(完整版)平面向量的加减法测试题

平面向量的加法与减法试题在平面向量的学习中，理解和掌握向量的加法与减法是非常重要的。

通过试题的形式，我们可以帮助学生进一步巩固和应用相关的知识点。

下面是一些关于平面向量加法与减法的试题。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 若向量a = (-2, 3)T，向量b = (4, -1)T，则向量a + b的分量形式是：A. (6, 2)TB. (2, 4)TC. (-2, 2)TD. (2, 2)T2. 已知向量a = (3, -2)T，向量b = (-1, 4)T，则向量a - b的模长为：A. 5B. 4C. 3D. 23. 设向量a = (1, 2)T，向量b = (3, 4)T，则向量a + b与向量a - b的夹角为：A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°4. 已知向量a的模长为3，向量b的模长为4，向量a与向量b的夹角为60°，则向量a + b的模长为：A. √7B. √19C. √31D. √435. 设向量a = (2, 1)T，向量b = (-3, 2)T，则向量a - b的模为：A. √2B. √6C. √10D. √14二、填空题（每空4分，共16分）1. 在平面直角坐标系中，已知向量a = (2, 3)T，向量b与向量a的夹角为90°，则向量b的分量形式为()。

2. 若向量a = (5, -1)T，向量b = (-4, 2)T，则向量a - b的模长为()。

3. 已知向量a = (1, 2)T，向量b = (2, 3)T，则向量a + b的模长为()。

4. 已知向量a = (3, -4)T，向量b与向量a的夹角为60°，则向量b的模长为()。

三、应用题（每题10分，共20分）1. 设ABCD为平面上的四边形，其中A(2, 1)，B(-1, 4)，C(5, 5)，D(4, 2)。

求向量AC的分量形式。

练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法姓名 学号 成绩一、选择题 (每小题3分，共18分)1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( )A 、平行四边形B 、菱形C 、长方形D 、正方形2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD () A 、是平行四边形 B 、是梯形C 、是平行四边形或梯形D 、不是平行四边形，也不是梯形3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( )A 、a 与b 的长度必相等B 、a ∥bC 、a 与b 一定不相等D 、a 是b 的相反向量4．下列说法中不正确的是 ( )A 、零向量是没有方向的向量B 、零向量的方向是任意的C 、零向量与任一向量平行D 、零向量只能与零向量相等5．下列四式不能化简为AD 的是 ( )A 、()AB CD BC ++ B 、()()AD MB BC CM +++C 、AD AD BM +- D 、OC AO CD ++6．下列说法中，正确的有 ( )① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =±③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =±A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题 (每小题4分，共40分)7．规定了方向的线段叫做8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示9．AB BA + = ；a a - =第10题到15题的图10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有16．设a 表示“向东走1km ”，b”，则a b +表示三、简答题 (每小题6分，共24分)17．判断下列命题是否为真命题(1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★向量b 的长度记作||b ( ) (3)★用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( )18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。

数学练习平面向量的加减练习题一、绪论在数学学科中，平面向量是一个重要的概念。

它们常常应用于几何、物理和工程等领域，并且对于解决实际问题具有重要意义。

本文将针对平面向量的加减练习题展开讨论，通过解析和计算题目，帮助读者加深对平面向量的理解和运用。

二、练习题下面是一些关于平面向量的加减练习题，希望读者能够仔细阅读题目并尝试解答。

1. 已知向量a = (2, 4)和向量b = (-1, 3)，求向量a + b的结果。

2. 已知向量c = (3, -2)和向量d = (-4, 1)，求向量c - d的结果。

3. 设向量e = (5, 2)，向量f = (-3, 6)，求向量e + f的结果。

4. 设向量g = (7, -1)，向量h = (-2, 5)，求向量g - h的结果。

5. 已知向量i = (4, 0)，向量j = (0, 6)，求向量i + j的结果。

6. 设向量k = (-3, 2)，向量l = (1, -4)，求向量k - l的结果。

7. 设向量m = (2, 5)，向量n = (5, 3)，求向量m + n的结果。

8. 设向量p = (-1, -3)，向量q = (-4, -2)，求向量p - q的结果。

三、解答与计算1. 向量a + b = (2, 4) + (-1, 3) = (2 - 1, 4 + 3) = (1, 7)。

2. 向量c - d = (3, -2) - (-4, 1) = (3 + 4, -2 - 1) = (7, -3)。

3. 向量e + f = (5, 2) + (-3, 6) = (5 - 3, 2 + 6) = (2, 8)。

4. 向量g - h = (7, -1) - (-2, 5) = (7 + 2, -1 - 5) = (9, -6)。

5. 向量i + j = (4, 0) + (0, 6) = (4 + 0, 0 + 6) = (4, 6)。

6. 向量k - l = (-3, 2) - (1, -4) = (-3 - 1, 2 - (-4)) = (-4, 6)。

平面向量运算测试题在解决平面向量运算测试题之前，我们先来回顾一下平面向量及其运算的相关概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

平面向量运算包括加法、减法、数量乘法等操作。

一、平面向量的加法给定两个平面向量a和b，它们的加法可以通过将它们的起点放在一起，将它们的末端相连来实现。

连接起点和终点后所得的新向量称为这两个向量的和，用a + b表示。

二、平面向量的减法给定两个平面向量a和b，它们的减法可以通过将a的起点和b的终点放在一起，将a的终点和b的起点相连来实现。

连接起点和终点后所得的新向量称为这两个向量的差，用a - b表示。

三、数量乘法给定一个平面向量a和一个实数k，数量乘法可以通过将向量a的长度乘以k来实现。

结果向量的方向与原向量相同（若k > 0），或者相反（若k < 0），但长度为原向量长度的|k|倍，用ka表示。

在进行平面向量运算时，我们需要注意以下几点：1. 向量的加法和减法满足交换律和结合律。

即，a + b = b + a，(a +b) + c = a + (b + c)，a - b ≠ b - a。

2. 数量乘法满足分配律。

即，k(a + b) = ka + kb，(k + m)a = ka + ma。

通过上述基本概念和运算法则，我们现在来解决平面向量运算测试题。

题目一：已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i + j，求向量c = 2a - b的结果。

解答：首先，我们计算2a得到2(3i + 4j) = 6i + 8j。

然后，计算2a - b得到(6i + 8j) - (2i + j) = 4i + 7j。

因此，向量c = 4i + 7j。

题目二：已知向量a = 2i - j，向量b = -3i + 5j，求向量c = 3a + 2b的结果。

解答：首先，我们计算3a得到3(2i - j) = 6i - 3j。

然后，计算2b得到2(-3i + 5j) = -6i + 10j。

向量的加减法练习题（打印版）# 向量加减法练习题## 一、向量加法练习题目1：已知向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和向量\( \vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j} \)，求向量\( \vec{A} +\vec{B} \)。

解答：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 5)\hat{j} =5\hat{i} - \hat{j} \]题目2：若向量\( \vec{C} \) 与向量\( \vec{D} = 4\hat{i} +3\hat{j} \) 的和为\( \vec{E} = 7\hat{i} + 8\hat{j} \)，求向量\( \vec{C} \)。

解答：\[ \vec{C} = \vec{E} - \vec{D} = (7 - 4)\hat{i} + (8 -3)\hat{j} = 3\hat{i} + 5\hat{j} \]## 二、向量减法练习题目3：已知向量\( \vec{F} = 6\hat{i} - 2\hat{j} \) 和向量\( \vec{G} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)，求向量\( \vec{F} -\vec{G} \)。

解答：\[ \vec{F} - \vec{G} = (6 - 3)\hat{i} + (-2 - 4)\hat{j} =3\hat{i} - 6\hat{j} \]题目4：若向量\( \vec{H} \) 与向量\( \vec{I} = 5\hat{i} -3\hat{j} \) 的差为\( \vec{J} = 2\hat{i} + 7\hat{j} \)，求向量\( \vec{H} \)。

解答：\[ \vec{H} = \vec{I} + \vec{J} = (5 + 2)\hat{i} + (-3 +7)\hat{j} = 7\hat{i} + 4\hat{j} \]## 三、向量加减法综合应用题目5：在直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(5, -1)，求点A到点B 的向量\( \vec{AB} \)。

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

向量概念加减法·基础练习一、选择题1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1a b ，其中正确的有（ ）A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是共线向量，则四边形ABCD （ ）A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆4．若a ，b 是两个不平行的非零向量，并且a ∥c , b ∥c ，则向量c 等于（ ）A ． 0B ． aC ． bD ． c 不存在5．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ）A ． BCB ． ABC ． ACD ．AM6． a 、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（ ）A ． a ∥b 且a 、b 方向相同B ． a =bC ． a =-bD ．以上都不对7．化简（AB -CD ）+（BE -DE ）的结果是（ ）A ． CAB ． 0C ． ACD ． AE8．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ）A ．ABCD 是矩形B ．ABCD 是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形9．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ）A ．0B ．3C ． 2D ．2210．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．（ AB +CD ）+ BC B ．（ AD +MB ）+（ BC +CM ）C ． MB +AD -BM D ． OC -OA +CD11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ）a bA ． a 与b 的长度必相等B ． a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ． a 是b 的相反向量12．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ）A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜二、判断题1．向量AB 与BA 是两平行向量．（ ）2．若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a =b ．（ ）3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ）4．与任一向量都平行的向量为0向量．（ ）5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ）7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ）9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ）10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ）三、填空题1．已知四边形ABCD 中，AB =21DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知AB =a ,BC =b , CD =c ,DE =d ,AE =e ,则a +b +c +d = ．3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ．4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ．5． a =“向东走4km ”,b =“向南走3km ”,则｜a +b ｜= ．四、解答题1.作图。

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

向量的加法与减法一、选择题（每题5分，共30分）1. 若C 是线段AB 的中点，那么AC BC +=（ ）.（A ）AB （B ）BA （C ）0 （D ）0 ABC 中，1AB BC CA ===，那么AB BC -的值为（ ）.（A ）0 （B ）1 （C （D ）23.判定以下各命题.（1）假设点O 是正三角形ABC 的中心，那么向量,OA OB OC ，均相等；（2）在四边形ABCD 中，假设AB CD 与共线且AD ≠BC ，那么四边形ABCD 是梯形；（3）在四边形ABCD 中，对角形AC 与BD 相交于O ，假设,AO OC BO OD ==，那么该四边形是平行四边形； （4）在四边形ABCD 中，“AB DC =且AC BD =”是四边形ABCD 为矩形的充要条件. 其中，是真命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个4.已知|a |=6,|b |=8，那么|a+b |的取值范围为（ ）.（A ）[0,8] （B ）[6,8] （C ）[6,14]（D ）[2,14]a 、b 是两个向量，对不等式0≤|a-b |≤|a |+|b |给出以下四个结论：①不等式左端的不等号“≤”只能在a=b =0时取等号“=”;②等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 不共线时取不等号“＜”;③等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 均非零且反向共线时取等号“=”;④等式左端的不等号“≤”只能在a 与b =0不共线时取等号“＜”.其中，正确的结论有（ ）.（A ）0个 （B ）1个（C ）2个 （D ）4个 6．设AB BC AC 、、是三个非零向量，且,AB BC AC ++那么（ ）.（A ）线段AB 、BC 、AC 必然组成三角形 （B ）线段AB 、BC 必然共线（C ）线段AB 、BC 必然平行（D ）选项（A ）、（B ）中的情况都是可能的，选项（C ）中的情况是不存在的.二、填空题（每题5分，共20分）a 是任意的向量，向量b 与a 共线，那么b = . 8.当非零向量a,b 知足 条件时，使得a+b 平分a 和b 间的夹角.9．假设向量a 、b 的模为|a |=004、|b |=2005,那么|a-b|的最小值是 ；最大值是 .10．依照5-2-24的图示填空：图（a ）中：AE = ；EA = .图（b ）中：BC = ；CB = .三、解答题（每题12分，共24分） 5-2-25，四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点为E 、F ，求证：().EF AB DC +1=2ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b ，AC =c ，求作以下各向量，并求它们的模.(1)a+b+c ; (2)a-b+c ; (3) c-a-b .参考答案与思路分析一、1.答案：（C ） 分析：因为C 是线段的中点，因此AC CB BC ==-，因此0AC CB +=，应选（C ）.点拨：此题要紧考查共线向量与差的问题.2．答案：（C ） 分析：因为在△ABC 中，1AB BC CA ===，因此△ABC 为等边三角形，又AB BC AB CB -=+，过点B 作BD CB =，因此AB BC AD -=，因此3AB BC AD -==，应选（C ）.2. ,,OA OB OC 的模都相等，可是由于它们的方向各不相同，因此它们各不相等.AB CD 与共线，即AB ∥CD ，故四边形ABCD 的一组对边AB 与CD 相互平行，再由于AD BC ≠，因此另一组对边AD 与BC 不平行，故四边形ABCD 是梯形.,AO OC BO OD ==知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相互平分，因此四边形ABCD 是平行四边形.AD BC =可知AB 平行且等于DC ，因此四边形ABCD 是平行四边形，又AC BD =,即将□ABCD 的对角线相等，因此四边形ABCD 是矩形；反过来，假设四边形ABCD 是矩形，那么它的对边平行且相等，对角线长也相等，因此AB DC AC BD ==且，因此结论（4）正确.因此（2）（3）（4）是真命题，从而选（C ）.4．答案：（D ）分析：因为||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |,又因为|a |=6,|b |=8，因此2≤|a +b |≤14,而且当a 与b 反向时，|a +b |取最小值2，当a 与b 同向时，|a +b |取最大值14，故应选（D ）.5.答案：（A ） 分析：利用概念及法那么一一判定：解：①错误的缘故：当a ≠0,b ≠0,a=b ，|a-b |=0；②错误的缘故：当a =0,b ≠0,这时，a 与b 共线，|a-b |=|b |＞0；③错误的缘故：当a = b =0时,|a+b |=|a |+|b |；④错误的缘故：当a = b ≠0时,|a-b=0,|a-b |＜|a |＜|b |.综上，以上四个结论都错误，没有正确的结论.点拨：在解此题时，利用特例法判定正误，这也是一种经常使用方式.6．答案：（D ） 分析：对各类情形画图分析.解：如图5-2-30，(a)(b)(c)(d)，非零向量AB BC AC 、、知足，AB BC AC =+；依次与图5-2-31中的(a)(b)(c)(d)对应，综上可知，应选（D ）.二、7.答案：0 分析：因为a 是任意的向量，向量b 与a 共线，因此b =0（零向量与任意向量共线）.8．答案：|a |=|b | 分析：菱形的对角形平分一组对角，因此当以a,b 为邻边的平行四边形为菱形时，a+b 平分a 和b 间的夹角，即|a |=|b |.9．答案：1;4009 分析：对向量a,b 的方向讨论.解：因为a 、b 是非零向量，|a |=2004，|b |=2005，因此当a 与b 共线同向时，|a-b |的最小值为1，当a 与b 共线反向时，|a-b |的最大值为4009.10. 答案：a+b+c+d;-(a+b+c+d);b-a;a-b 分析：结合图形，利用向量加减法运算法那么直接运算.三、11.分析：利用平面几何的特点证明：解法1：连AC,设AC 中点为G ，连EG 、GF ，则EG 、GF 别离为△ACD 、△ACB 的中位线，于是1,2EG DC GF AB =1=2，因此1()2EF EG AB DC ==+. 解法2：如图5-2-32，作CM AB =，那么ABMC 为平行四边形，故对角线AM 过BC 中点F ，由DM DC CM DC AB =+=+，又EF 是△AMD的中位线，因此11()22EF DM AB DC ==+. 解法3：在四边形EFCD 中，EF ED DC CF =++，同理EF EA AB BF =++，因此2.EF ED EA DC AB CF BF =+++++又因为0,0,ED EA CF BF +=+=因此1().2EF AB DC =+ 12.分析：依照正方形性质及向量的和与差的概念并求模.解：如图5-2-33，（1）延长AC 到E ，使,CE AC =则a+b+c =,AB BC AC AC CE AE ++=+=|a+b+c |=2 2.AE =(2) 作BF AC =，那么a-b+c =.AB BC AC AB AD BF DF -+=-+=|a-b+c|= 2.DF =(3)c-a-b =0.AC AB BC BC BC --=-= |c-a-b|=0.点拨：此题要紧考查向量的加法与减法的几何性质.。

平面向量练习题1、加法 向量加法的三角形法则，已知向量AB 、BC ，再作向量AC ，则向量AC 叫做AB 、BC 的和，记作AB+BC ，即有：AB+BC=AC 。

2、减法AB-AC=CB ，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a 、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。

3、数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 。

当λ>0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

4、数量积已知两个非零向量a 、b ，那么a ·b=|a||b|cos θ（θ是a 与b 的夹角）叫做a 与b 的数量积或内积，记作a ·b 。

零向量与任意向量的数量积为0。

数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

5、向量积向量a 与向量b 的夹角：已知两个非零向量，过O 点做向量OA=a ，向量OB=b ，向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a 与b 的夹角，记作<a,b>。

已知两个非零向量a 、b ，那么a ×b 叫做a 与b 的向量积或外积。

向量积几何意义是以a 和b 为边的平行四边形面积，即S=|a ×b|。

6、混合积给定空间三向量a 、b 、c ，向量a 、b 的向量积a ×b ，再和向量c 作数量积(a ×b)·c ，所得的数叫做三向量a 、b 、c 的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a ×b)·c 。

一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____二．解答题。

平面向量的加减运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF = A ．1122AB AD + B ．1122AB AD -- C ．1122AB AD -+ D ．1122AB AD - 2．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB 与CD 是共线的向量，则点A B C D ，，，必在同一条直线上； ③若=a b ，则=a b 或=-a b ④若·=0a b ，则=0a 或=0b ； 其中正确结论的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．13．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，EF 2FD =，若AF xAB yAD =+，则3x 6y (+= )A ．76B ．76-C ．6-D ．65．化简AC BD CD AB -+-得（ ）A ．AB B ．DAC ．BCD ．06．在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．12-B ．12C ．1-D ．17．如图，向量AB a =，AC b =，CD c =，则向量BD 可以表示为A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c -+D ．b a c --8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC9．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC 等于（ ） A ．BCB ．12AD C ．ADD ．12BC10．在三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上且2BE EC =，则ED =（ ） A ．1263AB AC -B ．1263AB AC +C ．1163AB AC -+D ．1263AB AC -+11．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+12．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB＋29AC ，则实数m 的值为( ) A ．19B ．13C ．1D ．313．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP PD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为A ．1112 B ．34C ．89D ．7914．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+= A ．13B ．13-C ．76D ．76-15．下列说法中正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量 B ．单位向量都相等C ．若a b →→，满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>D ．对于任意向量a b →→，，必有a b a b →→→→+≤+ 16．如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =A ．1122AB AC - B ．1122AB AC + C ．1124AB AC - D ．1124AB AC + 17．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=A ．97B ．74C ．72D ．9219．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于A ．316-B ．316C ．12D ．12-二、解答题 20．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．参考答案1．D【分析】由题意点E，F分别是DC，BC的中点，求出EC，CF，然后求出向量EF即得．【详解】解：因为点E是CD的中点，所以12EC AB=，点得F是BC的中点，所以1122CF CB AD==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选：D．【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。

向量概念加减法·基础练习一、选择题1．若是任一非零向量,是单位向量,下列各式①||＞||；②∥; ③|｜>0；④|｜b,其中正确的有（)=±12．四边形ABCD中,若向量与是共线向量,则四边形ABCD( ）A.是平行四边形ﻩﻩﻩB.是梯形C．是平行四边形或梯形ﻩﻩＤ．不是平行四边形,也不是梯形3.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段ﻩ B.一个圆面ﻩ C.圆上的一群弧立点ﻩＤ．一个圆４.若a，b是两个不平行的非零向量,并且a∥c, b∥c，则向量c等于( ）A. ﻩB．ﻩﻩC． D. 不存在5.向量(+）＋（＋）＋OM化简后等于( ）A. BCB. ABC. AC D．AM6. 、为非零向量，且|+｜＝|｜+｜｜则（）Ａ．a∥b且a、b方向相同ﻩB．a=b C．a＝-bﻩＤ.以上都不对７.化简（-)+(-)的结果是（ )A. ﻩﻩB. ﻩC. D．8.在四边形AＢCD中，AC＝AB+AD,则（ )Ａ．ＡBCD是矩形ﻩB．ABＣD是菱形ﻩC．ABCD是正方形Ｄ.AＢCＤ是平行四边形9.已知正方形ABCD的边长为１,=,=, =,则|++｜为（）A．０ﻩﻩB．3ﻩﻩＣ．2ﻩﻩD．２2１０．下列四式不能化简为AD的是( ）A.( +）＋ﻩﻩﻩＢ．( +）+( +CM)C．＋-Ｄ．OC-OA＋CDa b11.设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是( )A ． 与的长度必相等 B. ∥ C ．与一定不相等 Ｄ. 是的相反向量12．如果两非零向量a 、b 满足:｜a |＞｜b |,那么a 与b 反向,则（ )Ａ.|+|=||-｜｜ ﻩ Ｂ.|-|=｜|-|｜C.｜-|＝｜|-｜|ﻩﻩﻩD.｜+|=||+||二、判断题1．向量与是两平行向量．( )2．若a 是单位向量,b 也是单位向量，则a =b ．( ）3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.（ ）４.与任一向量都平行的向量为向量．( ）5.若AB =DC ，则A 、Ｂ、C 、D 四点构成平行四边形.( ）7．设O 是正三角形ABC 的中心,则向量的长度是长度的3倍.（ ）9．在坐标平面上,以坐标原点Ｏ为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．( ）10.凡模相等且平行的两向量均相等.（ )三、填空题１．已知四边形ABC Ｄ中,=21,且｜｜＝||,则四边形ABCD 的形状是 . ２.已知＝,=, =,=，=，则+++= ． ３．已知向量、的模分别为3，4,则|-｜的取值范围为 ．4.已知|OA |＝４,｜OB |=8,∠AOB ＝60°,则｜AB ｜＝ .５. =“向东走４km ”,＝“向南走3km ”,则|+｜= .四、解答题１.作图。

向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。

3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。

二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。

5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。

6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。

三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。

8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。

9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。

四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。

11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。

九年级数学下册平面向量的加减法练习题在九年级数学下册中，平面向量的加减法是一个重要的知识点。

通过练习题的形式来巩固和提升对平面向量加减法的理解和应用能力，对学生的数学素养和解题能力的提升有着积极的作用。

下面将介绍一些平面向量的加减法练习题，以帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 已知平面向量$\overrightarrow{MN}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{NP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{MP}$。

解析：根据平面向量的加法定义，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\begin {pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+1 \\ 3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。

2. 已知平面向量$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{BC}$的模长。

解析：根据平面向量的减法定义，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$。

1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ∥bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B 当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向是任意的，a ∥b 未必成立，所以A 错误；因为零向量的长度是0，所以B 正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C 错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D 错误．故选B.2.(多选)如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断正确的是( )A ．AB ―→＝OC ―→ B ．AB ―→∥DE ―→ C ．|AD ―→|＝|BE ―→| D ． AD ―→＝FC ―→解析：选ABC 由题图可知，|AD ―→|＝|FC ―→|，但AD ―→，FC ―→的方向不同，故AD ―→≠FC ―→，D 不正确，其余均正确，故选A 、B 、C. 3．(多选)下列四个条件能使a ∥b 成立的条件是( ) A ．a ＝bB ．|a |＝|b |C ．a 与b 方向相反D ．|a |＝0或|b |＝0解析：选ACD 因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即A 能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即B 不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即C 能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是A 、C 、D.4．(多选)对于任意一个四边形ABCD ，下列式子能化简为BC ―→的是( )A ．BA ―→＋AD ―→＋DC ―→B ．BD ―→＋DA ―→＋AC ―→ C ．AB ―→＋BD ―→＋DC ―→D ．DC ―→＋BA ―→＋AD ―→解析：选ABD 在A 中，BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→；在B 中，BD ―→＋DA ―→＋AC ―→＝BA ―→＋AC ―→＝BC ―→；在C 中，AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AC ―→；在D 中，DC―→＋BA ―→＋AD ―→＝DC ―→＋BD ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→.5.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝( )A ．CD ―→B ．DC ―→C ．DA ―→D ．DO ―→解析：选B OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝DO ―→＋OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DB ―→＋BC ―→＝DC ―→.6．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ―→＋AB ―→＝________，AD ―→＋DC ―→＝________，AC ―→＋BA ―→＝________.解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解． 答案：AC ―→ AC ―→ BC ―→ (或AD ―→)7．在矩形ABCD 中，|AB ―→|＝4，|BC ―→|＝2，则向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为________．解析：因为AB ―→＋AD ―→＝AC ―→，所以AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为AC ―→的模的2倍．又|AC ―→|＝42＋22＝25，所以向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为4 5. 答案：458.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形． (1)找出与向量AB ―→共线的向量； (2)找出与向量AB ―→相等的向量．解：(1)依据图形可知，DC ―→，ED ―→，与AB ―→方向相同，BA ―→ CD ―→，DE ―→，CE ―→与AB ―→方向相反，所以与向量AB ―→共线的向量为BA ―→，DC ―→，CD ―→，ED ―→，DE ―→，CE ―→.(2)由四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形，知DC ―→，ED ―→与AB ―→长度相等且方向相同，所以与向量AB ―→相等的向量为DC ―→和ED ―→.9．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值是________．解析：由向量的三角形不等式，知|a ＋b |≥|b |－|a |，当且仅当a 与b 反向，且|b |≥|a |时，等号成立，故|a ＋b |的最小值为4. 答案：410．如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝________.解析：BE ―→－CD ―→＋ED ―→＝BE ―→＋ED ―→＋CD ―→＝BD ―→＋CD ―→.因为BD ―→＋CD ―→ ＝0，所以BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝0. 答案：011.(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 ( )A ．AB ―→＝DC ―→ B ．AD ―→＋AB ―→＝AC ―→ C ．AB ―→－AD ―→＝BD ―→ D ．AD ―→＋CB ―→＝0解析：选ABD 结合图形可知，A 、B 、D 显然正确．由于AB ―→－AD ―→＝DB ―→，故C 项错．12．已知向量a 与b 反向，则下列等式成立的是( )A ．|a |＋|b |＝|a －b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a ＋b |＝|a －b |D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |解析：选A 如图，作AB ―→＝a ，BC ―→＝－b ，易知选A.13.如图，在四边形ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则DC ―→＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A DC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝AB ―→－AD ―→＋BC ―→＝a －b ＋c . 14．(多选)下列结果为零向量的是( )A ．AB ―→－(BC ―→＋CA ―→) B ．AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→ C ．OA ―→－OD ―→＋AD ―→D ．NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→解析：选BCD A 项，AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)＝AB ―→－BA ―→＝2AB ―→；B 项，AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0；C 项，OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0；D 项， NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0.故选B 、C 、D.15．已知O 是平面上一点，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 易知OB ―→－OA ―→＝AB ―→，OC ―→－OD ―→＝DC ―→，而在平行四边形ABCD 中有AB ―→＝DC ―→，所以OB ―→－OA ―→＝OC ―→－OD ―→，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0.故选B. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－ BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→. 答案：CA ―→17．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1.∵a 与b 共线，∴|a －b |＝2. 答案：0 2。

平面向量练习题【题目一】向量运算1. 已知向量A = 2A− 3A，A = 4A + AA，A = A + (A + 1)A，求当A为何值时，向量A + A = A成立。

解答：由题意，向量A + A = A成立，即 (2A− 3A) + (4A + AA) = A + (A + 1)A。

按照各分量相等，得到以下方程组：2 + 4 = 1，−3 + A = A + 1。

化简方程组得：6 = 1，−3 = 1。

由于方程组无解，所以不存在A使得向量A + A = A成立。

【题目二】向量的模和方向2. 已知向量A = 3A + 4A，求向量A的模和方向。

解答：向量A的模记为 |A|，根据向量模的定义：|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。

向量A的方向记为A，根据向量方向的定义：A = arctan(A/A) = arctan(4/3)。

所以，向量A的模为 5，方向为 arctan(4/3)。

【题目三】向量共线3. 已知向量A = AA− 2A，向量A = 5AA− 10AA，且向量A与向量A共线，求A、A的值。

解答：由题意，向量A与向量A共线，即A = AA，其中A为比例系数。

根据共线性的定义，A = AA可以得到以下方程组：A = 5AA，−2 = −10AA。

化简方程组得：A = 5A，−2 = −10A。

由第一个方程得：A = A/(5A)，代入第二个方程得：−2 =−10(A/(5A))。

化简方程得：A = A/10。

所以，A = 5A = 5(A/10) = A/2。

两边同乘以2得：2A = A。

由此可得A = 0，代入A = A/10 可得A = 0。

因此，A和A的值均为0。

【题目四】向量垂直4. 已知向量A = AA + AA，向量A = 4A− 3A，且向量A与向量A垂直，求A、A的值。

解答：由题意，向量A与向量A垂直，即A·A = 0。

平面向量的加减法练习题一、选择题1、下列说法正确的有( )个.①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线，④零向量只能与零向量共线。

A．1 B．2 C．3 D．以上都不对2、下列物理量中，不能称为向量的有( ）个.①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程A．0 B．1 C．2 D．33、已知正方形ABCD的边长为1, = a , = b，= c,则｜a+b+c｜等于（)A．0 B．3 C．2 D．224、在平行四边形ABCD 中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是（）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d5、△ABC中,D ，E，F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（）A．B ．C．D．6、如图。

点M是△ABC的重心，则MA+MB－MC为（）A．0 B ．4C ．4 D．47、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（）A ．+B ．－C ．+D ．+8、a =－b 是｜a | = ｜b |的 （ )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件二、填空题： 9、化简：++++= ______。

10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b ｜=___，a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 上的点，且=31， =31, =31,设 =a ,= b ，则= __________。

12、向量a,b 满足：｜a ｜=2，|a +b |=3,｜a －b |=3，则|b ｜=_____. 三、解答题:13、如图在正六边形ABCDEF 中,已知：= a ， = b ,试用a 、b 表示向量 , ， , .14、如图：若G 点是△ABC 的重心，求证：+ + = 0 .E15、求证：|a+b| 2 +|a－b｜2 =2 （|a｜2+｜b｜2）.16、如图ABCD是一个梯形,AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC和AB的中点,若=a, = b,试用a,b表示和。