参数方程在高考解题中的应用
- 格式：doc
- 大小：125.00 KB
- 文档页数：9
参数方程1. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。
那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s sin ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
2. 补充3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22164121+=()弦所在的直线方程。
分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。
解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为A x yB x y x x x x k k k ()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+ 又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241212+=-+==-()程为x y +-=240法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y∴y y x x x x y y 12121212412--=-++=-()即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为，B x y ()42--∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 222241644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240法四直线方程为x t y t =+=+⎧⎨⎩21cos sin αα代入椭圆得：(cos )(sin )24116022+++-=t t αα∴444841602222+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(s i n c o s )(s i nc o s )48480222αααα+++-=t t∵，∴t t 122208440+=-++=sin cos sin cos αααα∴820s i nc o s αα+=∴，8212s i n cos tan ααα=-=-即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|c o s s i n ||s i n ()|2242342θθθϕ其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313 法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322例5. 已知椭圆：，，是椭圆上一点E x y P x y 2225161+=()()122求的最大值x y +（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。
分析：题（1）解题思路比较多。
法一：可从椭圆方程中求出y 2代入x 2+y 2，转化为x x y x y 的二次函数求解。
法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22+ 问题求解。
法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最x y r r 2222+=值，解题时可结合图形思考。
得最大值为25，最小值为16。
题（2）可将四边形ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC 是定线段，故长度已定，则当点B 、点D 到AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四边形的面积最大。
求得ABCD 202解：()()125161161252222法一由得，x y y x +==- 则，x y x x x 2222216125169251625+=+-=+∈()[]∴的最大值为，最小值为x y 222516+法二：令，x y ==⎧⎨⎩54cos sin θθ 则，x y 2222225161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ 法三令，则数形结合得，x y r r 22221625+=∈[]（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20=054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθd 120202041202420412022041=+-=+-≤-|c o s s i n ||s i n ()|θθθπ同理点到直线的距离D AC d 22022041≤+∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202例6. 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平x a y b a b AB AB 222210+=>>()分线与x 轴相交于点P （x 0，0）。
求证：--<<-a b a x a b a 22022（1992年全国高考题）分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，A B x x a b x 120利用证明-<+<2212a x x a证明：法一 设，、，，由题意知≠且，，A x y B x y x x P x ()()()11221200由得①||||()()PA PB x x y x x y =-+=-+1021221222又、两点在椭圆上，∴，A B y b x a y b x a 12212222222211=-=-()()代入①整理得，22102212222()()x x x x x a b a -=--∵≠，∴有·x x x x x a b a 120122222=+- 又，，且≠-≤≤-≤≤a x a a x a x x 1212 ∴-<+<2212a x x a由此得--<<-a b a x a b a 22022法二 令，则以为圆心，||PA r P =r x x y r 为半径的圆的方程为①()-+=0222圆与椭圆②交于、两点P x a y b a b A B 222210+=>>() 由①、②消去整理得y a b a x x x x r b 22220022220--+-+= 由韦达定理得，x x a x a b a a 122022222+=-∈-() ∴--<<-a b a x a b a 22022法三 设，、，，的中点为、A x y B x y AB M m n ()()()1122 ∴，x x m y y n 121222+=+=又、两点在椭圆上，A B x a y b x a y b 12212222222211+=+=则两式相减得()()()()x x x x a y y y y b 12122121220+-++-=将及，代入整理得：y y x x m x n x x m y y n 12120121222--=--+=+=x a b a m x x a b a 0222122222=-=+-·，下略这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。
例7.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，x e P =32032()到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P 距离等于的点的坐标7解法一：设椭圆的参数方程为x a y b a b ==⎧⎨⎩>>≤<cos sin ()θθθπ，其中，002由，得e c a b a a b22221342==-==()设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d则d x y 22232=+-()=+-a b 22232cos (sin )θθ =-+++31243222b b b (sin )θ如果即12112b b ><那么当时，取得最大值sin ()()θ=-=+1732222d b 由此得与矛盾b b =-><7321212因此必有，此时当时，取得最大值12112743222b b d b ≤=-=+sin ()θ解得，b a ==12所求椭圆的参数方程是x y ==⎧⎨⎩2cos sin θθ由，±s i n cos θθ=-=1232求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P 7312312()()--- 解法二：设所求椭圆的方程为x a y b a b 222210+=>>()由，解得e c a b a b a 222213412==-==() 设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d则d x y 22232=+-()=-+-a a b y y 2222232()=--++3349422y y b=-+++3124322()y b其中，如果，则当时-≤≤<=-b y b b y b 12d b 222732取得最大值()()=+ 解得与矛盾b b =-><7321212故必有b ≥12 当时，取得最大值y d b =-=+12743222()解得，b a ==12所求椭圆方程为x y 2241+=由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，y P =--127312()小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。
