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1.4.1倒格子和布里渊区解析

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布里渊区图示

布里渊区图示

a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状

布里渊区通俗理解

布里渊区通俗理解

布里渊区通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述布里渊区是一个在物理和数学领域中具有重要意义的概念，它主要用来描述在给定条件下某一物体或物体集合的邻域。

布里渊区的概念源于法国物理学家亚历山大·布里渊的研究成果，他发现了一种描述物体在空间中的局部特性的方法。

布里渊区的概念不仅在物理学领域中被广泛应用，同时也在计算机图形学、材料科学、生物学等领域中具有重要作用。

在本文中，我们将深入探讨布里渊区的概念、应用以及重要性，希望能够对读者有所启发和帮助。

通过了解布里渊区的相关知识，我们可以更好地理解物体在空间中的局部结构和特性，为我们探索和应用这些知识提供了理论基础。

在日常生活中，布里渊区的概念也有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解世界的复杂性，促进科学技术的发展和创新。

展望未来，布里渊区的研究和应用将会不断深化和拓展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论布里渊区的通俗理解。

在引言部分，我们将简要介绍布里渊区的概念、文章结构和撰写本文的目的。

在正文部分，我们将详细探讨布里渊区的概念，其在实际应用中的情况以及在各领域中的重要性。

最后，在结论部分，我们将总结布里渊区的作用，讨论其在日常生活中的意义，并展望未来布里渊区的发展方向。

通过这样的结构安排，读者可以系统地了解布里渊区的相关知识，并深入理解其在现实生活中的应用和意义。

1.3 目的2.正文2.1 布里渊区的概念布里渊区（英文名为Boulevard区）是一种在计算机科学领域中常用的概念，用于描述一种数据结构的布局方式。

布里渊区是指内存中的一段连续地址空间，通常用来存储程序代码、全局变量和静态变量。

在操作系统中，布里渊区还可以用于存放动态链接库和共享库的代码段和数据段。

布里渊区的特点是具有一定的大小和位置，可以在运行时被操作系统动态地分配和回收。

布里渊区的概念主要用于优化内存管理和提高程序的执行效率。

布里渊区图示

布里渊区图示

a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——

倒格子和布里渊区

倒格子和布里渊区
矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
上述第4点的图示。
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a 2 , a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2 , b3 为正点阵，则其
? iGhkl
?r?) exp(
? iGhkl
? ?Rn
)
K
显然： 即：
? K? e?xp(iG?hkl ?Rn ) ? 1
Ghkl ?Rn ? 2? m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中
的表述之间服从Fourier变换关系。
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说： 倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ? ( ABC )
可以证明：
?
d ? OA ? GG? h1h2h3Βιβλιοθήκη h1h2 h3 h1h2 h3
? ?2?
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基
第二到第九 Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的

06 固体物理 1.4.1 倒格子

06 固体物理 1.4.1 倒格子
1 3
CB OB OC



a2
h2

a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在

倒格子与布里渊区

倒格子与布里渊区

2、倒格子
布喇菲格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子元胞体积。
定义
b1 2
a
2

a3
a2 a a 1 a b3 2 b 2
3 1 2
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子元胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
第六节 倒格子与布里渊区
一、倒格子的引入与定义
1、 倒格点
布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3，两种格子元胞间的关系


2

3
倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。
4、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh的关系
正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所对应的倒格子空间找到一 个倒格矢 Kh =h1b1+ h2b2+ h3b3来体现晶面族的法向和面间距。 对于任意给定的倒格矢Kh ´ =h1 ´ b1+ h2 ´ b2+h3 ´ b3都能得到与之 垂直的晶面族的晶面指数（h1h2h3)。 正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。 倒格子的倒格子就是正格子。

傅里叶变换和倒格子


j
3 2
i
1 2
j
2 a
i
1 3
j
,
b2
2
a2 a1 a2
j
2
a
j
ai
a
1 2
i
3 2
j
2 2 j a3
FCC点阵和原胞
BCC点阵的倒易点阵
面心立方倒格子基矢
• 正空间基矢： • 倒易空间中的基矢
a1
1 2
a(i
j), a2
1 2
a(j k),a3
1 2
a(k
i)
b1 2
傅里叶变换、倒格子（倒易空 间）及布里渊区
周期性函数f(x)的傅里叶级数和傅里 叶系数
矩形函数的傅里叶级数展开 （1,2,3,4）
傅里叶变换
,
矩形函数
Sinc函数，矩形函数的傅里叶变换
周期性函数
• 晶体中的周期性函数在每个晶胞中都一样
f ((r) T(n1, n2,...)) f (r)
X射线是电 磁波，衍射条件是光程差D为波长的整数
Rl l1a1 l2a2 l3a3
A
D CO OD CO Rl S0
k0
Rl
OD Rl
（ S
S0）
S
，k0
2
Rl （ k k0） 2 ， k 2 4 sin
S
S0
k
S0，k
O
2
S
k0 n Kh
2n
d hk l
s Kh
k k0 s
I Fh2kl f 2[1 cosn(h k) cosn(h l) cosn(k l)]2 f 2[sin n(h k)sin n(h l) sin n(k l)]2

倒格子与布里渊区

波动的允许频率范围。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。

布里渊区

a
jk
,
b2

2
a
k＋i
,
b3

2
a
i j




K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a

b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。

＝b1 b2 b3
2 3

(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1

2 N2
b2

3 N3
b3

14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。

倒格子与布里渊区

C a3/h3 O a2/h2 a1/h1 A Kh
B
6、倒格矢Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比
d h1h2 h3
a1 K h a1 .(h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) 2π = . = = h1 K h h1 K h Kh
三、布里渊区
1、布里渊区的定义
布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布拉维格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒 格子原胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。
（4）各布里渊区的大小相 同，且都与倒格子原胞大 小相等。
4、简单立方格子的布里渊区
（1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子原胞仍为简单立方， 原胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。
2、一维格子的布里渊区
一维晶格
基矢a=ai
一维倒格子空间 基矢b=(2/a)i
各布里渊区分布情况
3、二维正方格子的布里渊区
(1)二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基矢 为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子原胞仍为正方形，原胞大 小为(2/a)2。 （3）由原点O作最近邻、 次近邻等倒格点连线垂直 平分线，得到各布里渊区。
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c1

同样可以证明：
c 2 a 2 , c3 a 3 ,
r
*

a1 a1
r r
r
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：
倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作 为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 r r r r 当一个点阵具有位移矢量 R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 ( r ) r r r 也应该具有周期性： (r ) (r Rn ) 两边做Fourier展开，有： v v v v v v '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) exp(iGhkl Rn )
2 r r c1 * (b 2 b 3 )
v v v v 2 v 3 又因为： b1 (b2 b3 ) (2 ) (a1 b1 ) (2 ) r 2 (2 ) 2 r r 所以：
*
2 r r 2 r r (2 ) 2 r b 2 b3 ( a 3 a1 ) ( aபைடு நூலகம் a 2 ) a1
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： v v bi a j 2 ij 1. 两个点阵的基矢之间： 1, i j ij 0, i j
v v 2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Ghkl Rn 2 m
4. 证明：先证明倒格矢 Gh1 ,h2 ,h3 h1 a1 h2 a2 h3 a3
与正格子的晶面系 (h1h2h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 (h1h2h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） u r u r u r r r r 在正格子基矢 a1 , a2 , a3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3
uu r v uu r uu r 同理 Gh h h CB 0 而且 CA, CB 都在（ABC)面上， u r 所以 G h h h 与晶面系 (h1h2h3 ) 正交。
1 2 3
1 2 3
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh h h ( ABC)
1 2 3
u r
可以证明：
上述第4点的图示。
u r u u r ur 5. 正点阵和倒易点阵是互易的:由正点阵 a , a , a 给出倒易 1 2 3 r r r r r r 点阵 b1 , b2 , b3 现假定 b1 , b2 , b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为： 利用三重矢积公式： 可以得到： r
r
v v v v v v v v v A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
1.4
倒格子和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例
五. 布里渊区
一. 定义：假设 a1 , a2 , a3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的
格矢为： R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3
d h1h2 h3
v uur Gh h h 2 1 2 3 OA v v Gh1h2 h3 Gh1h2 h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
现在定义 3个新的基矢 r r r b1 , b2 , b3 构成一个新点阵：
（ h,k,l 是整数。） 位移矢量
G hkl hb1 kb2 lb3 就构成了上面点阵的
u r
r
r
r
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
r r r
r
r
r
r
v v v a (a2 a3 ) 原胞体积是： 1
v v v a2 a3 b1 2 v v v a1 a2 a3 v v v a3 a1 b2 2 v v v a1 a2 a3 v v v a1 a2 b3 2 v v v a1 a2 a3
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
v v v v v v v v Rn Ghkl (n1a1 n2 a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 ) 2 (n1h n2 k n3l ) 2 m (m为整数)
3. 证明见习题1.11
2. 证明：
u u r
u r
u r
u r
h1 h2 h3
于是：
CA OA OC CB OB OC
uu r
uu r
uur
a1 h1 a2 h2
r

a3 h3 a3 h3
r
uu r
uu r
uur
r
r
uu r v Gh h h CA
1 2 3
v v v v v a1 a3 ( h1b1 h2b2 h3b3 ) ( ) h1 h3 2 2 0
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
3 v v v (2 ) * b1 (b2 b3 )
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 G hkl 相互垂直， u r r r r 2
Ghkl hb1 kb2 lb3
且有：
d hkl u r G hkl
u r