西北师大附中高三第五次诊断考试数学(文科)

⎨⎩ 西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试数学（文） A 卷命题人：李树林考试时间：120 分钟总分：150 分一．选择题（每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．复数i(1 - 2i) =A ． 2 + iB ． -2 + iC ． 2 - iD ． -2 - i2.已知集合 M = {y y = 2x , x > 0}， N = {x y = lg(2x - x 2)}，则 M I N 为A. (1,2) v rB. (1,+∞)v v C.[2,+∞)v v D.[1,+∞)3．已知 a = 1, b = 2, ，且 a ⊥ b ，则a +b 为（ ）A C. 2 D. 4．执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 3， 则输出的 y 的值为A ．1B ．3C ．9D ．275. 已知θ ∈（π ，3π ），cos θ ＝－ 4 ,则 tan( π－θ )＝x >0? 2 1 A. 7 B. 7 5 1 C. － 74D. －7 y =log 3xy =3x⎧ x - y + 1 ≥ 0, 6.若实数 x ，y 满足 ⎪ x + y ≥ 0, ⎪ x ≤ 0则 z =3x +2y 的最小值是A.0B. 1D. 97．函数 y = cos(sin x ) 的图象大致是y yy y xxxxOOOOABCD1sin x x (x∈[0,π2 2bn n 1 1 n+1 n n8．若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为A．80 B．404 C．803D．403正视图侧视图俯视图9. 已知O 在△ABC 的内部，满足：OA + 4OB +OC = 0 ，，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A. 3:2B. 2:3C. 5:4D. 4:510．已知数列{a },{b }满足a =b =1,a -a =bn+1 =2,n∈N*n，则数列{b a}的前10 项和为A.1 (49-1)3B.4 (49-1)3C.1 (410-1)3D.4 (410-1)311.已知抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为F ，直线y =uuu v uu v两点．若AF =mFB ，则实数m 的值为x-1) 与C 交于A, B(A 在x 轴上方）B.32C.2D.312. 已知函数y =f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(-∞，0)时，f (x)+xf '(x)< 0（其中 f '(x)是 f (x) 的导函数），若 a =(30.3 )⋅f (30.3 ) ， b =(logπ3)⋅f (logπ3)，c =⎛log1 ⎫⋅f ⎛log3 9 ⎪1 ⎫，则a ，b ，c 的大小关系是3 9 ⎪⎝⎭⎝⎭A． a >b >c B．c >a >b C． c >b >a D．a >c >b二. 填空题:（本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 函数y = ])的单调递增区间是.14. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48 的48 名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4 的样本，已知5 号，29 号，41 号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是.15．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N＋)个点，9 9 99相应的图案中总的点数记为a n，则＋＋＋…＋＝.a2a3a3a4a4a5a2 012a2 01316. 已知边长为1 的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x, y 的正半轴上（含原点）滑动，则OB ⋅O C 的最大值是.西北师大附中2015届高三第五次诊断考试数学（文）A卷答题纸一、选择题：(共12×5=60 分)三、解答题：本大题共5 小题,满分72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12 分）在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，已知a= , A =π.3(Ⅰ)若b= ，求角C 的大小；（Ⅱ）若c=2,求边b 的长。

奋斗没有终点任何时候都是一个起点第5题图西北师大附中2016届高三第五次诊断考试数学（理科）5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在3.在等差数列｛a n ｝中，已知S n 是其前n 项和，且a 1 a 《答题卡上） 1.已知R 是实数集, xl- 1 x,N y y，则 N C R MA. 1,2 B.0,2C.D. 1,22.m mi1为纯虚数”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 30B. 30C. 15D.154.给出下列四个命题: 1P I ： x (0,),-P 2 : x (0,1),1og 』x 2log 1x ；3P 3: x (0,),1 1x(0,3), 2 3 210g l x .3俯视图.选择题（每小题 a 8 a 12 a 15其中真命题是A. P l , P3B.P1, P4C. P2, P3D. P2 , P45.某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.46.已知图象不间断函数f(x)是区间a,b上的单调函数，且在区间(a,b)上存在零点.下图是用二分法求方程f(x) 0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：① f(a)f(m) 0;② f(a)f(m) 0;③ f(b)f(m) 0;④ f(b)f(m) 0;其中能够正确求出近似解的是第6题图A.②④B.②③C.①③D.①④7.已知过定点2,0的直线与抛物线x2 y相交于Ax1,y1 ,B x2, y2两点，若、？2是方程A.1B.^C.^D.1概率为A. 1B. 1C. 1D.6 3 2uuur uuu 10.已知在△ ABC中，AB=1, BC=/6, AC=2 点。

为△ ABC勺外心，若AO sAB4 3 3 4A.(-,-)B.(-,-)C.2x xsin cos 0的两个不相等实数根，则tan的值是八1 - 1A. B. --C.2D.-28.若函数f (x) sin(2x )(1 I 2) 的图像关于直线x 一对称，且当12x i x2时，f (X I) f (x2), 则f (X I X2)2 29.已知圆C:x y 2x 10,直线l:3x 4y 12 0,圆C上任意一点P到直线l的距离小于2的uurtAC，则有序实数对(s,t )5-)D.(? 4)和区间［2b)/5 5 5 52 211.如图，5、F2是双曲线。

西北师大附中2024届高三第三次诊断考试试题数学命题人：张勇李晓霞审题人：张志兵一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足()12i z i+=+，则复数z 的虚部是（）A.52-B.52i -C. D.52i 【答案】A 【解析】【分析】首先求出2i +，可得1+z i=，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数z 化简成(,)a bi a b R +∈的形式，即可得到复数z 的虚部.【详解】由于2i +=(1)(1)1+(1)(1555552)22i z i i i i i -===-=+-故复数z 的虚部是52-，故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若(,)z a bi a b R =+∈，其中a 为复数的实部，b 为虚部，正确解题的关键是熟练掌握有关概念和运算公式．2.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3}C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A.24种 B.48种C.96种D.144种【答案】C 【解析】【详解】由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，有122A =种结果， 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有424248A A =，根据分步计数原理知共有24896⨯=种结果，故选C.4.若函数()()()1x x a f x x++=为奇函数，则实数=a （）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 为奇函数，根据奇函数的性质得到()()f x f x -=-，分别代入列出关于a 的方程，即可求出a 的值.【详解】由题意可得，0x ≠，()()f x f x -=-，∴(1)()(1)()x x a x x a x x-+-+++=--，整理可得，2(1)0a x +=对任意0x ≠都成立，10a ∴+=，1a ∴=-.故选：B5.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为36得，222tan ,sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,π54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则实数a 的取值范围为（）A.(,2]-∞B.(,2)-∞ C.(,3]-∞ D.(3),-∞【答案】C 【解析】【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解．【详解】函数()()211ln ,2f x x ax x f x x a x'=-++-∴=-+-，若函数在区间0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则()0f x '≤在0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，即12a x x ≤+在0,12⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，由对勾函数性质可知12y x x =+在0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故123y x x =+>，所以3a ≤.故选：C.7.若2cos21sin 2x x =+，则tan x =（）A.1-B.13 C.1-或13D.1-或13或3【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin 2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =.故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（）A.3113tan tan x x x x < B.1313tan tan x x x x > C.1322x x x +< D.1322x x x +>【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程，进而312123tan tan tan 1x x x x x x ===即可判断AB ；画出函数tan y x =与y x =图象，由AD EC k k <可得32212132ππx x x x x x x x --<----，化简计算即可判断CD.【详解】由题意知，()cos f x x '=，则112233()cos ,()cos ,()cos f x x f x x f x x '''===，所以曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程分别为111222333sin cos (),sin cos (),sin cos ()y x x x x y x x x x y x x x x -=--=--=-，因为切线均过原点，所以111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x x x x ===，即112233tan ,tan ,tan x x x x x x ===，得312123tan tan tan 1x x x x x x ===，故AB 错误；由312123tan tan tan 1x x x x x x ===，得tan (1,2,3)i i x x i ==，画出函数tan y x =与y x =图象，如图，设()()()112233,tan ,,tan ,,tan A x x B x x C x x ，如上图易知：2222(π,tan ),(+π,tan )D x x E x x -，由正切函数图象性质AD EC k k <，得32212132tan tan tan tan ππx x x x x x x x --<----，即32212132ππx x x x x x x x --<----，又2132π0,π0x x x x -->-->，所以21323221()(π)()(π)x x x x x x x x ---<---，即132ππ2πx x x +<，解得1322x x x +<，故C 正确，D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据tan (1,2,3)i i x x i ==构造新函数tan x x =，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l 且与x 轴交于点Q ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则（）A.23MF =B.83MN =C.1FQ =D.2PQ =【答案】ABC 【解析】【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线22y x =联立，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断.【详解】对C:抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，易知1,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1FQ =，C正确；对D,设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，M ，N 到准线的距离分别为M d ，N d ，由抛物线的定义可知11||2M MF d x ==+，21||2N NF d x ==+，于是12||||||1MN MF NF x x =+=++． 3,PF MF =，则22MPM MF d ==∴直线MN 的倾斜角为60 或120 ，斜率为，因为1FQ =，故PQ =，D 错误；对AB:1(2F ,0)，∴直线PF 的方程为1)2y x =-，将12y x =-，代入方程22y x =，并化简得2122030x x -+=，1212513,,362x x x x ∴+===，于是1258||||||1133MN MF NF x x =+=++=+=．112||23M MF d x ==+=,故AB 正确；故选：ABC ．10.设e 为自然对数的底数，函数e ()ln (0)xaf x a x x x-=->，则下列结论正确的是（）A.当e a =时，()f x 无极值点B.当e a >时，()f x 有两个零点C.当1e a <<时，()f x 有1个零点D.当1a ≤时，()f x 无零点【答案】ACD 【解析】【分析】对函数求导，对其单调性、极值及零点进行分析即可求解.【详解】∵()e ln x a f x a x x -=-，则()()()()22e 1e e 0x x x a x x a af x x x x x--⋅-+'=-=>.当0a >时，令()0f x '=，得1ln x a =，21x =，下面分析A 、B 、C 三项；对于A 项，当e a =时，12ln 1a x x ==，，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，()f x 在定义域上单调递增，即()f x 不存在极值点，故A 正确；对于B 项，当e a >时，12ln 1a x x >>，，此时()f x '在()20,x 与()1,x +∞为正，在()21,x x 为负，故()f x 有极大值()()21e 0f x f a ==-<，有极小值()()1ln f x f a =，此时()f x 的极大值小于0，由零点存在性定理可知其最多存在一个零点，故B 错误；对于C 项，当1e a <<时，120<ln 1a x x <<，，此时()f x '在()10,x 与()2,x +∞为正，在()12,x x 为负，故()f x 有极大值()()()1ln ln ln 0f x f a a a ==->，极小值()()21e 0f x f a ==->，()e ln ,x a ax xf x x--=令()()()()0e ln lim lim e lim ln 10xxx x x g x a ax x g x a ax x a +++→→→=--⇒=--⋅=-<即当0x +→时，()0f x <，故()f x 在()0,ln a 上存在一个零点，故C 正确；而对于D 项，当1a ≤时，()f x '在()0,1为负，在()1,+∞为正，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；()()min 1e 0f x f a ==->，此时()f x 无零点，故D 正确.故选：ACD.11.下列选项中正确的是（）A.已知随机变量X 服从二项分布110,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()25D X =B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()75E X =C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为{}1,2,3,4,5,6Ω=，令事件{}2,3,4A =，事件{}1,2B =，则事件A 与事件B 相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC 【解析】【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式；条件概率与事件相互独立的关系以及二项分布的性质判断各选项．【详解】A 选项，()1~10,2X B ，()()115101222D X =⨯⨯-=，()()2410D X D X ==，A 错误；B 选项，X 服从超几何分布，N ＝10，M ＝7，n ＝2，()772105M E X np n N==⋅=⨯=；C 选项，()12P A =，()13P B =，AB ＝{2}，()()()16P AB P A P B ==，A ，B 相互独立；D 选项，设9次射击击中k 次概率()99C 0.80.2kkkP X k -==⋅⋅最大，则9111099911899C 0.80.2C 0.80.2C 0.80.2C 0.80.2k k k k k k k k k k k k-----++-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得7≤k ≤8，P （X ＝7）＝P （X ＝8）同时最大，故k ＝7或8，D 错误．故选：BC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆台下底面的半径为2，高为__________【答案】14π3【解析】【分析】设圆台上底面的半径为r ，根据已知条件先算出r 的值，进而利用圆台体积公式计算即可.【详解】设圆台上底面的半径为r ，下底面半径为R，则有222(2)2r =-+，解得1r =或3r =（舍去）.圆台的体积为()()22221114ππ21212333V h r R rR π=++=⨯⨯⨯++⨯=.故答案为：14π3.13.过点()3,3M --且互相垂直的两直线与圆224210x y y ++-=分别相交于A 、B 和C 、D ，若AB CD =，则四边形ACBD 的面积等于__________．【答案】40【解析】【分析】假设,AB CD 两直线都有斜率，设1,AB CD k k k k==-，求出k 的值，再求出||,||AB CD ,即得解；再考虑AB 斜率不存在时，CD 的斜率为0，即得解.【详解】由题得圆的方程为22(2)25x y ++=，点()3,3M --在圆的内部，假设,AB CD 两直线都有斜率，设1,AB CD k k k k==-，因为AB CD =，则圆心到两直线的距离相等，直线AB 的方程为3(3),330y k x kx y k +=+∴-+-=，所以圆心到直线AB=，直线CD 的方程为13(3),330y x x ky k k+=-+∴+++=，所以圆心到直线CD=所以|31||3|,2k k k -=+∴=或12-，，所以AB CD ===，此时四边形ACBD 的面积等于12⨯.当AB 斜率不存在时，CD 的斜率为0，所以直线AB 方程为3x =-，直线CD 的方程为=3y -，联立22(2)25x y ++=和3x =-，得32x y =-⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以||8AB =，联立22(2)25x y ++=和=3y -，得3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所以||CD =，因为||||AB CD ≠，所以这种情况不存在.故答案为：40【点睛】易错点睛：解答本题容易漏掉AB 斜率不存在，CD 的斜率为0，虽然最后结果正确，但是解题不严谨.利用斜率解答问题时，一定要讨论直线斜率存在和不存在两个情况.14.已知函数()2sin()(0||)，ωφωφπ=+><f x x 的部分图象如下图所示，且(1)(1)2，，，ππ-A B ，则φ的值为______．【答案】56π-【解析】【分析】由从点A 到点B 正好经过了半个周期，求出ω，把A 、B 的坐标代入函数解析式求出sin φ的值，再根据五点法作图，求得φ的值．【详解】根据函数()2sin()(0f x x ωφω=+>，||)φπ<的图象，且(,1),(,1)2A B ππ-，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即1222πππω=- ，2ω∴=．再把点A 、B 的坐标代入可得2sin(22πφ+)2sin 1φ=-=，2sin(2πφ+ )2sin 1φ==-，1sin 2φ∴=-，26k πφπ∴=-，或526k πφπ=-，Z k ∈．再结合五点法作图，可得56πφ=-，故答案为：56π-．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n n a n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n nn a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴121n na a n n+=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n na n-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n=，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k kk k k kk b b k ck -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n n n T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********nn n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.16.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．（1）第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的22⨯列联表．体育成绩学业成绩合计优秀不优秀不优秀200400600优秀100100200合计300500800根据小概率值0.005a=的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？参考公式：独立性检验统计量()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）①14；②见解析（2）有关【解析】【分析】（1）先利用分层抽样的定义求出单次完成15-个中，610-个中，1115-个中选的人数，即可确定甲被抽到的概率；再由题意可得X 的所有可能取值有0、1、2、3，求出相应的概率，从而可求得X 的分布列；（2）根据表中的数据和公式22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，求出2X ，再根据临界值表中的数据判断即可．【小问1详解】如图，0.02:0.03:0.062:3:6=，即从15-个中选4个，610-个中选6个，1115-个中选12个，故男生甲被抽到的概率为14所以X 的所有可能取值有0、1、2，3且223183C (0)C 385204P X ===，41822123C C (1)C 385153P X ===，24181223C C 27(2)C 385P X ===．33422C 1(3)C 385P X ===所以X 的分布列为：X0123P204385153385273851385【小问2详解】零假设为0H ：体育锻炼与学业成绩独立，根据列联表中的数据得22800(2000040000)16017.7787.8793005006002009X ⨯-==≈>⨯⨯⨯，可推断零假设0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过0.005．所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．17.如图，两个正四棱锥的底面都为正方形ABCD ，顶点,M N 位于底面两侧，2,AB AM AN =⊥．记正四棱锥M ABCD -的体积为1V ，正四棱锥N ABCD -的体积为2V ．（1）求12V V +的最小值；（2）若122V V =，求直线AM 与平面BCN 所成角的正弦值．【答案】（1）823（2）36【解析】【分析】（1）由锥体体积公式求出1V ，2V ，根据基本不等式求最值，（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求得结果.【小问1详解】设正方形ABCD 中心为O ，因为M ABCD -和N ABCD -都是正四棱锥，所以OM ⊥面,ABCD ON ⊥面ABCD ，且,,M O N 共线．设12,OM h ON h ==．因为,AM AN OA MN ⊥⊥，所以OAM ONA △△∽，所以OM OA OAON=．因为2AB =，所以2122,2OA h h OA ===，所以()12121214824333V V h h h h +=⨯⨯+≥⨯=，当且仅当122h h ==时，等号成立，所以12V V +的最小值为823．【小问2详解】由122V V =设,2ON h OM h ==，由（1）知2222h OA ==，即1h =，以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,2,0,0,1A B C M N ---，所以()()()1,1,2,1,1,1,2,0,0AM BN CB =-=---=，设平面BCN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n BN n CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ,即00n BN n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，020x y z x ---=⎧⎨=⎩，令1y =，则0,1x z ==-，所以()0,1,1n =-．设直线AM 与面BCN 所成角为α．则13sin cos ,626n AM n AM n AMα⋅====⋅⋅．所以直线AM 与平面BCN 所成角的正弦值为36.18.已知抛物线()2:20C y px p =>上有一点()()1,0P m m >，F 为抛物线C 的焦点，,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2EP =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 向圆222:2p E x y r ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（点P 在圆外）引两条切线，交抛物线C 于另外两点,A B ，求证：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用点P 在抛物线上和EP =，可构造方程组求得p 的值，进而得到抛物线方程；（2）讨论可知两切线斜率必然存在，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可化简整理得到121k k =；假设直线AB 方程，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，利用韦达定理表示出121k k =，可化简整理得到():2323AB x ty t y t =+-=+-，由此可得直线所过定点.【小问1详解】由题意知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 抛物线C 过点()()1,0Pm m >，22m p ∴=，又EP =，2222121222p p m m ⎛⎫⎛⎫∴++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221221422p p p p ⎛⎫⎛⎫∴++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0p >，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =.【小问2详解】由（1）得：()1,2P ，圆()222:1E x y r ++=；()1,2P 在圆外，222228r ∴<+=，即0r <<当过点P 的圆E 的切线有一条斜率不存在时，即1x =是圆E 的一条切线，则2r =，2y ∴=是过点P 的圆E 的另一条切线；此时切线2y =与抛物线E 有且仅有一个交点P ，不合题意；当过点P 的圆E 的切线斜率存在时，设切线方程为：()21y k x -=-，即20kx y k --+=，∴圆心()1,0E -到切线的距离d r ==，整理可得：()2224840r k k r -++-=，设两条切线的斜率分别为12,k k ，则121k k =；由题意知：直线AB 斜率不为0，可设直线AB 方程为：x ty n =+，由24x ty ny x=+⎧⎨=⎩得：2440y ty n --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y t +=，124y y n =-，()()()()()121212221212121212222216161122244444y y y y k k x x y y y y y y y y ----∴=⋅=⋅==--+++++--161484n t ==-++，整理可得：23n t =-，∴直线():2323AB x ty t y t =+-=+-，∴直线AB 恒过定点()3,2--；综上所述：直线AB 恒过定点()3,2--.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.19.已知函数()2e 1x axf x x-=+．（1）若0a =，讨论()f x 的单调性．（2）若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ．①求a 的取值范围；②求证：1232x x x ++>-．【答案】（1）()f x 在(,1)-∞-和(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增（2）①111(,)(,)22e +∞ ；②证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据的导函数与0的关系求出单调区间，（2）①先求导，(0)0f '=，令()e (2)x g x a x =-+，再求导，判断根的范围②利用分析法进行求证，要证：1232x x x ++>-，只要证：122x x +>-，只要证2222e e 2(1)0x x a x ----+<，转化为只要证22222e (2)e 0x x x x --++>，求导，判断增减性，问题得以证明．【小问1详解】解：当0a =时，e ()1xf x x=+，1x ≠-，∴2e ()(1)xx f x x '=+，当()0f x '<时，x 在(,1)-∞-和(1,0)-上，()f x 单调递减，当()0f x '>时，x 在(0,)+∞上，()f x 单调递增，【小问2详解】①解：2e ()1x axf x x-=+ ，2[e (2)]()(1)x x a x f x x -+'∴=+，首先(0)0f '=，令()e (2)x g x a x =-+，则()0g x =应有两个既不等于0也不等于1-的根，求导可得，()x g x e a '=-，若0a ≤，则()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上均为增函数，且1x <-时，()()1g x g <-；1x >-时，()()1g x g >-，故()0g x =在()(,1)1,-∞--+∞ 上至多有一个零点，不合题意，舍去，故0a >，()e 0x g x a '=-=有唯一的根0ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<，当ln x a >时，()0g x '>，所以0x 是()g x 的极小值点且为最小值，要使()0g x =有两根，只要0()0g x <即可，由ln 0()e (ln 2)(ln 1)0a g x a a a a =-+=-+<，得1e>a ，此时()110e g a -=-≠，又由(0)0g ≠，得12a ≠，若11e 2a a >≠且时，()33e 0g a --=+>，设()2ln ,2S x x x x =->，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()2,+∞上为增函数，故()(2)22ln 20S x S >=->即()2e 2xx x >>，取8max 2,2a M ⎧+⎪=⎨⎪⎪⎩⎭，则x M >时，2e 220x ax a x ax a -->-->，故此时()0g x =有两个既不等于0也不等于1-的根，而1(1)0eg a -=-<，故()0g x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-，于是在定义域中，连同0x =，()0f x '=共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，()f x '的正负变号，它们就是()f x 的三个极值点，综上，a 的取值范围是111(,)(,)e 22+∞ ；②证明：由①可知()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x 中，两个是()0g x =的两根（不妨设为1x ，2x ，其中121)x x <-<，另一个为30x =，要证：1232x x x ++>-．只要证：122x x +>-，即只要证明122x x >--，因为()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，其中ln 1a >-，故只要证12()(2)g x g x <--，其中12()()0g x g x ==，只要证22()(2)g x g x <--，而22222(2)e [(22]x x e a x a x ---+<---+，只要证2222e e 2(1)0x x a x ----+<，由222()e (2)0x g x a x =-+=，得22e 2x a x =+，由此代入上述不等式，只要证明2222222e e e(1)02x x x x x ----+<+，只要证22222e (2)e 0x x x x --++>，令2()e (2)e x x h x x x --=++，当1x >-时，22()(1)e (1)e (1)(e e )0x x x x h x x x x ----'=+-+=+->，()h x 单调递增，而(1)0h -=，所以当1x >-时，()0h x >，于是证22222e (2)e 0x x x x --++>，即：1232x x x ++>-．【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系，以及利用分析法证明，同时考查了运算能力，分析问题的能力，计算量比较大，属于难题．。

西北师大附中2024届高三第五次诊断考试试题高三数学注意事项：1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则共轭复数为i(,R)z a b a b =-∈，所以()()2i i i 3+3i a b a b -++=，所以()()22i 3+3i a b a b -+-=，所以2323a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1i z =-，故复数z 对应的点位于第四象限.故选：D.2.已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果.【详解】因为直线m 平面α，直线n ⊥平面β，当m n 时，可得αβ⊥，即充分性满足；当αβ⊥时，,m n 不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足；所以“m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选：A3.已知两个向量,a b满足1a b b ⋅== ，a b -= ，则a =r （）A.1B.C.D.2【答案】D 【解析】【分析】将a b -=.【详解】因为1a b b ⋅==，a b -= ，所以2232a a b b ⋅=-+，即222113a -⨯+= ，解得2=a 或2a =-r（舍去）.故选：D4.ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（）A.2B.C.D.1【答案】A 【解析】【分析】由已知可得sin sin 2A B =，结合三角恒等变换，正弦定理可得2cos a b B =，由此可求A B C ､､，再结合勾股定理求c 即可.【详解】因为2A B =，所以sin sin 2A B =，故sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以2cos a b B =，又1a b ==，所以3cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π6B =，π3A =，故π2πC A B =--=由勾股定理可得2224c a b =+=，所以2c =，故选：A.5.已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.0B.12C.32D.32【答案】C 【解析】【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据13π124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=；当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()122π3x x ω-=，4ω∴=-；综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω=，则()()sin 4f x x ϕ=+，因为13π13πsin 1246f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则13π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得2π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，所以2π2()sin 42πsin 4π33f x x k x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π10π22π2πsin πsin 2πsin 633332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C.6.过抛物线()220y px p =>焦点的直线l 交抛物线于,A B 两点，已知18AB =，线段AB 的垂直平分线交x轴于点()11,0M ，则p =（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，利用设而不求法求弦长AB 的表达式，再求线段AB 的垂直平分线，由条件列方程求,m p 可得结论.【详解】抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知：直线l 的斜率不为0，但可以不存在，且直线l 与抛物线必相交，可设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,A x y B x y，联立方程222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 可得2220y pmy p --=，则21212,2y y pm y y p +==-，可得()()2121222118AB x x p m y y p p m =++=++=+=，即29pm p +=，设AB 的中点为()00,P x y ，则0y pm =，202p x pm =+，可知线段AB 的垂直平分线方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，因为()11,0M 在线段AB 的垂直平分线上，则2112p pm m pm ⎛⎫-=---⎪⎝⎭，可得23112p pm +=，联立方程2293112pm p p pm ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2454p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B.7.如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（）A.123S S S <<B.321S S S <<C.312S S S <<D.231S S S <<【答案】B 【解析】【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为R ，则正方体的棱长为2R ，表面积()2226224S R R ==；设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为221344S a =⨯=，如图正四面体A BCD-，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图OG R=，底面等边三角形BCD的高32CE=，外接圆半径233323CG a a=⨯=，正四面体的高63AG a===，体积21131343V Saa R=⨯⨯=，所以21131343V Saa R=⨯⨯=，又21S=，所以a=，所以正四面体的表面积221S==；设正八面体的棱长为b，如图，在正八面体中连接AF，DB，CE，可得AF，DB，CE互相垂直平分，四边形BCDE为正方形，1222OD BD b==，在Rt AOD中，22AO b===，则该正八面体的体积231223232V b b'=⨯⨯⨯=，该八面体的表面积232384b S =⨯=，因为313S R V '=，即2313R ⨯⋅=，解得b =，所以)2223S ===，所以321S S S <<.故选：B.8.已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（）A.b a c <<B.<<c a bC.c b a <<D.<<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.【详解】设()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，(0.1)0f >，即0.1e 10.1->.设()ln 1g x x x =-+，11()1x g x x x-'=-=，()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(1)0g x g ≤=，(1.1)0g <，即ln1.10.1<，所以a c >.设()2()ln 12x h x x x =+-+，()()()22214()01212h x x x x x x '=-=>++++，()h x 为增函数，所以(0.1)(0)0h h >=，所以2ln1.121>，即c b >.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若集合A B B C = ，则一定有（）A .C B⊆ B.B C ⊆C.B A ⊆ D.A B⊆【答案】AC 【解析】【分析】根据A B A ⊆ 以及A B B ⊆ ，可得B C A ⋃⊆、B C B ⋃⊆、可得C B A ⊆⊆，结合选项即可求解.【详解】因为A B A ⊆ ，A B B C = ，所以B C A ⋃⊆，所以B A ⊆，C A ⊆，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，所以C B ⊆，所以C B A ⊆⊆，故选项A 、C 正确，B 、D 错误.故选：AC.10.已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 单调递增B.函数()f x 值域为()0,2C.函数()f x 的图象关于()0,1对称D.函数()f x 的图象关于()1,1对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++，函数22y t=-，121x t -=+，则1t >，又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t=-在()1,∞+上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B 正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确.故选：ABD11.已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（）A.1+ B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立,a c 的等量关系式求解.【详解】如果2BAF ∠为直角，设2AF AB m ==，则2BF =，又122BF BF a -=，212AF AF a -=，所以122AF m =，由212AF AF a -=，则222m m a -=，得(4m a =+，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即222242m m c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即((22222224442a ac ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得229c a=+e =如果2AF B ∠为直角，设2BF m =，则2AF m =，AB =，12AF m a =-，12BF m a =-+，因为122BF BF a -=，所以22a a -+=，故m =，在12AF F △中，由余弦定理可知()()2222428222c a a a ⎛⎫=-+--⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，整理得22412c a =，即23e =，所以e =B 正确；如果2ABF ∠为直角，则2AB BF =，122BF BF a -=，则12AF a =，又212AF AF a -=，所以24AF a =，22BF ==，()122BF a a =+=，在等腰直角12BF F △中，222212124BF BF F F c +==，即()()222224a c ++=，化简得225c a=+e =C 正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出,,a b c 之间的数量关系.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值.【详解】直线l 的一般方程为210kx y k ---=，圆225x y +=的圆心C 的坐标为()0,0，半径r =，由于直线l 和圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=解得2k =.故答案为：2.13.春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.【答案】23【解析】【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为21134422444C C C C 2C 33381+⨯+=，至少有两人去南湖且有人去净月的概率为23444C 3C 22381⨯+=，所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为222333=，故答案为：23.14.记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.【答案】18##0.125【解析】【分析】根据题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，先用分段函数表示()f x 在区间[]0,1上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可.【详解】[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，因为()f x 的对称轴12x =，且()()01f f c ==，所以()f x 的最大值为1124f c ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()()01f f c ==，当14c c -=时，即18c =，所以()max 1,81148c c f x c c ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩＞，，当18c =时，()max f x 取最小值，最小值为18.故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的最值，关键在于理解题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在[]0,1的最大值取得最小值，所以先要将()f x 的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．15.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由0n CM ⋅= 证明出结论；（2）解法1：作出辅助线，得到MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案.【小问1详解】解法1：设11AC AC D ⋂=，则D 为1AC中点，1A M AN E ⋂=，连接DE ，延长AN 交1BB 延长线于F ，由112A N NB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点，MC DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC 平面1NAC ，解法2：取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1,OB OO ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以1,,AC OB OO 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,3,0,1A C C M -，())1231,,2,0,2,2,3,1,133N AC CM ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭，)134,,0,3,1,133C N AM ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11220234033n AC y z n C N x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3y =，则(2,3,3,3x z n === ，0n CM MC ⋅=⊄ ，平面1NAC ，故MC 平面1NAC .【小问2详解】解法1：因为12AA AB ==，所以1AA AC =，故四边形11ACC A 为正方形，故1AC ⊥1AC ，且D 为1AC 中点，又22415AM AB BM =+=+=，2211115C M B C B M =+=，故1AM C M =，故DM ⊥1AC ，因为1A C DM D ⋂=，1,A C DM ⊂平面1MA C ，所以1AC ⊥平面1MA C ，因为DE ⊂平面1MA C ，所以1AC DE ⊥，所以MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，又MC ===11122AD AC ===且11515,2222DE MC EM A M ====，DM ==2225531544cos 25DE DM EM MDE DE DM ∠+-+-==⋅，故锐二面角1M AC N --的余弦值为155.解法2：设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则12200m AC b c m AM b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =-==-，15cos ,5m n m n m n ⋅=== ，所以锐二面角1M AC N --的余弦值为5.16.某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理114495213090312479412085511069610782710380810262910067109875119868129577139459149265159057168858178570188555198052207554（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀不优秀合计（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩1301101008575物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数()()ni i x x y y r --=∑.（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx =+；.()()()121ˆˆˆ,.ni i i n i i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑（3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）认为数学成绩与物理成绩有关联.（2）（i ）3337；（ii ）9961018537y x =+，81分【解析】【分析】（1）（i ）由表1可直接填写列联表；（ii ）根据列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得出结论；（2）（i ）根据参考公式计算样本相关系数；（ii ）根据参考公式计算经验回归方程，并将120x =代入，预测该同学的物理成绩.【小问1详解】（i ）数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀314不优秀21416合计51520（ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯0.0120 6.667 6.6353α=≈>=依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联.【小问2详解】（i ）由题意100,70x y ==，所以r ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=33.37==（ii ）由题意()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=+++-+-990991850185==，所以99610ˆ7010018537a y bx =-=-⨯=，所以经验回归方程为9961018537y x =+，当120x =时，996102986ˆ12080.7811853737y =⨯+=≈≈，所以物理成绩约为81分.17.已知1a ，函数()ln 1a f x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）2a .【解析】【分析】（1）由已知可得()1ln 1ln f x x x =+-='，进而可求()f x 的单调区间；（2）求导得()()11ln a f x a x x-'=+-，令()11ln ,a g x x x -=+-进而求导()()211a g x a x x-'=--，分类讨论可求a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =-+=='+-，()()()0,1,0,x f x f x '∈<单调递减；()()()1,,0,x f x f x '∈+∞>单调递增；()min ()10f x f ==【小问2详解】()()()111ln 1ln a a f x a x ax a x x --=+-=+-'，设()()()1211ln ,1a a g x x x g x a x x--=+-=--'，①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意；②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x--⎡⎤<<=--='--⎣⎦，设()()()()12211,(1)0,a a h x a x h x a x h x --=--=--'<单调递减，()()11120h a a =--=->，令()()111000110,(1)a a h x a x x a ---=--==-，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>'>单调递增，()()10g x g >=，()()0,f x f x '>单调递增，()()10f x f >=，不合题意；③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞-≥∈+-'=-<，()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<'单调递减，()()10f x f <=；综上，2a ≥.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M ，离心率为2.不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值；（3）求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析（3）max S =【解析】【分析】（1）根据离心率和过点M ，用待定系数法可求出椭圆C 的方程；（2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出1214k k =，并进行化简，即可求出斜率定值；（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值.【小问1详解】依题意222222411c aa b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆的标准方程为22182x y +=.【小问2详解】设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418480k x kmx m +++-=，()222121222848Δ16820,4141km m k m x x x x k k --=+->+==++，()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +-+---=⋅=----()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k --⋅+-⋅+-+-++-++==--++++++()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k -+---===++-++，解得12k =-.【小问3详解】由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =-+≠-+-=，22Δ1640,4,22,0m m m m =-><-<<≠，()12252552AB x h m =-==-MAB △的面积(122S AB h m ==-=，()()3(2)2f m m m =-+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m =--++-=---'，令()0f m '＞，解得21m --＜＜，即()f m 在()2,1--上单调递增，令()0f m '＜，解得10m -＜＜或02m ＜＜，即()f m 在()10-，和()02，上单调递减，所以当1m =-时，取到最大值()127f -=，MAB △的面积max S =【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解.19.对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N .对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C n i i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122n n n i i y -=<-∑.【答案】（1）12n n a n -=⋅；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，可得122n n n a a +-=，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得1n n n x b b n +=-=，要证1Cn i i n n i x a ==∑成立，即证121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ ，根据二项式定理即可证明；（3）作差可得22n nn n t t --<++，故()()111112222n n n i i i i i i i i y t t --====+<+∑∑∑，根据等比数列的求和公式即可证明.【小问1详解】因为{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，代入得11Δ2ΔΔn n n n n a a a a ++--=-，整理得Δ2n n n a a -=，即122n n n a a +-=，所以111222n n n n a a ++-=.故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列，因此，()111222n n a n =+-⋅，即12n n a n -=⋅.【小问2详解】因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1nn n x b b n +=-=，故1Cn i i n n i x a ==∑成立，即为121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ .①当1n =时，①式成立；当2n ≥时，因为()110111112(11)C C C n n n n n n n n n ------⋅=⋅+=⋅+++ ，且11C C k k n n n k --=，所以①成立，故对*n ∀∈N 都有1C n i i n n i x a ==∑成立.【小问3详解】2n nn t t y -+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n n t t ><，故()()()1222(2)10(2)n n n n n n n n t t t t t --⎡⎤+-+=-->⎣⎦，即22n n n n t t --<++，所以()()()111111221111222212222112n n n n n i i i i i i i i y t t --===⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥=+<+=+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()2111121121222222222n n n n n n n --⎛⎫=-+-=-+<-⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

2025届陕西省西安市陕西师范大学附属中学高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π32．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．1203．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A ．1B ．13C ．23D ．435．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥6．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B 3C ．12D ．17．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A 131B 132C 151D 1528．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724- B ．524- C ．524 D ．72410．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ）A ．524B ．724C ．1124D ．172411．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S =A ．56B ．66C ．77D ．7812．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2{|||2},|230A x x B x x x =≤=--≤，则A B ⋂=（）A ．[2,3]-B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]答案：B解绝对值不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 解：由2x ≤解得22x -≤≤，由()()223310x x x x --=-+≤解得13x -≤≤，故[]1,2A B ⋂=-，故选B.点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查两个集合的交集运算，属于基础题.2．已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D 解：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()364z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-，364a b =⎧⎨=-⎩，24a b =⎧⎨=-⎩，即24z i =-， 对应点为(2,4)-，在第四象限． 故选：D ．【考点】复数的运算与几何意义．3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10答案：B解：试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 4．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为() A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,3答案：C函数21()log f x x x =-的定义域为(0,)+∞，211'()0ln 2f x x x=+>，则()f x 在其定义域上单调递增．因为1(1)10,(2)02f f =-=，所以函数()f x 的零点在区间(1,2)内，故选C5．已知直线,m n 和平面α，则//m n 的一个必要条件是（） A ．//m α，//n α B ．m α⊥，n α⊥ C ．//m α，n ⊂α D ．,m n 与平面α成等角答案：D对各个选项逐个加以分析：根据空间两直线的位置关系判定的方法，得到A 、B 两项都不具备必要性，故错；根据空间直线与平面的位置关系判定方法，得到C 没有必要性，而D 是一个必要非充分条件．由此可得正确答案．解：解：对于A ，若“//m α且//n α”则必定“//m n 或m 、n 相交或m 、n 是异面直线”成立，故充分性不成立．而若“//m n “则不一定“//m α且//n α”，可能m ，n 都垂直于α，故必要性也不成立．故A 错；对于B ，若“m α⊥且n α⊥”则有“//m n ”成立，应该是充分不必要条件，故B 错； 对于C ，若“//m α且n ⊂α”成立，则有“//m n 或m 、n 是异面直线或m 、n 相交”成立，应该是既不充分也不必要条件，故C 错；对于D ，若“m ，n 与α所成角相等”不能推出“//m n ”，说明没有充分性， 反之若“//m n ”则必定有“m ，n 与α所成角相等”成立， 因此符合题是必要非充分条件，D 正确 故选：D ． 点评：本题以空间直线的位置关系为例，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．解题时应该注意合理利用空间直线与直线、平面与直线位置关系的常用结论．6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π= A ．35 B ．35 C ．45-D ．45答案：B解：试题分析：由题意周期22T ππ=⨯=，22πωπ==，角ϕ的终边经过点(3,4)P -，则3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=-，()sin(2)sin()442f πππϕϕ=⨯+=+3cos 5ϕ==．故选B ． 【考点】三角函数的定义，三角函数的性质．7．已知21n S n n a =+++是一个等差数列的前n 项和，对于函数()2f x x ax =-，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 的值为（） A ．20212022B ．20182019C ．20192020D ．20202021答案：D首先根据题意求出1a =-，再利用裂项求和法即可求解. 解：21n S n n a =+++是一个等差数列的前n 项和，则10a +=，解得1a =-，所以()2f x x x =+，所以()()2111f n n n n n ==++，所以()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为()1111111111112231223111n nT n n n n n n =++=-+-++-=-=⨯⨯++++， 则202020202021T =. 故选：D 点评：本题考查了等差数列的前n 和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.8．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14答案：B推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 解：以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABCS S=12． 故选B ． 点评：本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为-一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据题意，得出水面半径，求出水的体积，即可求出平地降雨量. 解：由题意可得，天池盆上底半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为()1214160+=寸， 则盆中水的体积为：()22196106105883ππ⨯++⨯=（立方寸），所以平地降雨量为2588314ππ=⨯寸. 故选：C. 点评：本题主要考查圆台体积的相关计算，熟记公式即可，属于基础题型. 10．已知,a b 是实数，若圆22111x y 与直线()()1120a x b y +++-=相切，则+a b 的取值范围是（）A．2⎡-+⎣ B．(),22⎡-∞-⋃++∞⎣C．(),⎡-∞-⋃+∞⎣D ．(]),22⎡-∞-⋃++∞⎣答案：B由题设圆心(1,1)C 到直线()()1120a x b y +++-=的距离1d ==1=，也即222()2()2a b a b a b +=++++，因为2221()2a b a b +≥+，所以221()2()2()2a b a b a b +-+-≥+，即2()4()40a b a b +-+-≥，解之得2a b +≥+2a b +≤-B 。

2020届高三文科数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{2,3,5}A =，{2,5}B =，则（ ） A ．A B ⊂B ．{1,3,4}U B =ð C ．{2,5}A B =U D ．{3}A B =I2．若(i)i 2i x y -=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-3．已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ）A ．32B ．1C ．12D ．04．函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象如图所示，则π()3f 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．35．下列命题错误的是（ ）A ．“2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 C ．在ABC △中，若“A B >”，则“sin sin A B >”D ．若等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ） A ．15B ．625C ．725D ．8257．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A ．2B ．6C ．101D ．2028．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得的线段长为2，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．2C ．2D ．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，1()()22xf x =+．则使不等式9(1)4f x -<成立的x 取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞UB ．(1,3)-C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞U10．函数1()()cos 1xxe f x x e+=⋅-在[5,5]-的图形大致是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知三棱锥P ABC -中，2π3APB ∠=，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．28πC ．24πD ．32π12．已知函数1()1xx f x e x +=--，对于函数()f x 有下述四个结论： 13．①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-成立；③()f x 有且仅有两个零点；④若xy e =在点000(,)(1)x x e x ≠处的切线也是ln y x =的切线，则0x 0必是()f x 零点．其中所有正确的结论序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(4,2)=-a ，(1,1)=-b ，若()k ⊥+b a b ，则k = ．14．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂*()n n ∈N 年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 ．（盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则平面1A EC 截该正方体所得截面面积为 ．16．过点1(1,)2P -作圆221x y +=的切线l ，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2B C =，34b c =． （1）求cos C ；（2）若3c =，求ABC △的面积．18．（12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B 配方废品有6件．A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105)[105,115)[115,125)频数8 a36 24 8（1）求a ，b 的值；（2）试确定A 配方和B 配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，4AD =，22AB =，45DAB ∠=︒，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -． （1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:10l x y ++=相切于点A ，点B 与A 关于x轴对称．（1）求抛物线C 的方程及点B 的坐标；（2）设,M N 是x 轴上两个不同的动点，且满足BMN BNM ∠=∠，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为,P Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标．21．（12分）设函数2()()x f x x m e =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()21()xg x e nx f x =---，当1m =，且0x ≥时，()0g x ≤，求n 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2cos :3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程πcos()4ρθα-=，点π(2,)4M 在直线l 上，直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； （2）求OAB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵{1,2,3,4,5}U =，{2,5}B =，∴{1,3,4}U B =ð，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵(i)i 1i 2i x x y -=+=+，∴2x =，1y =，所以i x y +的虚部1y =，故选B ．3．【答案】D【解析】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=，故选D ．4．【答案】B【解析】根据图象可得2A =，2πππ2362T =-=，即πT =， 根据2π||T ω=，0ω>，得2π2πω==， ∴2sin(2)y x ϕ=+，又()f x 的图象过点π(,2)6，∴π22sin(2)6ϕ=⨯+， 即ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ， 又因π||2ϕ<，∴π6ϕ=， ∴π()2sin(2)6f x x =+，πππ5π()2sin(2)2sin13366f =⨯+==，故选B ． 5．【答案】D【解析】由22440(2)202x x x x x -+=⇔-⇔-=⇔=，∴A 正确；命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-”， ∵方程20x x m +-=有实根11404Δm m ⇒=+≥⇒≥-，∴B 正确； 在ABC △中，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>(根据正弦定理)，∴C 正确， 故选D ． 6．【答案】A【解析】∵阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10，∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则51255p ==，故选A ． 7．【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，20203036202÷=L L ，202r =，303m =，202n =；②2020r =>，3032021101÷=L L ，101r =，202m =，101n =；③1010r =>，20210120÷=L L ，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =，故选C ．8．【答案】C【解析】依题意2c ba a===⇒=，∴双曲线渐近线方程为y =，不妨取渐近线10l y -=，则圆心(,0)(0)m m >到1l的距离d ==由勾股定理得2222()22+=，解得2m =±，∵0m >，∴2m =，故选C ． 9．【答案】A 【解析】∵9(2)4f =，由9(1)4f x -<，得(1)(2)f x f -<， 又∵()f x 为偶函数，∴(|1|)(2)f x f -<， 易知()f x 在(0,)+∞上为单调递减，∴|1|2x ->， ∴12x ->或12x -<-，即3x >或1x <-，故选A ． 10．【答案】A【解析】易知()()f x f x -=-，即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；()f x 在y 轴右侧第一个零点为π2x =， 当π02x <<时，10x e +>，10x e -<，cos 0x >，∴()0f x <，排除B ； 当0x +→时，12x e +→，10x e -→，cos 1x →，且10x e -<，∴y →-∞． 故选A ．(当π02x <<时，12cos ()()cos cos 11x x xe xf x x x e e+=⋅=---． 222(cos sin sin )2(sin sin )()sin sin 0(1)(1)x x x x x e x e x x e x x f x x x e e +--'=+>+>--，排除C)11．【答案】B【解析】在PAB △中，由余弦定理得3AB =，又222AC AB BC =+，∴ABC △为直角三角形，CB AB ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ，∴CB ⊥平面PAB ，∴几何体的外接球的球心到平面PAB 的距离为122BC =， 设PAB △的外接圆半径为r，则322πsin3r ==r = 设几何体的外接球半径为R，则22227R =+=，所求外接球的表面积24π28πS R ==，故选B ． 12．【答案】C【解析】依题意()f x 定义域为(,1)(1,)-∞+∞U ，且22()(1)xf x e x '=+-，∴()f x 在区间(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数，①错；∵当0a <时，则201ae a ->-，因此12()1111a a a f a e e a a +=-=-+->---成立，②对； ∵()f x 在区间(,1)-∞上单调递增，且22111(2)033f e e --=-=-<，(0)20f =>， ∴(2)(0)0f f -⋅<，即()f x 在区间(,1)-∞上有且仅有1个零点．∵()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，且552445()93304f e =-<-<，2(2)30f e =->，∴5()(2)04f f ⋅<，(也可以利用当1x +→时，()f x →-∞，2(2)30f e =->)得()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有1个零点．因此，()f x 有且仅有两个零点，③对；∵xy e =在点000(,)(1)xx e x ≠处的切线方程l 为000()x x y ee x x -=-．又l 也是ln y x =的切线，设其切点为11(,ln )A x x ，则l 的斜率11k x =， 从而直线l 的斜率011x k e x ==，∴01x x e -=，即切点为00(,)x A e x --， 又点在l 上，∴0000000001()0(1)1x x x x x x e e e x e x x -+--=-⇒-=≠-， 即0x 必是()f x 零点，④对．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3【解析】∵()k ⊥+b a b ，∴()0k ⋅+=b a b ，即2||0k ⋅+=b a b ，由已知得426⋅=--=-b a，||=b 6203k k -+=⇒=．A14．【答案】4【解析】设每年的营运成本为数列{}n a ，依题意该数列为等差数列，且13a =，2d =， 所以n 年后总营运成本22n S n n =+，因此，年平均盈利额为220(2)1616181810n n n n n n -+-=--+≤-=，当且仅当4n =时等号成立． 15．【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵平面11A D DA ∥平面11B C CB ，∴平面1A EC 与平面11B C CB 的交线必过C 且平行于1A E ， 故平面1A EC 经过1B B 的中点F ，连接1A F ，得截面1A ECF ， 易知截面1A ECF其对角线EF BD ==1AC =截面面积11122S AC EF =⨯=⨯=．16．【答案】220x y --=，22154x y +=【解析】①当过点1(1,)2-的直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，切点的坐标(1,0)A ；②当直线l 斜率存在时，设l 方程为1(1)2y k x =--， 根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率34k =，即35:44l y x =-，直线l 方程与圆方程的联立可以得切点的坐标34(,)55B -，根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为220x y --=，（或利用过圆222x y r +=外一点00(,)x y 作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为200x x y y r +=）依题意，AB 与x 轴的交点(1,0)即为椭圆右焦点，得1c =， 与y 轴的交点(0,2)-即为椭圆下顶点坐标，所以2b =， 根据公式得2225a b c =+=，因此，椭圆方程为22154x y +=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2cos 3C =；（2． 【解析】（1）依题意，由正弦定理得3sin 4sin A C =， ∵2B C =，∴3sin 24sin C C =，∴3sin cos 2sin C C C =， ∴(0,π)C ∈，sin 0C ≠，∴2cos 3C =． （2）解法一：由题意得3c =，4b =，∵(0,π)C ∈，∴sin 3C ==，∴sin sin 22sin cos 9B C C C ===，221cos cos 2cos sin 9B C C C ==-=-，∴21sin sin(π)sin()sin cos cos sin 39A B C B C B C B C =--=+=+=-=，∴11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯=△． 解法二：由题意及（1）得3c =，4b =，2cos 3C =， ∵(0,π)C ∈，∴sin 3C ==，由余弦定理2222cos c a b bc C =+-，得2291683a a =+-⨯，即2316210a a -+=，解得3a =或73a =，若3a =，又3c =，则A C =， 又2B C =，得ABC △为直角三角形，而三边为3a =，4b =，3c =的三角形不构成直角三角形，矛盾，∴73a =，∴117sin 4223ABC S ab C ==⨯⨯=△ 18．【答案】（1）24，0.026；（2）B 配方好些，详见解析． 【解析】（1）依题意，,A B 配方样本容量相同，设为n ， 又B 配方废品有6件，由B 配方的频频率分布直方图， 得废品的频率为60.00610n=⨯，解得100n =， ∴100(836248)24a =-+++=．由(0.0060.0380.0220.008)101b ++++⨯=，解得0.026b =， 因此a ，b 的值分别为24，0.026． （2）由（1）及A 配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为808902410036110241208100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20082002410036100100⨯+⨯+⨯==，质量指标值的样本方差为：222221[(20)8(10)240361024208]112100A s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=； 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100B x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，质量指标值的样本方差为：25222221()(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104B i i i s x x p ==-=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，综上A B x x =，22A B s s >，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定， 所以选择B 配方比较好．19．【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，AB =45EAB ∠=︒，由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-⋅⋅︒842242=+-⨯⨯=， ∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥． 以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得， 在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥． 又ED PE E =I ，∴BE ⊥平面PED ， 又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴BC PE ⊥． 由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ， 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=︒，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 454422CBD S BC CD =⨯⨯⨯︒=⨯⨯=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==⨯=⨯⨯=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83．20．【答案】（1）24y x =，(1,2)B ；（2）PQ l ∥，详见解析．【解析】（1）联立2210y px x y ⎧=⎨++=⎩，消去x ，得2220y py p ++=，∵直线与抛物线相切，∴2480Δp p =-=，又0p >，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =，由2440y y ++=，得2y =-，∴切点为(1,2)A -，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标(1,2)B ． （2）直线PQ l ∥，理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0，设(,0)(1)M t t ≠，直线BM 的方程为x my t =+， 由（1）(1,2)B ，12m t =+，∴直线BM 的方程为12tx y t -=+， 代入24y x =，解得2y =(舍)或2y t =-，∴2(,2)P t t -， ∵BMN BNM ∠=∠，∴,M N 关于AB 对称，得(2,0)N t -，同理得BN 的方程为122t x y t -=+-，代入24y x =， 得2((2),24)Q t t --，2244441(2)44PQ t t k t t t--===----， 直线l 的斜率为1-，因此PQ l ∥． 21．【答案】（1）见解析；（2）[1,)+∞．【解析】（1）依题得，()f x 定义域为R ，2()(2)xf x x x m e '=++，0x e >，令2()2h x x x m =++，44Δm =-， ①若0Δ≤，即1m ≥，则()0h x ≥恒成立，从而()0f x '≥恒成立，当且仅当1m =，1x =-时，()0f x '=， 所以()f x 在R 上单调递增；②若0Δ>，即1m <，令()0h x =，得1x =--1x =-+当(11x ∈---+时，()0f x '<；当(,1(1)x ∈-∞---++∞U 时，()0f x '>， 综合上述：当1m ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1m <时，()f x在区间(11--上单调递减，()f x在区间(,11)-∞---+∞上单调递增．（2）依题意可知：2()21()1x x xg x e nx f x e x e nx =---=---，令0x =，可得(0)0g =，2()(12)()x g x x x e n x '=---∈R ，设2()(12)x h x x x e n =---，则2()(41)xh x x x e '=-++，当0x ≥时，()0h x '<，()g x '单调递减， 故()(0)1g x g n ''≤=-，要使()0g x ≤在0x ≥时恒成立，需要()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以需要()10g x n '≤-≤，即1n ≥，此时()(0)0g x g ≤=，故1n ≥， 综上所述，n 的取值范围是[1,)+∞．22．【答案】（1）22:143x yC +=，12:12x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）127．【解析】（1）将曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数θ得， 曲线C 的普通方程为22143x y +=，∵点π)4M 在直线πcos()4ρθα-=上，∴ππcos()44α=-=∴πcos()4ρθ-=(cos sin )2ρθρθ+= 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 显然l 过点(1,1)，倾斜角为3π4．∴直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)． （2）解法一：由（1），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：2211(1)(1)143-++=，整理得27100t +-=，显然0Δ>，设,A B 对应的参数为1t ，2t，则由韦达定理得12t t +=，12107t t =-，由参数t 的几何意义得12||||7AB t t =-===，又原点(0,0)O 到直线l的距离为d == 因此，OAB △的面积为1112||2277S AB d ==⨯=． （2）解法二：由（1），联立2214320x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得271640x x -+=，显然0Δ>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得12167x x +=，1247x x =，由弦长公式得||AB ===， 又原点(0,0)O 到直线l的距离为d == 因此，OAB △的面积为1112||2277S AB d ==⨯=． （2）解法三：由（1），联立2214320x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得271640x x -+=，显然0Δ>， 设11(,)A x y ，。

2024年甘肃省兰州市西北师范大学附属中学数学高三上期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．162．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．81054．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．345．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加6．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．257．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞8．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -10．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．7811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省西北师范大学附属中学高三冲刺诊断考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}M x x =-≤,22{|log (2)log 3,}N x x x Z =+<∈,则M N = ( ) A. ∅ B.}1{ C.}1,0,1{- D. }0,1{-2. 已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 1是实数,则实数a 等于( ) A. B. C.- D.-3. 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]4. 在区间上随机取一个数x,则事件“0≤sin x≤1”发生的概率为( )A. B. C. D. 5．已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b 与a 垂直,则实数k 的值为( ) A. 1 B. -1 C.2 D.-2 6. 某程序框图如图所示,若输出的s=57,则判断框内为( )A.k>4?B.k>5?C.k>6?D.k>7? 7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 8. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使 用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图.内的人数为( )A.100B.160C.200D.2809. 设F 1,F 2是双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,若=0且||·||=2ac(c=),则双曲线的离心率为( ) A. 2 B.C.D.10. 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是（ ）A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 11. 数列}{n a 满足：1132,51++=-=n n n n a a a a a ，则数列}{1+n n a a 前10项的和为（ ）A ．1021 B ．2021 C ．919D ．181912. 若函数()()2e ln e 2x xf x x m =++-存在正的零点,则实数m 的取值范围为( )A. ()e,+∞B.)+∞ C. (),e -∞ D. (-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13. 已知a>0，b>0，且a+b=1，求ba11+的最小值____________14. 在等比数列}{n a 中，3512,21,3a a a 成等差数列，则=++87109a a a a 15. 在区间[0,2]上任取两个实数a,b ，则函数141)(22+-+=b ax x x f 没有零点的概率是 16. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a c b ac +-=，=. （1）求角A 的大小；（2）设函数x B x x f 2cos )2cos(1)(-++=，求函数)(x f 的最大值18. （本小题满分12分）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（1）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）19. 如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A,1AC AA ==,1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.(1) 求证:1A D ⊥平面1AB H ；(2)若AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.ABCA 1B 1C 1DH图420. 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A ，是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，3221-=k k ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与轴交于点)0,3(-D ，交椭圆于P 、Q 两点，且满足QD DP 3=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．21. 已知函数2()61f x x ax =++，2()8ln 21g x a x b =++，其中0a >．（1）设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求b 的最大值；（2）设()()()h x f x g x =+，证明：若a ≥1，则对任意1x ，2x (0,)∈+∞，12x x ≠，有2121()()14h x h x x x ->-请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若极坐标为4π⎫⎪⎭的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标； （2）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅23、选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设()|1||3|f x x x =--+ （1）解不等式()2;f x >（2）若不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范围. 设()|1||3|f x x x =--+数学（文）试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}M x x =-≤,22{|log (2)log 3,}N x x x Z =+<∈,则M N = ( ) A. ∅ B.}1{ C.}1,0,1{- D. }0,1{- 答案：D2. 已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 1是实数,则实数a 等于( ) A. B. C.- D.- 答案：A3. 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2] 答案：C4. 在区间上随机取一个数x,则事件“0≤sin x≤1”发生的概率为( )A. B. C. D. 答案：C5．已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b 与a 垂直,则实数k 的值为( )A. 1B. -1C.2D.-2 答案:B6. 某程序框图如图所示,若输出的s=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 答案：A7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 答案:D8. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期 400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30) 内的人数为( )A.100B.160C.200D.280 答案：B9. 设F 1,F 2是双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,若=0且||·||=2ac(c=),则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. C.D.答案：C10. 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是（ ）A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π【答案】B11. 数列}{n a 满足：1132,51++=-=n n n n a a a a a ，则数列}{1+n n a a 前10项的和为（ ）A ．1021 B ．2021 C ．919D ．1819答案：A12. 若函数()()2e ln e 2x xf x x m =++-存在正的零点,则实数m 的取值范围为( )A. ()e,+∞B. )+∞C. (),e -∞D. (-∞答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13. 已知a>0，b>0，且a+b=1，求ba11+的最小值____________ 答案：414. 在等比数列}{n a 中，3512,21,3a a a 成等差数列，则=++87109a a a a 答案：315. 在区间[0,2]上任取两个实数a,b ，则函数141)(22+-+=b ax x x f 没有零点的概率是 答案：4π16. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________. 答案：π8三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a c b ac +-=，=. （1）求角A 的大小；（2）设函数x B x x f 2cos )2cos(1)(-++=，求函数)(x f 的最大值解：（1）在△ABC 中，因为2221cos 22a c b B ac +-==，所以3π=B 。

北师大附中2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A ．8Nnπ B ．12nNπ C ．8nNπ D ．12Nnπ2．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +4．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B 2C 2D ．22-7．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．62y x =±C ．(32=±y x D ．)31=±y x8．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2749．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -10．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体11．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A 10B ．23C ．3D ．412．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省师大附中高三第五次模拟考试数学文试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第I 卷 (选择题，共60分)一.选择题：本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝A. ∅B.｛x |0＜x ＜3｝C.｛x |1＜x ＜3｝D.｛x |2＜x ＜3｝ 2. 函数y ＝8sin4x cos4x 的最小正周期是( ).A.2πB.4πC. π4D. π23. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝A.100B.210C.380D.400 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈5．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是A ．2 B.3 C.5 D.136. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖7. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2, 则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 8. 不等式112x <的解集是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．),2()0,(+∞-∞9．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--AC AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为A ．15 B ．25 C ．14 D ．53 10. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35C ．32D ．011. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线020084=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A ．430x y --=B ．034=+-y x C.020084=--y x D ．020084=+-y x12. 数列}{n a 中,)(*12N n a a a n n n ∈-=++, 3,121==a a , 则该数列的前100项之和100S =A.5B. 20C. 300D. 652第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13. 已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则2z x y =+的最大值为_______.14.正四棱锥侧面与底面所成的角为45︒，则其侧棱与底面所成角的正切值为 ． 15. 二项式61()x x+的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答) 16. 如果一个函数的图象关于直线0x y -=对称,则称此函数为自反函数. 使得函数23x by x a+=-为自反函数的一组．．实数,a b 的取值为________三、解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本题满分12分）已知函数()2sin()184f x x ππ=++.（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数(),[2,14]y f x x =∈-的图象(不要求写出作图过程).（Ⅱ）令)()()(x f x f x g -+=，x R ∈.求函数()g x 的最小值以及取得最小值时所对应的x 的集合.18．（本题满分12分）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高三一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ．（要求：答案用最简分数表示）19．（本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，22==AB AD ，点E 是AD 的中点，将DEC∆沿CE 折起到EC D '∆的位置，使二面角B EC D --'是直二面角. （1）证明：D C BE '⊥；（2）求二面角E BC D --'的正切值.123510 15 20 25 参加人数活动次数20. （本题满分12分）设函数).0()(223>+-+=a m x a ax x x f （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若对任意的m x x f a 求上恒成立在不等式,]2,2[1)(],6,3[-∈≤∈的取值范围.21. （本题满分12分） 已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点B 的坐标为)1,0(，离心率等于22.直线l 与椭圆Γ交于N M ,两点.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 若椭圆Γ的右焦点F 恰好为BMN ∆的垂心,试求出直线l 的方程.22. （本题满分14分）已知正项数列{}n a 满足对一切*∈N n ,有233231n n S a a a =+++ ，其中n n a a a S +++= 21。

绝密★启用前2020届甘肃省西北师大附中高三5月模拟试题 数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{2,3,5}A =，{2,5}B =，则（ ） A ．A B ⊂ B ．{1,3,4}U B =ð C ．{2,5}A B =U D ．{3}A B ⋂=答案：B利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析断. 解：由题A B ⊃，故A 错；对C ：{2,3,5}A B =U ，C 错；对D ：{2,5}A B ⋂=，D 错；对B ：∵{1,2,3,4,5}U =，{2,5}B =，∴{1,3,4}U B =ð，B 正确. 故选:B ． 点评：本题考查了集合间的关系，集合的交并补运算，属于容易题. 2．若()2x i i y i -=+，,x y R ∈，则复数x yi +的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1-答案：B化简再根据复数相等的条件列式求解. 解：∵(i)i 1i 2i x x y -=+=+，∴2x =，1y =， 所以x yi +的虚部1y =， 故选：B ． 点评：本题考查了复数的运算，两复数相等的条件，属于容易题.3．已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ） A ．32B ．1C ．12D ．0答案：D切点坐标代入切线方程可求得(1)f ，再利用导数的几何意义求出直线的斜率即为(1)f '.解：切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=. 故选：D 点评：本题考查导数的几何意义、曲线的切线，属于基础题. 4．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，则()3f π的值为（ ）A ．12B ．1C 2D 3答案：B根据图象的最值求出A 、周期求出ω、代入特殊点求出ϕ即可求得函数解析式，令3x π=即可得解. 解：根据图象可得2A =，22362T πππ=-=，即T π=， 根据2||T πω=，0>ω，得22πωπ==， ∴2sin(2)y x ϕ=+，又()f x 的图象过点(,2)6π，∴π22sin(2)6ϕ=⨯+， 即2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∴26k πϕπ=+，k Z ∈，又因||2ϕπ<，∴6π=ϕ，∴()2sin(2)6f x x π=+，πππ5π()2sin(2)2sin 13366f =⨯+==. 故选：B 点评：本题考查由()sin()f x A x ωϕ=+的图象确定解析式，属于基础题. 5．下列命题错误的是（ ）A ．“2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 C ．在ABC V 中，若“A B >”，则“sin sin A B >”D ．若等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充要条件 答案：D解一元二次方程即可判断A 正确；根据一元二次方程有实根则>0∆即可得解；由A B a b >⇒>及正弦定理即可推出sin sin A B >，C 正确.解：由22440(2)0202x x x x x -+=⇔-=⇔-=⇔=，∴A 正确； 命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-”， ∵方程20x x m +-=有实根11404Δm m ⇒=+≥⇒≥-，∴B 正确； 在ABC V 中，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>(根据正弦定理)，∴C 正确， 故选D ． 点评：本题考查命题的真假判断、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题. 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A ．15B ．625C ．725D ．825答案：A列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为5的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可. 解：∵阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10，∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则51255p ==. 故选：A 点评：本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A ．2B ．6C ．101D ．202答案：C直接按照程序框图运行，即可得解. 解：输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=L L ，101r =，202m =，101n =；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ． 点评：本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得的线段长为2，则实数m 的值为（ ）A BC ．2D ．1答案：C先求出双曲线的渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离得到2222()()222+=，解方程即得解. 解：依题意2c ba a===∴=，∴双曲线渐近线方程为y =，不妨取渐近线10l y -=，则圆心(,0)(0)m m >到1l 的距离2d ==，由勾股定理得2222()()222+=，解得2m =±. ∵0m >，∴2m =. 故选：C ．点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查利用弦长求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，1()()22xf x =+．则使不等式9(1)4f x -<成立的x 取值范围是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞U答案：A通过分析得到(|1|)(2)f x f -<，再结合函数的奇偶性和单调性得到|1|2x ->，解不等式即得解. 解： 由题得19(2)244f =+=， 由9(1)4f x -<，得(1)(2)f x f -<， 又∵()f x 为偶函数，∴(|1|)(2)f x f -<，因为当0x ≥时，1()()22xf x =+， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上为单调递增， ∴|1|2x ->，∴12x ->或12x -<-， 即3x >或1x <-. 故选：A ． 点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．函数1()cos 1x x e f x x e ⎛⎫+=⋅ ⎪-⎝⎭在[5,5]-的图形大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A先计算()f x -，与()f x 进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D ，再当02x π<<时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B ，最后计算0x +→时，可得y →-∞，从而确定正确的选项．解：解：11()cos()cos ()11x xx xe ef x x x f x e e --++-=-=-=---g g ，∴函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D ；()f x 在y 轴右侧第一个零点为2x π=．当02x π<<时，10x e +>，10x e -<，cos 0x >，()0f x ∴<，排除选项B ；当0x +→时，12x e +→，10x e -→，cos 1x →，且10x e -<，y ∴→-∞，排除选项C ；． 故选：A ． 点评：本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 11．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）。

西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试高三数学（范围：集合与不等式、函数、导数）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若正数满足，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．64．吹气球时，气球的半径（单位：与体积（里位：之间的函数关系是时，气球的膨胀率（即气球每增大单位体积时半径的增加量）为（ ）A．B ．C ．1D ．5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，则7．已知函数，若均不相等且，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．{}240A x x =--≤∣A N ⋂={}0{}0,1{}0,1,2{}1,2()()01f x x =-[]3,3-[]3,1)(1,3-⋃()3,3-()()3,11,3-⋃,x y 220x xy -+=x y +r )dm V )L ()r V =V =166π12[]1,2x ∃∈-213022x x a +--≥0a ≤1a ≤2a ≤3a ≤ab >22ac bc >a b >22a b >0a b >>0m >b m ba m a+<+15a -<<23b <<43a b -<-<()lg |,01013,105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==abc ()1,10()5,6()10,15()20,248．设，，，则的大小顺序为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9．已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，，，则下列说法正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为C ．的最小值为20D ．的最小值为11．已知函数，的定义域均为为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知奇函数在定义域上是减函数，且则的取值范围为______．13．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．14．定义在上的函数满足，，若，则______，______．四、解答题（本题共5小题，共77分。

西北师大附中2015届高三第五次诊断考试数学 （文科） A 卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数(12)i i -=（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i -- 2、已知集合2{|2,0},{|lg(2)}xM y y x N x y x x ==>==-，则M N 为（ ）A ．()1,2B ．()1,+∞C ．[2,)+∞D ．[1,)+∞ 3、已知1,2a b ==，且a b ⊥，则a b +为（ ）AB C．2 D ． 4、执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．27 5、已知34(,),cos 25θππθ∈=-，则tan()4πθ-=（ ） A ．7 B ．17 C ．17- D ．-76、若实数,x y 满足000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x y z +=的最小值是（ ）A ．0 B ．1 C D ．9 7、函数cos(sin )y x =的图象大致是（ ）8、若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱柱的体积为（ ）A ．80B ．40C ．803 D ．4039、已知O 是ABC ∆的内部，满足40OA OB OC ++=， 则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为（ ） A ．3:2 B ．2:3 C ．5:4 D ．4:5 10、已知数列{}{},n n a b 满足11111,2,n n n nb a b a a n N b *++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为（ ） A ．91(41)3- B ．94(41)3- C ．101(41)3- D ．104(41)3- 11、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，直线1)y x =-与C 交于A 、B （A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为（ ） AB ．32C ．2D ．3 12、把函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是函数()f x 的导函数），若0.30.33311(3)(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99a fb fc f ππ=⋅=⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

甘肃省兰州市西北师大附中2024届高三第五次诊断考试（三模）数学试题一、单选题1．在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知直线m P 平面α，直线n ⊥平面β，则“m P n ”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知两个向量,a b rr 满足1a b b ⋅==r r r ，a b -=r r a =r （ ）A ．1BC D ．24．ABC V 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ==､､，则c =（ ）A ．2BC D ．15．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．12C D ．6．过抛物线()220y px p =>焦点的直线l 交抛物线于,A B 两点，已知18AB =，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点()11,0M ，则p =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．321S S S <<C ．312S S S <<D ．231S S S <<8．已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A ．b a c << B ．<<c a b C ．c b a <<D ．<<b c a二、多选题9．若集合A B B C =I U ，则一定有（ ） A ．C B ⊆ B ．B C ⊆ C ．B A ⊆D ．A B ⊆10．已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称11．已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）A1 B C D三、填空题12．已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =.13．春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为.14．记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =.四、解答题15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.(1)证明：MC P 平面1NAC ； (2)求锐二面角1M AC N --的余弦值.16．某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：(1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表；（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2：如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数()()niix x y y r --=∑.（2）经验回归方程ˆˆˆya bx =+；.()()()121ˆˆˆ,. niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：17．已知1a …，函数()ln 1a f x ax x x =-+.(1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2)若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线l 的斜率k 为定值； (3)求MAB △面积的最大值.19．对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N .对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n na a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2nn n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）(3)对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.。