高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编及答案解析

高考数学《坐标系与参数方程》课后练习一、131．已知曲线C：2{2x y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ） A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.2．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为2(2)14x '=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．4．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【答案】D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．5．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。

【详解】 由伸缩变换得，代入，有，即.所以变换后的曲线方程为.故选：C 。

【点睛】本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

6．直线34x ty t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 2的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,5【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因为直线3(4x tt y t=-⎧⎨=+⎩为参数），所以设直线上到点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是(3,4)t t --， 则22(3)(4)2t t -+-=，解得1t =±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.7．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ）A ．[221]B ．[422,42]-+C ．22[1]22-+ D ．22[144-+ 【答案】D【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r的坐标．分类讨论，当动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r，当点Q 在CD 上运动时，设(4,),[0,4]Q t t ∈，则点P 在圆Q ：22(4)()1x y t -+-=上及内部，故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r，44cos 4sin m r n t r θθ=+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )42sin 4m n t r t r πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4t r πθ===时，m n +42-21-； 当4,1,4t r πθ===时，m n +取最大值为824+，即224+m n ∴+的取值范围是2212⎡+⎢⎣⎦； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，则点P 在圆Q ：22()(4)1x s y -+-=上及其内部，故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r，4cos 44sin m s r n r θθ=+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )42sin 4m n s r s r πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4s r πθ===时，m n +1； 当4,1,4s r πθ===时，m n +，即2+m n ∴+的取值范围是1244⎡-+⎢⎣⎦； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心【答案】C 【解析】 【分析】 将圆的参数方程25cos ()15sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r ，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的半径r 比大小即可解. 【详解】解：由25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，得圆的普通方程为()()222125x y -+-=，∴圆的圆心为()2,1，半径=5r ．圆心到直线的距离4d ==.∵0d r <<，∴直线与圆相交但不过圆心． 故选：C ． 【点睛】考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式. 点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为：d =.9．设曲线:sin x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数）与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，则直线PM 与PN 的斜率之积为（ ） A ．13B ．13-C ．34D ．43-【答案】B 【解析】 【分析】由曲线C 的参数方程，求得曲线C 的普通方程为2213x y +=，可设(M N ，,sin )P ϕϕ，再根据斜率公式，得到22sin 3cos 3PM PNk k ϕϕ⋅=-，即可求解． 【详解】由题意，曲线:sin x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （ϕ为参数），所以曲线C 的普通方程为2213x y +=，又由曲线C 与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，可设(,sin )M N P ϕϕ， 则直线PM 与PN 的斜率之积：22sin 13cos 33PM PNk k ϕϕ⋅===--，故选B ． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．已知二次函数()()21211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =L L 时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d L L ，则()12lim n n d d d →+∞+++K 的值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】 【分析】当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++，运用韦达定理得()1211111n d x x n n n n =-====-++，运用裂项相消求和可得12.n d d d ++⋯+由此能求出()12lim n n d d d →+∞+++K 【详解】当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++， 由()()212110n n x n x +-++=，可得()12211n x x n n ++=+，()1211x x n n =+，由()1211111n d x x n n n n =-====-++，1211111111112233411n d d d n n n ∴++⋯+=-+-+-+⋯+-=-++．∴()121lim lim 111n n n d d d n →+∞→+∞⎛⎫+++=-= ⎪+⎝⎭K 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的极限的运算，裂项相消求和，根与系数的关系，属于中档题．11．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ）A ．3BC ．D【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案． 【详解】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）则点P 到直线20x y +=的距离=，maxd==，故选D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．12．已知P为曲线3cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟）上一点，O为原点，直线PO的倾斜角为4π，则P点的坐标是（）A．(3,4)B．2⎛⎝C．(-3,-4)D．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据两点斜率公式求出点P的参数θ即可求解.【详解】设点P的坐标为(3cos,4sin)θθ.由题意知3cos4sinθθ=，∴3tan4θ=，又0θπ剟，∴3sin5θ=，4cos5θ=，∴4123cos355xθ==⨯=，3124sin455yθ==⨯=，∴点P的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.13．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin 4a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或2【答案】D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ剟，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14．已知直线3:2x t l y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ） A ．43 B ．2(23)+C ．4(23)D ．83+【答案】C【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为2122x y t ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.15．极坐标方程 ρ＝cos 4πθ⎛⎫⎪⎝⎭－表示的曲线是( )． A ．圆 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】A 【解析】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以方程 ρ＝cos 4πθ⎛⎫⎪⎝⎭－可化为2cos sin )2ρρθρθ=-，即22022x y x y +-+=，故该方程表示圆心为44C -，半径是12r =的圆，应选答案A ．16．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为(2212x y -+=，则曲线2C 是以点()2C 为圆心，以2r =两圆圆心距为4d ==，1222r r -=-=，122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c ，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.18．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。