x P ,是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点,求y x +3的取值范围.例4、已知曲线18cos :()2sin x tC t y t =⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin ρθθ-７＝．（１）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线1C 上的点，点Ｑ极坐标为()π，４，求ＰＱ的中点与曲线2C 上的点的距离的最小值[2014全国卷1] 23．已知曲线22:149x y C +=，直线2:(22x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数） （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．例6（2015年高考陕西卷)在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为()1322x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρθ＝． （Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心Ｃ的距离最小时，求P 的直角坐标.考点五 直线的参数方程及其应用[解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 7、已知直线l 经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,21p ，倾斜角6πα=，圆C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ．(Ⅰ)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l的参数方程是()212x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值．变式1、 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin cos (0)C a a ρθθ=>，过点()12P --，的直线l的参数方程为()1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数直线l 与曲线Ｃ分别交于Ｍ，Ｎ．（１）写出曲线Ｃ的平面直角坐标方程与直线l 的普通方程； （２）若PM MN PN ，，成等比数列，求a 的值．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．例3、已知圆锥曲线2cos :()sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数和定点(0A ，12F F ，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线2AF 的极坐标方程；（２）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M ，N 两点，求11MF NF -的值．（2015年高考湖南卷）已知直线52:()12x l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅰ）设点Ｍ的直角坐标为(5，直线l 与曲线Ｃ的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值．考点六 利用参数法求轨迹方程基本思路是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量.例1、设点A 和B 为抛物线24(0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ．求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．例2过点(2,4)Q 作直线分别与x y 轴和轴交于A B ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程．考点七 极坐标参数方程的综合应用[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线lcos()14πθ+=-. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线234sin 6C ρπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭：＝，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值．8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值；(2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．。