向量的概念与背景讲义资料

平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.4．理解两个向量共线的含义。

【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2．数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量．要点诠释：（1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．2。

向量的表示方法：a b c等.（1)字母表示法：如,,,（2）几何表示法：以A为始点,B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB。

要点诠释：(1)用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度)。

要点诠释：a ．（1）向量a的模||0（2）向量不能比较大小，但||a是实数,可以比较大小．2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量.要点诠释：(1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等．要点四:向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量）.规定:0与任一向量共线。

向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。

本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。

二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。

三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。

还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。

学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。

高中数学中的向量概念详解向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。

了解向量的概念，不仅有助于我们理解数学知识体系，也能帮助我们解决实际问题。

本文将详细介绍高中数学中的向量概念，包括向量的定义、表示、运算以及向量的性质等内容。

首先，我们来看一下向量的定义。

在高中数学中，向量通常用有向线段来表示。

有向线段具有方向和长度两个要素，其中方向表示向量的方向，长度表示向量的大小。

我们可以用一个有序对来表示一个向量，比如(a, b)，其中a是向量的横坐标，b是向量的纵坐标。

在向量的表示方面，有三种常见的方法：初等向量表示法、分量表示法和单位向量表示法。

初等向量表示法是将向量的起点放在坐标原点，终点放在对应的点上，用有向线段表示。

分量表示法是将向量的横纵坐标表示出来，比如(a, b)。

而单位向量表示法则是将向量的长度表示为1，这样可以简化向量的运算。

单位向量表示法中，我们通常用字母i和j来表示单位向量，其中i表示向量在x轴上的单位向量，j表示向量在y轴上的单位向量。

在向量的运算方面，有加法和数乘两种。

向量的加法是指两个向量相加得到第三个向量的运算。

向量的加法满足交换律、结合律和对称律，即向量的加法不受加法成分的顺序影响。

数乘是指一个标量与一个向量相乘的运算。

数乘的结果是一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正数）或相反（若标量为负数），长度为原向量长度与标量的乘积。

除此之外，向量还有一些重要的性质。

首先是向量的共线性与平行性。

若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向平行，但长度不相等，则它们是平行的。

其次是向量的模长。

向量的模长等于向量的长度，用两点之间的距离来计算。

模长为0的向量称为零向量。

最后是向量的夹角。

两个向量的夹角可以通过向量的点乘来计算。

若两个向量的夹角为0度，则它们是共线的；若两个向量的夹角为90度，则它们是垂直的。

在高中数学中，向量的应用非常广泛。

在几何中，向量用于计算线段的长度、判断线段的垂直性和平行性、计算面积和体积等。

向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。

向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。

在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。

Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。

这里，a可以表示一个向量。

二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。

向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。

在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。

向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。

根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。

在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。

三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。

向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。

在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。

2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。

通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。

3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。

向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。

通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。