2020年高考数学一轮复习 参数方程

____第17课__极坐标与参数方程的应用____1. 理解并掌握一些简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆等)的极坐标方1. 阅读：选修44第18～24页，第47～49页．基础诊断1. 将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)化为普通方程为________________．2. 圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长为________．3. 圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．4. 在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．范例导航考向直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的例1在平面直角坐标系Oy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos (θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度．考向⎩y ＝sin α标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1) 写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2) 设点P 在曲线C 1上，点Q 在直线C 2上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 是参数)．(1) 若a ＝－1，求曲线C 与直线l 的交点坐标；(2) 若曲线C 上的点到直线l 距离的最大值为17，求a 的值．考向例3 在平面直角坐标系Oy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α，θ＝2α(0<α<2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．自测反馈1. 在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．2. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则它的直角坐标方程为______________．3. 在平面直角坐标系Oy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)垂直的直线方程为________．4. 设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系得到另一直线l 2的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2之间的距离为10，则实数a 的值为________．1. 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合的思想一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解．使用后一种方法时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．2. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．3. 总结参数方程求解的思路：第17课 极坐标与参数方程的应用基础诊断1. 2＋(y －1)2＝1(－1≤≤1) 解析：由题意得⎩⎨⎧sin α＝x ，cos α＝y －1(α为参数)，所以2＋(y －1)2＝1，即该参数方程化为普通方程为2＋(y －1)2＝1且－1≤≤1.2. 3 解析：圆ρ＝3cos θ化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.将直线⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94得20t 2＋10t －1＝0，则t 1＋t 2＝－12，t 1t 2＝－120，所以(t 1－t 2)2＝920，故直线截得的弦长为20（t 1－t 2）2＝3.3. (1，0) 解析：由题意得曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝t 2①，y ＝2t ②(t 为参数)，将②两边平方得y 2＝4t 2.又因为＝t 2，所以该曲线的普通方程为y 2＝4，故焦点为(1，0)．4 1＋ 2 解析：圆ρ＝2cos θ，转化成ρ2＝2ρcos θ，进一步转化成直角坐标方程为(－1)2＋y 2＝1，把直线ρ cos θ＋ρ sin θ＝a 的方程转化成直角坐标方程为＋y －a ＝0.由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以 |1－a|2＝1，且a>0，故a ＝1＋ 2.范例导航例1 解析：直线l 的普通方程为＋y ＝3， 代入抛物线y 2＝4并整理得2－10＋9＝0，解得＝1或＝9，所以交点A(1，2)，B(9，－6)，故AB ＝8 2.解析：圆C 的直角坐标方程为2＋y 2－4－4y ＝0，即(－2)2＋(y －2)2＝8，圆心C(2，2)，半径r ＝22，直线l 的普通方程为－y －2＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝2 6.例2 解析：(1) 曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α是参数)，化为普通方程，即有椭圆C 1：x 23＋y 2＝1.曲线C 2的极坐标方程为ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得22ρ sin θ＋22ρ cos θ＝22， 即直线C 2的直角坐标方程为＋y －4＝0.(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值． 设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＋y ＋t ＝0，可得42＋6t ＋3t 2－3＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝36t 2－16(3t 2－3)＝0， 解得t ＝±2，显然当t ＝－2时，PQ 取得最小值，即有PQ min ＝2， 此时42－12＋9＝0，解得＝32，故此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.【注】 (1) 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程．(2) 由题意可得当直线＋y －4＝0的平行线与椭圆相切时，PQ 取得最值．设与直线＋y －4＝0平行的直线方程为＋y ＋t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得PQ 的最小值，解方程可得点P 的直角坐标．解析：(1) 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，化为普通方程是x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的参数方程化为普通方程是＋4y －3＝0.联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，所以椭圆C 和直线l 的交点为(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2) 直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)化为普通方程是＋4y －a －4＝0，椭圆C 上的任意一点P 可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，其中，φ满足tan φ＝34，且d 的最大值为17.①当－a －4≤0，即a ≥－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|－5－a －4|＝5＋a ＋4＝17，解得a ＝8≥－4，符合题意； ②当－a －4>0，即a<－4时，|5sin (θ＋φ)－a －4|≤|5－a －4|＝5－a －4＝1－a ＝17，解得a ＝－16<－4，符合题意． 综上所述，a 的值为8或－16.【注】 (1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的参数方程化为普通方程，联立两方程可以求得交点坐标．(2) 曲线C 上的点可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出点P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为17进行分析，可以求出a 的值．本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a.例3 解析：由题设知点P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos 2α，2sin 2α)， 于是PQ 中点M(1＋cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos 2α)2＋(sin α＋sin 2α)2＝2＋2cos α. 因为0<α<2π，所以－1≤cos α<1， 于是0≤d 2<4，故d 的取值范围是[0，2)． 备用题已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t>0)，求曲线C 的普通方程．解析：因为2＝t ＋1t －2，所以2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为32－y ＋6＝0.自测反馈1. 2 解析：直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0化为直角坐标方程为23＋2y ＋1＝0.圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程2＋y 2＝2y ，即2＋(y －1)2＝1.所以圆心C(0，1)到直线的距离d ＝34<1＝R ，所以直线4ρcos (θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为2.2. (＋1)2＋(y －3)2＝4 解析：曲线C ：ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6化为ρ2＝23ρsin θ－2ρcos θ，化为直角坐标方程为(＋1)2＋(y －3)2＝4.3. ＋2y ＋4＝0 解析：椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)化为x 225＋y 29＝1，直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)化为2－y －6＝0.由此可得椭圆左焦点为(－4，0)，令过点(－4，0)且与该直线垂直的直线为＋2y ＋c ＝0，将点(－4，0)代入得c ＝4，故过点(－4，0)与直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)垂直的直线方程为＋2y ＋4＝0.4. 9或－11 解析：直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)化为普通方程为3－y ＋a －3＝0，直线l 2：ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，化为直角坐标方程为－3＋y ＋4＝0，即这两条直线平行，故l 1与l 2间的距离为d ＝|a ＋1|10＝10，解得a ＝9或a ＝－11.。

高考数学一轮复习：67 参数方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）直线l:（其中t为参数，）的倾斜角为（）A . αB . -αC . +αD .2. （2分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A . +1B . 3﹣1C . ﹣1D . 3﹣23. （2分）曲线的参数方程为（t是参数，1≤t≤3），则曲线是（）A . 线段B . 双曲线的一支C . 圆D . 射线4. （2分）设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）参数方程（θ为参数）表示的平面曲线是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 圆D . 抛物线6. （2分） P(x,y)是曲线上任意一点，则（x-2)2+(y+4)2的最大值是（）A . 36B . 6C . 26D . 257. （2分）若实数x,y 满足：，则x+y+10的取值范围是（）A . [5,15]C . [ -15,10]D . [ -15,35]8. （2分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是（2，θ），圆C的参数方程是（t为参数），点M与圆C的位置关系是（）A . 在圆内B . 在圆上C . 在圆外D . 在圆上或圆外9. （2分）直线被圆截得的弦长为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 圆的圆心坐标是（）A . (0,2)B . (2,0)D . (-2,0)11. （2分）过点M（2，1）作曲线C：（θ为参数）的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的方程为（）A . y﹣1=﹣（x﹣2）B . y﹣1=﹣2（x﹣2）C . y﹣2=﹣（x﹣1）D . y﹣2=﹣2（x﹣1）12. （2分） (2017高二上·长春期中) 已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（）A . 9B . 6C . ﹣6D . ﹣9二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2017高二下·资阳期末) 直线（t为参数）与圆（θ为参数）的位置关系是________．14. （1分） (2018高二下·西安期末) 已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是________.15. （1分）(2017·诸暨模拟) 已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值=________，|3x+4y﹣28|的最小值=________16. （1分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为________17. （1分）设y=tx（t为参数）则圆x2+y2﹣4y=0的参数方程为________．三、解答题 (共4题；共40分)18. （10分）坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴半轴为极轴）中直线l的方程为ρsin（θ+ ）=2 ．（1）求曲线C在极坐标系中的方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．19. （10分）(2017·辽宁模拟) 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．20. （10分）已知椭圆C的极坐标方程为ρ2= ，点F1 ， F2为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（1）求直线l的普通方程和椭圆C的直角坐标方程；（2）求点F1，F2到直线l的距离之和．21. （10分）选修4—4 ：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共4题；共40分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。

高考数学一轮总复习不等式与参数方程在高考数学中，不等式和参数方程是一轮总复习中非常重要的部分。

通过掌握这两个知识点，学生们可以更好地应对考试，并在解题过程中展现他们的数学能力。

本文将深入讨论不等式和参数方程的定义、性质以及解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这两个知识点。

一、不等式不等式是数学中用于表示数量大小关系的一种表达方式。

不等式中的符号可以是大于、小于、大于等于、小于等于等，利用不等式可以描述两个或多个数的大小关系。

在高考数学中，不等式通常与方程一起出现，要求学生求出不等式的解集或者判断不等式的真假。

1.1 不等式的基本性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解决不等式问题非常有帮助。

首先，两个不等式的加法仍然是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到a+c<b+d。

同样地，两个不等式的乘法也还是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到ac<bd。

此外，如果一个不等式两边都乘以一个正数，那么不等号的方向不变；如果一个不等式两边都乘以一个负数，那么不等号的方向会发生改变。

1.2 不等式的解集求解一个不等式就是要找到该不等式的所有满足条件的解。

对于简单的不等式，可以通过画数轴或者列出数表等方法来找到解集。

但是在高考中，我们经常遇到复杂的不等式，这时就需要运用一些解不等式的常用方法，如区间判断法、辅助方程法和换元法等。

二、参数方程参数方程是一种描述曲线或者曲面上各点的方法。

在参数方程中，自变量通常是一个参数，通过改变参数的值，我们可以得到不同的点。

参数方程在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

在高考数学中，参数方程通常与直线、曲线的性质和方程求解相关，掌握参数方程的概念和应用是解题的关键。

2.1 参数方程的定义参数方程由参数关于未知量的表达式组成。

例如，对于平面上的一条直线，我们可以使用两个参数x和y来表示该直线上的不同点。

通常情况下，我们会使用t作为参数，直线上的点可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

2020年高考数学复习——参数方程选讲（三）46.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 22422（t 为参数），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为ρsin 2θ=2ρcos θ（ρ＞0），曲线C 1、C 2交于A 、B 两点．（Ⅰ）若ρ=2且定点P （0，﹣4），求|P A |+|PB |的值； （Ⅱ）若|P A |，|AB |，|PB |成等比数列，求ρ的值．47.已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），若P 是圆C 与x 轴的交点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程（Ⅱ）求圆C 上到直线ρ（cos θ+3sin θ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．48.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ．（I ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |．49.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧α+=α+=sin t 3y cos t 2x （t 是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣3π）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．50.已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 53y x （α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为ρθθ1cos sin =-，求直线被曲线C 截得的弦长．51.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．52.极坐标系中，已知圆⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ3cos 10. （1）求圆的直角坐标方程．（2）设P 是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．53.在极坐标系中，曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），l ：ρcos （θ﹣3π）=23，C 与l 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB=3π，求|OA|+|OB|的最大值．54.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=422222t y t x （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．55.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（Ⅱ）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|．56.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．57.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．58.已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．59.已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．60.已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标．61.已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．62.已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．63.在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．64.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C 2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ． （1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2））若P 是C 1上任意一点，过点P 的直线l 交C 2于点M ，N ，求|PM|•|PN|的取值范围．65.在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．66.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．67.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求△PAB面积的最大值．参考答案46.解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得： t+32=0，由于△=﹣4×32＞0，设方程两根为t1，t2，∴t1+t2=12，t1•t2=32，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，∴t1+t2=2（4+p），t1•t2=32，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，∴|AB|2=|PA||PB，∴=|t1||t2|，∴=5t1t2，∴=5×32，∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，又p＞0，∴p=﹣4+2，∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．47.解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4，∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C的切线为l由题设知，圆心C（1，），P（2，0），∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，由正弦定理得，∴，∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+s inθ）+6=0，∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ，），点M到直线的距离：d==，∴当θ=时，点M到直线的距离取最大值．此时M（2，2），∴圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2）．48.解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．解得t1=8，t2=．∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．49.解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．50.解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．51.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为．∴，即圆C的直角坐标方程：．（Ⅱ），即，由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=52.解（1）圆ρ=10cos化简可得：ρ=10cos cosθ+10sin sinθρ2=5ρcosθ+5ρsinθ∴．故得圆的直角坐标方程为：．（2）由（1）可知圆的圆心为（，），半径r=5，题意：点P到直线距离的最大值为：圆心到直线的距离+半径，即d+r．d=∴最大距离为：1+5=6．53.解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．54.解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．55.解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．56.（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．57.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t 2+60t ﹣125=0设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则．∴．（2）由P 的极坐标为，可得x p ==﹣2，=2．∴点P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为．∴由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为．58.解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9． （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．59.解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：．…（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为．…60.解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y﹣10=0，∴曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．由，得，代入cos2α+sin2α=1，得，∴曲线C1的普通方程为；（2）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0，设点M（3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得：，其中，∴α﹣φ=0时，，此时．61.解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．62.解：（Ⅰ）C1在直角坐标系下的参数方程为，消参后得C1为y﹣2x+1=0．由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ．∴x2+y2=2x﹣4y，∴C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5..…（Ⅱ）∵圆心（1，﹣2）到直线的距离．∴．…63.解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为 （或圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为．64.解：（1）消去参数可得x 2+y 2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，所以曲线C 1是x 2+y 2=1在x 轴上方的部分，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y+1）2=1…（2）设P （x 0，y 0），则0≤y 0≤1，直线l 的倾斜角为α， 则直线l的参数方程为：（t 为参数）．…代入C 2的直角坐标方程得（x 0+tcosα）2+（y 0+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y 0|， 因为0≤y 0≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…65.解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=． …………………………2分当3πα=时，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=， ……………………………3分 得126t t +=，则线段AB 的中点对应的1232t t t +==，故线段AB 的中点的直角坐标为9(2． ……………………………5分（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=， …………………………………7分 则21222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，…………………9分由已知得tan 2α=，故40||||3PA PB ⋅=． ……………………………10分66.解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25， ∴x 2+y 2+12x+11=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴C 的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，∴直线l 的直角坐标方程为=0，∵l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，∴圆心（﹣6，0）到直线l 的距离d==，解得cosα=，当cosα=时，l 的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l 的斜率k=tanα=﹣2．67.解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=2sin （θ﹣），即ρ2=ρ×（sinθ﹣cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程：x 2+y 2+2x ﹣2y=0，即（x+1）2+（y ﹣1）2=2．（2）圆C 的圆心C （﹣1，1），半径r=．直线l的参数方程为，可得普通方程：3x+4y+4=0．∴圆心C到直线AB的距离d==1．∴圆C上的点到直线AB的最大距离=1+，|AB|=2=2．∴△PAB面积的最大值=×（d+r）==1+．。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题75参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.基础知识融会贯通1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程重点难点突破【题型一】参数方程与普通方程的互化【典型例题】已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t 为参数）距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）C1：（x+4）2+（y﹣3）2＝1，C2：y2＝1C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t时，P（﹣4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（﹣2cosθ，2）C3为直线x﹣y﹣5＝0，M到C3的距离d|sin（θ）+9|，从而当sin（θ）＝﹣1时，d取得最小值4．【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（1）求曲线C1和C2的普通方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），直线l过定点P（0，1）且与曲线C2交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】（1）线C1的参数方程为（φ为参数），得到：x2+y2＝4．把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．（φ为参数）转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程（t为参数），转换为标准的参数方程为：（t为参数）代入，得到：（t1和t2为A和B对应的参数），故：，故：．思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．【题型二】参数方程的应用【典型例题】已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；（2）若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值，及点P坐标．【解答】解：（1）由l：，得；由曲线C1：，得x2+y2＝1；联立，解得或，则两交点为（1，0），（，）．∴|AB |，则劣弧AB 的弧长为；（2）设P 点坐标为（，），点P 到直线l 的距离d ． 当sin （）＝﹣1时，d 取得最小值为，此时P （，）．【再练一题】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程，（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若|AB |＝1，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由曲线C 和直线l 的参数方程可知，曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1． 直线l 的普通方程：当cos α＝0时为x ＝2；当cos α≠0时为y ＝tan α（x ﹣2）． （2）把x ＝2+t cos α，y ＝t sin α代入x 2+y 2＝1，得t 2+4t cos α+3＝0， 因为△＝16cos 2α﹣12＞0，所以cos 2α．设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，因为t 1+t 2＝﹣4cos α，t 1t 2＝3，|AB |＝|t 1﹣t 2|＝1， 所以（t 1﹣t 2）2＝（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝1， 所以cos 2α，所以tan 2α， 所以tan α＝±，即直线l 的斜率为±． 所以直线l 的方程为y x或yx．思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【题型三】极坐标方程和参数方程的综合应用【典型例题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线θ＝β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．【解答】解：（1）由（α是参数），得，∴，即，∴曲线C1的极坐标方程为．由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入得：x2+y2＝4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ＝β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2＝4sinβ，则|OA|+|OB|4sinβ（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ，cosφ，当β+φ时，|OA|+|OB|取最大值，此时φ，tanβ＝tan（φ）．【再练一题】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线与曲线C交于O，M两点，射线与直线l交于N 点，若△OMN的面积为1，求α的值和弦长|OM|．【解答】解：（1）直线l 的参数方程是（t 为参数），消去参数t 得直角坐标方程为：． 转换为极坐标方程为：，即．曲线C 的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，…………………………化为一般式得化为极坐标方程为：． ………………………（2）由于，得，．所以，所以， 由于，所以，所以．…………………………思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．基础知识训练1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y t ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)。

第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程概念方法微思考1．在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题组三 易错自纠4．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5．设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围．解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． 解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ，即直线l 的普通方程为3y －x ＋m ＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根， ∴t 1t 2＝m 2－2m . ∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|， ∴m 2－2m ＝±1，解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一 参数方程与普通方程的互化1．(2018·包头调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1， 再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1， 则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程．解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0)． 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．题型二 参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练1 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π， θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．跟踪训练2 (1)(2018·湖北八校联考)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)．①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； ②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |.解 ①曲线C 1的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，∴曲线C 1的普通方程为y 2＝2x ，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)，消去参数t ，得C 2的普通方程为x ＋y ＝4.②将C 2的参数方程代入C 1的普通方程并化简得12t 2－32t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝62，故|AB |＝|t 1－t 2|＝6 2.(2)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. ①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 ①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入(ⅰ)式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(ⅱ)②将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入(ⅱ)式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.1．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1， 所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2，所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． (1)求圆C 的一个参数方程；(2)在平面直角坐标系中，P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos φ，y ＝2＋5sin φ(φ为参数)．(2)由(1)可知点P 的坐标可设为(2＋5cos φ，2＋5sin φ)，则x ＋2y ＝2＋5cos φ＋4＋25sin φ＝25sin φ＋5cos φ＋6＝5sin(φ＋α)＋6，其中cos α＝255，sin α＝55，当x ＋2y 取最大值时，sin(φ＋α)＝1，φ＋α＝2k π＋π2，k ∈Z ，此时cos φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝55， sin φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝255，所以x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3,4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 过定点(－2,2)，且斜率为－12.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；(2)点P 在曲线C 上，当θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12时，求点P 到直线l 的最小距离并求点P 的坐标． 解 (1)曲线C ：x 24＋y 23＝1；k ＝tan α＝－12，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧ sin α＝55，cos α＝－255，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－255t ，y ＝2＋55t (t 为参数)．(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，易知直线l ：x ＋2y －2＝0，则点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋23sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25，因为θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，则θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π4，7π12， 当且仅当θ＋π6＝π4时，P 到直线l 的距离最小，d min ＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－25＝22－25＝210－255，此时θ＝π12，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6＋22，32－64.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解 (1)将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0. (2)直线l 的倾斜角为π4，过点(3，0)，所以将直线l 化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，即⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入x 24＋y 23＝1，得7t 2＋66t －6＝0，Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384>0， 设方程的两根为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3.(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围． 解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3.将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0，整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点， 所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0， 化简得cos αsin α<0. 又0≤α<π， 所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0， 所以t 1<0，t 2<0，所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1， 从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42， 即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42]．6．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值．解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12. 又由已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2，得⎩⎨⎧x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9. (2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247，∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427.又直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7，∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1， ∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。