布里渊区

a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状

Gh1h2h3 CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
(
a1 h1
a3 h3
)
2 2 0
G 同理 h1h2h3 CB 0 而且 CA,CB 都在（ABC)面上，
G 所以 h1h2h3 与晶面系 (h1h2h3) 正交。
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh1h2h3 ( ABC)
且有：
d hkl
2
G hkl
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
2. 证 明：
Rn Ghkl (n1a1 n2a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 )
2 (n1h n2k n3l) 2m
(m为整数)
3. 证明：先证明倒格矢 Gh1,h2 ,h3 h1b1 h2b2 h3b3
1. 两个点阵的基矢之间：
ij
1, i 0, i
j j
2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Gh Rn 2 m
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
*
b)3
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 Gh 相互垂直，
Ghkl hb1 kb2 lb3
家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，
可以方便地证明它和正点阵之间有b如i 下 a关j 系：2 ij
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。

布里渊区
布里渊区
简约型色散关系:平移 倒格矢将第一布里渊区 外色散关系移至第一布 里渊区内.布里渊区边 界出现不同能面或能带.
若有限的周期势存在，布里渊区边界出现
小能隙（实线），即对应每个布里渊区边 界k 存在两个能量值，自由电子的色散仅略
微受到该势场的影响，该结果可以用如下
两种方式解释.
①根据非交叉原理，处于布里渊区边界处
的单电子本征态, 即
Hˆ ati
r
2 2m
2
Vat
ri
r
i
ri
r,
其中 Vat r 是单原子势场,i代表原子的某一
量子态.假定 i r 是归一化的, 非简并.
紧束缚近似下, 晶体中的单电子波函数看
成为N（晶体中的格点数）个简并的原子
二维弱周期势中,第一布里渊区边界出现 能隙.
不同方向色散(存在和不存在二维弱周期 势).
三维电子色散关系 不存在三维弱周期势 三维能带的 复杂性导致 第一布里渊 区抛物能带 的折叠结构.
真实硅电子能带（忽略自旋） 间接带隙
2.原子轨道 线性组合法 （LCAO）
假定 i r 是独立原子与本征能量 i 对应
kb a ki kb 2 a G. 入射波与
反射波相干叠加, 形成驻波: A.由驻波产生波包,群速度为0,即布里渊区 边界色散曲线斜率为0. B.驻波可以表示成k的sin和cos函数形式, 而这两类驻波的最大值分别对应周期势的
最大值和最小值,因此它们平均势能不 同,但是动能相同,因此,总能量不同, 因 此在布里渊区边界处形成能隙. ●二维、 三维弱周期势中电子色散关系 二维周期势不存在情况下, 六角形平面晶 格扩展型色散 关系.
kn
n的简并态通过周期势，发生耦合，

a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——