212第1课时直线方程的点斜式

（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1；y=3x-1 （4）过点（3，1），垂直于x轴； x-3=0
垂直于y轴； y-1=0 上一页
思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； x/2-y-1/2=0 （3）经过点（2，3），倾斜角为0 ；
0
y-3=0
（4）经过点（2，5），倾斜角为900； X-2=0
2x-y+14=0 （5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
上一页
Ⅰ 当过 P ( x1 , y1 ) 点直线的倾 1 斜角为90°时, 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示。 它的方程是 x x1
图1
x1
y1
Ⅱ当过 P ( x1 , y1 ) 点直线 1 的倾斜角为0°时, 直 线的方程是 y y1 上一页
图2
例2 已知直线 l 的斜率为 k ，与y轴的 交点是 P(0, b)，求直线 l 的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y
.
. Q
k2
1
y b k ( x 0)
即
斜率
3– P
返回
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得

第二章
解析几何初步
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[自主练习] 1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( A．y＝3x－2 C．y＝3(x－2) B．y＝3x＋2 D．y＝3(x＋2) )
答案：
D
第二章
解析几何初步
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2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( A．直线过点(2，－2)，斜率为 2 B．直线过点(－2,2)，斜率为 2 1 C．直线过点(1，－2)，斜率为2 D．直线过点(1，－2)，斜率为 2
设斜截 将点P坐 找到斜率与在y轴 求出斜率 式方程 ―→ 标代入 ―→ 上的截距的关系 ―→ 的范围
第二章
解析几何初步
栏目导引
[规范解答]
方法一：设直线 l 的斜率为 k，
由于这条直线过点 P(－1，－2)， 所以，它的点斜式方程是 y－(－2)＝k[x－(－1)]，3 分 可化为斜截式方程是 y＝kx＋k－2，5 分 所以直线 l 在 y 轴上的截距为 k－2.7 分 由已知得 2≤k－2≤6.9 分 所以 4≤k≤8.11 分 所以直线 l 斜率的取值范围为[4,8].12 分
第二章
解析几何初步
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[强化拓展] 一个方程是直线 l 的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可． (1)“直线 l 上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程”，说明直线 l 上没有坐 标不满足方程的点，也就是说直线 l 上所有的点都适合这个方程而毫无例外． (2)“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线 l 上”，说明适合 方程的所有点都在直线 l 上而毫无遗漏． 只有具备了以上两点，某个方程才能与直线 l 的方程建立一一对应关系．
[提示1] 可以．
第二章
解析几何初步

【题后反思】 (1)用待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程；②定参数；③写答案．(2)设直线方程的点 斜式时，要注意点斜式的适用条件．
【变式 3】 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(－3,4)；(2)斜率为61.
解 (1)设直线 l 的方程是 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知， 得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得 k1＝－32或 k2＝－83. 故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)直线 BC 的方程由两点式可得2y－－((－－33))＝0x－－33， 化简得：5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． (3)因为直线 AC 在 x 轴、y 轴上的截距分别是－5,2， 由直线方程的截距式得直线 AC 的方程为－x5＋2y＝1， 即 2x－5y＋10＝0.
【变式2】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)， C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
如图，l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30°， 得到直线 l2 的倾斜角为 α2＝150°－30°＝120°， ∴k2＝tan 120°＝－ 3，∴l2 的方程为 y－2＝－ 3(x＋1)， 即 3x＋y－2＋ 3＝0.
方法点评 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜 角之间关系，再利用 l1 的斜率，从而求出它的倾斜角，进 而求出 l2 的倾斜角、斜率．因此我们要善于用数形结合的 方法来分析已知条件之间关系，从而找到解题的切入点．
【变式 1】 (1)求经过点(－ 2，2)，倾斜角是 60°的直线 方程． (2)求经过点(10,3)且平行于 x 轴的直线方程． (3)求经过点(－3，－2)，倾斜角是 120°的直线方程． (4)倾斜角是 45°，在 y 轴上的截距是 2 的直线方程．

(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.
解：(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为−5=2(−2).
(2)由题意知，直线的斜率= 0°=0，所以直线的点斜式方程为−(−1)=0.
(3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为=1.
练习巩固
变式1-2：求经过点(2, −3)，倾斜角是直线y =
y=3
2π
3
(4)经过点(-4,-2),倾斜角是 .
y + 2 = − 3(x + 4)
(5)过(-2,3)，(5,-4)两点.
y − 3 = −(x + 2)
练习巩固
变式1-1：写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5)，且与直线y = 2�� + 7平行；
(2)经过点C(−1, −1)，且与x轴平行；
复习导入
两直线平行
判定
两直线垂直
判定
新知探究
问题1：给定一点和一个方向就可以确定一条直线，那么直线上的任意
一点(，)与给定一点P0 (x0 , y0 ) 及斜率k 之间存在什么样的关系呢？
y y0
k
x x0
变形
x − x0 ≠ 0, 即x ≠ x0
无法表示P0 (x0 , y0 )
(2)由题意可知，k l1 = 2a − 1，k l2 = 4，
3
8
∵l1 ⊥ l2 ，∴4(2a − 1) = −1，解得a = .
故当a =
3
时，直线l1 与直线l2 垂直.
8
练习巩固
变式3：(1)求经过点(0,2)，且与直线l1 : y = −3x − 5平行的直线l2 的方程；
(2)求经过点(−2, −2)，且与直线l1 : y = 3x − 5垂直的直线l2 的方程.