黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三考前模拟训练(一)+数学(文)试题答案

大庆铁人中学高三学年上学期阶段质量检测数学试题(文科)一､选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知133iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1D ∵13(13)(3)=310i i i z i i ---==-+,∴z i =,z 的共轭复数的虚部为1. 2. 已知集合{}220A x x x =--≤，{}2log 0B x x =≤，则A B =（ ）A. {}11x x -≤≤B. {}01x x <≤C. {}01x x ≤<D. {}12x x -≤≤B先求得集合A 、B ，再根据交集的运算法则求解即可. 由题意得集合{}12A x x =-≤≤，集合{01}B x x =<≤， 所以{01}A B x x ⋂=<≤，故选：B3. 函数()()1ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4B根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；解：因为()()1ln 1f x x x =+-，在()0,∞+上是连续函数，且()21101f x x x'=+>+，即()f x 在()0,∞+上单调递增，()1ln 210f =-<，()12ln 302f =->，()()120f f ∴⋅<， 所以()f x 在()1,2上存在一个零点.故选：B .4. 函数()f x 是R 上的奇函数，切满足()()+4=f x f x ，当[)2,0x ∈-时，()2=-2f x x ，则()2013f =（ ） A. -4B. -2C. 2D. 4C利用周期性把自变量的的绝对值变成最小，然后再利用奇函数性质求得值． ∵()()()4,f x f x f x +=∴是以4为周期的周期函数，()()()2013503411f f f ∴=⨯+=，又∵()f x 是R 上的奇函数，∴2(1)(1)1[2(1)]2f f =--=-⨯-⨯-=，故选C ． 5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//,m n αβ⊥且m n ⊥则αβ⊥ B. 若,m n αβ⊥⊥且//m n 则//αβ C. 若,////m n m n αβαβ⊥⊥且则 D. 若,m n αβ⊂⊂且//m n 则//αβ B试题分析：对于A 中，若//,m n αβ⊥且m n ⊥则α与β可能是平行的，所以不正确；对于C 中，,////m n m αβα⊥且则可能//n β，所以不正确；对于D 中，若,m n αβ⊂⊂且//m n 则α与β可能是相交的，所以不正确，故选B ．6. 已知等差数列{}n a 中，11a =，前10项的和等于前5的和，若m 60a a +=，则m =（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 2A由等差数列前10项的和等于前5的和，可得6789100a a a a a ++++=，由等差数列的性质得到()610502a a +=，结合已知m 60a a +=,即可求得m 的值． 因为在等差数列{}n a 中， 105S S =， 所以6789100a a a a a ++++=， 可得()610502a a +=， 6100a a ∴+=，又m 60a a +=，10m ∴=．故选A ．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 5πB. 12πC. 20πD. 8πA由三视图还原几何体的直观图，补全几何体为长方体有几何体的外接球即为该长方体的外接球，由长方体外接球半径R 为体对角线的一半可求出R ，进而求球体表面积.由三视图知：几何体为上图四棱锥11B ADD A -，且11ADD A 为边长为1的正方形，3AB =，将其补全为长方体1111ABCD A B C D -，则几何体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球半径R 为长方体的体对角线的一半，∴2221135R ++==，由外接球的表面积为245R ππ=，故选：A 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<D根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>> ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D9. 下列选项叙述错误的是（ ）A. 命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B. 若命题:p x A B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C. 若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D. “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 C根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意；对于B ：若命题:p x A B ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B 正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意.故选：C10. 函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4D由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解.由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=， 则1211214141()(2)[4()](42)(44)42222n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n +的最小值为4，故选D.11. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为 A. 0 B. 2C. 4D. 8D试题分析：画出函数f （x ）的图像如下，由图像知，所有实根之和为1234()()8x x x x +++=．故选D ．12. 设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，0b =，526c f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<A根据题意，构造函数()()cos g x f x x =，求导，可得()g x 在()0,π上的单调性，将a ，b ，c 变形整理，结合单调性，即可得答案.设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-， 因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,π上是增函数，1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，5555cos ()26666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c <<，故选：A二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥ ,则a 与b的夹角为__________120把向量垂直用数量积表示后可得夹角． ∵a b =，()2a b b +⊥，∴()22222cos ,0a b b a b b a b a b b +⋅=⋅+=<>+=，∴1cos ,2a b <>=-，∴,120a b <>=︒．故答案为：120︒．14. 设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．8-作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论．解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-，过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．15. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><则{}n S 中第_________项最大. 6根据已知条件，判断首项和公差的正负，利用等差数列前n 项和的性质，即可容易求得. 因为121330,0,120S S a >=， 故可得10,0a d ><，故1121130,0a a a a +>+<, 由等差数列的性质可知：6770,20a a a +><，故当6n =时，n S 取得最大值. 故答案为：6.16. 已知函数定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)=+xf x e x ，给出下列命题：①0x >时，()(1)xf x e x =- ②函数有2个零点③()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ ④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<其中正确命题为__________. ③ , ④分析：先根据奇函数性质求0x >时解析式，根据函数()f x 单调性确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题. 详解：因为函数()f x 定义在R 上的奇函数，所以0x >时，()()e (1)e (1)x x f x f x x x --=--=--+=-，()00f =， 因为当0x <时，()()1xf x e x =+，所以()(2)0,2x f x e x x =+==-'，当20x -<<时2()0,()((2),1)(,1)f x f x f e ->∈-=-'， 当2x <-时2()0,()((2),0)(,0)f x f x f e -<∈-=-'， 因此当0x <时，2()[,1)f x e -∈-， 根据奇函数性质得()(1,1)f x ∈-，max min 12max min ()1,()1()(()()2f x f x f x f x f x f x -∴-<-=因为()10f -=，所以()10f =，即函数有0，1，-1三个零点，当0x <时，()0f x >得-1<x<0,因此0x >时，()0f x >得x>1,所以()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞， 综上正确命题为③ , ④点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三､解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若(),m a c b =+，(),n a c b a =--且m n ⊥. （1）求角C 的大小；（2）若c =sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积. （1）3C π=；（2（1）先根据向量垂直关系坐标表示得边的关系，再根据余弦定理求角；（2）先根据正弦定理化角为边的关系，再根据余弦定理得方程，解得,a b ，最后根据三角形三角形面积公式得结果.（1）由m n ⊥可得：2220a c b ab -+-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由sin 2sin A B =及正弦定理可得：2a b =，∵c =3C π=，∴由余弦定理可得：2222222cos 43c a b ab C b b ab b =+-=+-=，∴解得：b =a =∴11sin 222ABC S ab C ∆==⨯=. 18. 已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+. （1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式.（1）证明见解析；（2）1*31()2n n b n N -+=∈.（1）根据题意可得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得1132n n a -=-，可得113n n n b b -+-=，利用累加法即可求得数列{}n b 的通项公式.（1）因为131n n a a +=+，所以111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为3的等比数列（2）由（1）可知1132n n a -+=，所以1132n n a -=-因为112n n n b b a +-=+，所以113n n n b b -+-=0213b b -= 1323b b -=……213n n n b b ---=，2n ≥，各式相加得：1122111(133)13331312n n n n b b -----=+++⋅⋅⋅=--+=， 又11b =，所以113131122n n n b ---+=+=， 又当n =1时，11b =满足上式，所以1*31()2n n b n N -+=∈19. 如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，23AB CD ==，32BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． （1）证明见解析；（2）22. （1）由线面垂直推出AB CD ⊥，结合BC CD ⊥可得CD ⊥平面ABC ，再由//EF CD 即可得证； （2）间接利用三棱锥D ABC -的体积减去三棱锥F ABE -的体积即为所求. （1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥， 又∵BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∵//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC （2）由（1）知EF ⊥平面ABC ，BCDFE A BCD A BEF D ABC F ABE V V V V V ----=-=-111112332232332332322=⨯⨯⨯⨯⨯22=. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点2,1)，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线: (0)l y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值.（1）22142x y +=（2）证明见解析； （1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求得,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形OAPB 是平行四边形，可得P 点坐标，把P 点坐标代入椭圆方程，得到22212k t +=，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形OAPB 的面积为定值．解：（1）因为椭圆C 过点，代入椭圆方程，可得22211a b +=①，，所以c a =，从而222a b =②， 联立①②，解得24a =，22b =， 所以椭圆为22142x y +=； （2）把y kx t =+代入椭圆方程22142x y +=， 得()()222214220k x ktx t +++-=，所以()()()22222(4)821282210kt k t k t ⎡⎤∆=-+-=+->⎣⎦， 设()11A x y ，，()22,B x y ，则()2121222224,2121t kt x x x x k k -+=-=++， 所以()121222221t y y k x x t k +=++=+， 因为四边形OAPB 是平行四边形，所以()12122242,2121kt t OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，，所以P 点坐标2242,2121kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又因为点P 在椭圆上，所以()()22222224212121k t t k k +=++，即22212k t +=.因为12||AB x =-===. 又点O到直线l 的距离d =所以平行四边形OAPB 的面积2||OAPB OAB S S AB d ==⋅===即平行四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()2ln 11x f x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）若0m =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．（1）函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞（2）12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭（1）将0m =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '<和()0f x '>，即可得出该函数的减区间和增区间；（2）由题意得出不等式()2ln 10x x m x --≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，利用导数分析出函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，得出该函数的最大值()max g x ，结合()()max 1g x g ≤，可求出实数m 的取值范围.（1）当0m =时，()ln x f x x=，其定义域为()0,∞+， 则()21ln x f x x -'=，当()0,x e ∈时()0f x '>，当(),x e ∈+∞时()0f x '<，故函数()y f x =的单调递增区间为()0,e ，单调减区间为(),e +∞；（2）不等式()0f x ≤，即2ln 110x m x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即()2ln 10x x m x --≤， 由题可知()2ln 10x x m x --≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，令()()()21ln 1g x x x m x x =-≥-，则()ln 12g x x mx '=+-，令()()ln 121F x x mx x =+-≥，则()12mx F x x-'=， ①若0m ≤，则()0F x '>，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递增，所以()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意；②若102m <<，则当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0F x '>，函数()y g x '=在112,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以当11,2x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()1120g x g m ''≥=->，则()()10g x g ≥=，不符合题意； ③若12m ≥，则()0F x '≤在[)1,+∞上恒成立，函数()y g x '=在[)1,+∞上单调递减， 所以()()1120g x g m ''≤=-≤，所以()()10g x g ≤=，符合题意． 综上，12m ≥，故实数m 的取值范围为12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭． 22. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22sin ―cos ρθρθ=，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数）， （1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P -，求PA PB +的值．（1）220x y -+=，()2214x y ++=；（2. （1）由22sin cos ρθρθ-=，利用,y sin x cos ρθρθ==得到直线l 的普通方程；由曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），利用平方关系消参即可.（2）将直线l的参数方程1xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入曲线C的普通方程得25100t+-=，然后利用t的几何意义，由12||||PA PB t t+=-结合韦达定理求解．（1）因为22sin cosρθρθ-=，所以22y x-=，所以直线l的普通方程为220x y-+=．'因为曲线C的参数方程为2cos12sinxyαα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），所以曲线C的普通方程为()2214x y++=．（2）由题意可得直线l的参数方程为15xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得25100t+-=，则125t t+=-，122t t=-，故12||||PA PB t t+=-==．。

2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合＝，＝，则的真子集个数为（）A. B. C. D.2. 在中，“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知命题＝在其定义域内是减函数；命题＝的图象关于对称．则下列命题中真命题是（）A. B. C.￢ D.￢4. 设方程＝的根为，方程＝的根为，则＝（）A. B. C. D.5. 设＝，，，则（）A. B. C. D.6. 已知函数，则（）（）＝（）A. B. C. D.7. 欲得到函数＝的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位8. 函数在的图象大致是（）A.B.C.D.9. 命题“存在，”的否定是（）A.不存在，B.存在，C.对任意的，D.对任意的，10. 设，为正数，且，则（）A. B. C.＝ D.＝11. 定义在上的函数＝是奇函数，＝为偶函数，若＝，则＝（）A. B. C. D.12. 函数是定义在上的函数，其导函数记为，＝的图象关于对称，当时，恒成立，若＝，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是________．14. 已知钝角的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的的外接圆的面积的最小值为________．（2）若在上恒成立，求正数的取值范围．15. 设，，（是自然对数的底），若对，，使得＝成立，则正数＝________．16. 关于函数＝有如下四个命题：①的图象关于轴对称；②的图象关于原点对称；③在上单调递减；④的最小值为；⑤的最小正周期为．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（共70分）17. 已知＝，（1）求＝在＝处的切线方程；（2）求＝在上的最值．18. 已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．19. 已知＝．（1）求的最小正周期；（2）若＝（为常数）在上有两个不同的零点和，求．20. 的三个内角，，所对的边分别为，，，三个内角，，满足．（1）求；（2）若＝，的内角平分线，求的周长．21. 已知椭圆的离心率为，点在上．Ⅰ求的方程；Ⅱ直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．22. 已知函数＝（是自然对数的底）．（1）当＝时，求函数＝的单调区间；参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合，，从而求出，由此能求出的真子集个数．【解答】∵集合＝＝，＝＝，∴＝，∴的真子集个数为＝．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断正弦定理【解析】由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知，∵，∴，∴．反之，∵，∴，∵，，∴ .故在中，“”是“”的充要条件.故选.3.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】直接利用简易逻辑和真值表的应用求出结果．【解答】命题＝在其定义域内是减函数；为假命题．命题＝的图象关于对称．为假命题．故￢为真命题．4.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题可知，函数＝和函数＝的图象与直线＝的交点的横坐标分别为和，而函数＝与＝互为反函数，故点与点关于直线＝对称，从而得解．【解答】由题可知，函数＝的图象与直线＝的交点的横坐标为，函数＝图象与直线＝的交点的横坐标为，而函数＝与＝互为反函数，所以点与点关于直线＝对称，所以＝或＝，即＝．5.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】根据对数函数和幂函数的性质，利用特殊值判断即可．【解答】＝＝，，，所以．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，由函数的解析式计算与的值，进而可得（）和（）的值，相加即可得答案．【解答】根据题意，函数，则＝＝，＝，则（）＝＝＝，（）＝＝＝，故（）（）＝＝；7.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由函数＝的图象变换即可得解．【解答】∵＝，＝，∴要得到函数＝的图象，只需将函数的图象向右平移个单位．8.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，利用排除法分析：分析函数的奇偶性排除，进而由函数的解析式分析可得在上，且，排除、，即可得答案．【解答】故选：．9.【答案】D【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在，”的否定是：“对任意的，”．10.【答案】C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】推导出，由此能求出结果．【解答】∵，为正数，且，∴，对于，时，不成立；对于，时，不成立；当＝时，，成立．对于，＝时，不成立．11.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是，结合周期性，对称性进行转化求解即可．【解答】∵＝为偶函数，∴＝，即关于＝对称，∵是奇函数，∴＝＝，且＝，即＝，得＝＝，则函数的周期是，则＝＝＝＝，＝＝＝＝，＝＝＝＝，则＝＝，故选：．12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由的对称性可推出的图象关于对称，即是奇函数；构造新函数，求导后可证得在上单调递减；结合为奇函数可说明函数为偶函数，且在上单调递增，＝＝，从而得和时，的取值范围；再将不等式等价于或，进而得解．【解答】∵＝的图象关于对称，∴函数＝的图象关于对称，即函数是奇函数，设，则，∵当时，恒成立，即，∴，即在上单调递减．又函数是奇函数，∴，∴函数为偶函数，在上单调递增．∵＝，∴＝．∴当或时，；当或时，．不等式等价于或，∴或．∴不等式的解集为．二、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求导得＝，由二次函数的性质可知，在上单调递减，而原问题可转化为在内至少有一个变号零点，再结合零点存在定理列出关于的不等式组，解之即可．【解答】∵，∴＝，对称轴为＝，开口向上，∴在上单调递减，∵在上不单调，∴在内至少有一个变号零点，∴，即，解得．∴实数的取值范围是．14.【答案】【考点】正弦定理【解析】设钝角的三边分别为，，，且所对的角为钝角，由余弦定理求得，再利用三角形三边关系求出的可能取值，讨论确定的外接圆面积最小时的三条边，从而求出面积的最小值．【解答】由题意，设钝角的三边分别为，，，且所对的角为钝角，由余弦定理得，即，又公差为偶数，且，即；所以＝时的外接圆取得最小值；又为正整数，所以的可能取值为，，，，；当＝时，三角形三边分别为，，，不能构成三角形，舍去；当＝时，三角形三边长分别为，，，不能构成三角形，舍去；当＝时，三角形三边分别为，，，能构成三角形，此时的外接圆面积最小；由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，解得，所以外接圆的面积最小值为＝．15.【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】先把＝转化为，再利用导数分别求出等式两边的取值集合，结合题意即可得到等式右边的取值集合包含等式左边的取值集合，列不等式求解即可．【解答】依题意由＝成立，可得，化简得，令，则，于是当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么，由，故，于是函数的值域为，所以当时；当时，因为，使得成立，所以，于是有，解得⩽⩽，即＝．16.【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据函数＝的性质依次判断下列各选项即可；【解答】由函数＝，那么＝∴是奇函数，故①错，②对，当上时，函数＝是递增函数，且，那么函数在单调递减，所以得在上单调递减，故③对；因为＝的周期＝，且，∴的最小正周期为．故④不对．三、解答题（共70分）17.【答案】＝的定义域为＝＝＝所以切线方程为：＝，即＝令＝，得，又，故当时，，单调递减当时，，单调递增---在处取得最小值，为＝，，在处取得最大值，为综上得＝在上的最小值为，最大值为．--【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）出导函数，求出函数在＝处的函数值，即导数，即可求得切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求得函数的最值．【解答】＝的定义域为＝＝＝所以切线方程为：＝，即＝令＝，得，又，故当时，，单调递减当时，，单调递增---在处取得最小值，为＝，，在处取得最大值，为综上得＝在上的最小值为，最大值为．--18.【答案】＝．因为，为锐角，，所以，＝，，所以．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，通过“”的代换，转化求解即可．（2）利用角的转化＝，通过两角和与差的三角函数转化求解即可．【解答】＝．因为，为锐角，，所以，＝，，所以．19.【答案】＝＝，则所以的最小正周期为．当时，，，由得，即此时的对称轴为，当时，＝，当时，＝，若＝在上有两个不同的零点和，即＝在上有两个不同的根和，则此时和关于对称，所以．【考点】函数的零点与方程根的关系两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，结合三角函数的图象，利用函数与方程之间的关系进行转化即可．【解答】＝＝，则所以的最小正周期为．当时，，，由得，即此时的对称轴为，当时，＝，当时，＝，若＝在上有两个不同的零点和，即＝在上有两个不同的根和，则此时和关于对称，所以．20.【答案】由已知得：＝因为所以＝所以又因为所以由余弦定理：＝，即＝整理得：＝因为＝即整理得：所以解得：＝（或舍）所以的周长为【考点】正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得＝，利用余弦定理可求的值，结合范围可求的值．（2）由余弦定理可得：＝，由于＝，利用三角形的面积公式可求，即可解得的值，从而得解三角形的周长的值．【解答】由已知得：＝因为所以＝所以又因为所以由余弦定理：＝，即＝整理得：＝因为＝即整理得：所以解得：＝（或舍）所以的周长为21.【答案】（1）由题意得，解得＝，＝，∴椭圆的方程为；证明：Ⅱ设直线＝，，，，把＝代入，得＝．故，于是直线的斜率，即，∴直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】Ⅰ由题意得关于，，的方程组，求解得＝，＝，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线＝，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得坐标，得到直线的斜率，进一步可得直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【解答】（1）由题意得，解得＝，＝，∴椭圆的方程为；证明：Ⅱ设直线＝，，，，把＝代入，得＝．故，于是直线的斜率，即，∴直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．22.【答案】＝，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数＝的单调递减区间为，单调递增区间为．解法一：∵＝，∴，且．设＝，则，∴在上单调递增，即在上单调递增，当＝时，＝，∴＝＝，∴成立．当时，，∴，∴，∴存在唯一，使得，且当时，，当时，∴，∴＝，因此，∴，∴恒成立；当时，＝，∴，不是恒成立．综上所述，实数的取值范围是．解法二：＝＝等价于＝，令＝，上述不等式等价于，显然为单调增函数，∴又等价于，即，令＝，则在上’，单调递增；在上’，单调递减，∴＝＝，，即，∴的取值范围是．解法三：由（1）得＝在＝处取得最小值为，即对任意，在上单调递增，所以，当时，＝，当时，＝即存在＝使＝，不合题意，综上得正数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出导函数，判断导函数的单调性，然后判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．（2）解法一：求出的导函数，设＝，利用函数的导数，通过的范围转化求解函数的最值，然后推出实数的取值范围．解法二：＝＝等价于＝，令＝，上述不等式等价于，利用函数的单调性，构造函数，通过导函数，转化求解函数的最值，推出结果．解法三：由（1）得＝在＝处取得最小值为，即，通过函数的性质，结合函数的单调性，求出正数的取值范围．【解答】＝，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数＝的单调递减区间为，单调递增区间为．解法一：∵＝，∴，且．设＝，则，∴在上单调递增，即在上单调递增，当＝时，＝，∴＝＝，∴成立．当时，，∴，∴，∴存在唯一，使得，且当时，，当时，∴，∴＝，因此，∴，∴恒成立；当时，＝，∴，不是恒成立．综上所述，实数的取值范围是．解法二：＝＝等价于＝，令＝，上述不等式等价于，显然为单调增函数，∴又等价于，即，令＝，则在上’，单调递增；在上’，单调递减，∴＝＝，，即，∴的取值范围是．解法三：由（1）得＝在＝处取得最小值为，即对任意，在上单调递增，所以，当时，＝，当时，＝即存在＝使＝，不合题意，综上得正数的取值范围是．。

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=i(1+i)，则|z|等于()A. 0B. 1C. √2D. 22.已知集合A={x|−3<x<3}，B={x∈N∗|x2−2x−8<0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {−1,0，1，2，3}3.曲线y=x2x−1在点(1,1)处的切线方程为()A. x−y−2=0B. x+y−2=0C. x+4y−5=0D. x−4y−5=04.从甲、乙等5名学生中随机选出2名学生，则甲被选中的概率为()．A. 15B. 25C. 825D. 9255.函数f(x)=cosx⋅ln(√1+x2−x)(−2≤x≤2)的图象大致为()A. B.C. D.6.过双曲线x2−y2b2=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b=()A. 12B. √3 C. 2 D. √337.若函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数，则f(1+log√23)=()A. 9B. 11C. 16D. 188.如果直线m//平面α，直线n⊂平面α，则下列说法正确的为()A. 有且只有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂βB. 有无数个平面β，使得m⊥β，且n⊂βC. 不存在平面β，使得m ⊥β，且n ⊂βD. 至多有一个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β9. (sin22.5°+cos22.5°)2的值为( )A. 1−√22B. 1+√22C. √2−1D. 210. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB =3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC.若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 107B. 98C. 2516D. 291811. 在△ABC 中，若bsinA =acosB ，则角B 的值为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45°12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B.若△BF 1A 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. √33C. 12D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0,x +2y ≥0,x ≤2,则z =3x +y 的最小值为________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15=300，则a 1，a 2，a 3，…，a 15这15个数的中位数为______．15. 设函数f(x)=sinx −cosx +x +1，求函数f(x)的单调区间与极值． 16. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=a ，∠BAB 1=∠B 1A 1C 1=30°，则AB 与A 1C 1所成的角为____，AA 1与B 1C 所成的角为____. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−2a n =2n (n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n =an2n .求数列{a n }的前n项和S n ．18.某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女中各随机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：喜欢不喜欢总计女生15男生1220合计附：参考公式及数据P(K2≥k)0.150.100.050.025k 2.0722.7063.8415.024(1)在喜欢这项课外活动项目的学生中任选1人，求选到男生的概率；(2)根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？19.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=1CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√3．2(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．20. 已知边长为16√3的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C ：y 2=2px(p >0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线l′于点P ，交x 轴于点M ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明：直线l 过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数(1)当a ≥0时，求f(x)的单调区间；(2)若存在a ∈(−∞,0]，使得f(x)≥bln(x +1)在x ∈[0,+∞)上恒成立，求实数b 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|xa +1|，g(x)=|x−1a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)−2g(x)<1的解集；(2)若a>1，b>1，证明：f(−1b )>g(1b)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵复数z =i(1+i)=−1+i ， ∴|z|=√(−1)2+12=√2． 故选：C ．化简复数z ，求出它的模长即可．本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．2.答案：A解析：解：∵集合A ={x|−3<x <3}，B ={x ∈N ∗|x 2−2x −8<0}={x ∈N ∗|−2<x <4}={1,2，3}， ∴A ∩B ={1,2}， 故选：A ．求出集合B ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查利用导数的几何性质求曲线在某点处的切线方程，属于基础题． 【解答】解：由曲线y =x2x−1，得y ′=−1(2x−1)2， 则斜率为k =y ′|x=1=−1，∴在点(1,1)处的切线方程为y −1=−(x −1)， 即x +y −2=0． 故选B ．4.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=C52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m=C11C41=4，∴甲被选中的概率p=mn =410=25．故选B．5.答案：B解析：解：因为f(−x)=cos(−x)⋅ln(2)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，且f(x)=cosx⋅√1+x2+x，所以当0<x<π2时，f(x)<0，当π2<x<2时，f(x)>0，结合选项可知，选项B符合题意．故选：B．由函数的奇偶性及函数的取值，结合排除法得解．本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质及几何意义．利用双曲线渐近线与其实轴夹角与离心率的关系得 c=√3，再利用双曲线中a，b，c的关系计算得结论．【解答】解：在RtΔEFO中，因为∠OFE=2∠EOF，所以∠EOF=30°，即双曲线渐近线与其实轴夹角为30°，所以此双曲线的离心率e=1cos30°=√3，即 c=√3．因此43=1+b2，解得b=√33．故选D．7.答案：D解析：解：因为函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数，所以f(x)=2x，所以f(1+log√23)=21+log√23=2×2log√23=2×2log29=2×9=18，故选：D．首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：若存在m⊥β，且n⊂β，则m⊥n，∴m⊥n时，有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β，故选：D．若存在m ⊥β，且n ⊂β，则m ⊥n ，即可得出结论．本题考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了同角三角函数关系、特殊三角函数的值和二倍角正弦公式等知识，属于基础题． 用完全平方公式将原式展开，结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系，即可得到本题的答案． 【解答】解：(sin22.5°+cos22.5°)2=sin 222.5°+2sin22.5°cos22.5°+cos 222.5°， ∵2sin22.5°cos22.5°=sin45°=√22， sin 222.5°+cos 222.5°=1， ∴(sin22.5°+cos22.5°)2=1+√22， 故选B10.答案：C解析：解：由题意建立如图所示的直角坐标系因为AB =3，BC =4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)． 设E(a,3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,3)， 因为BE ⊥AC ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a −9=0，解得a =94，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(94,3)=λ(0,3)+μ(4,0)，所以{4μ=94,3λ=3.解得{λ=1,μ=916所以λ+μ=2516． 故选：C ．由题意建立如图所示的直角坐标系，设E(a,3)，根据BE ⊥AC ，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a −9=0，解得a =94，再根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得到{4μ=943λ=3，解之即得解． 本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11.答案：D解析：解：在△ABC 中，bsinA =acosB ，由正弦定理可得：sinBsinA =sinAcosB ，∵sinA ≠0． 又B ∈(0°,180°)∴sinB =cosB ，所以B =45°． 故选：D ．直接利用正弦定理化简求解即可． 本题考查正弦定理，是基础题．12.答案：B解析：解：如图，因为△BF 1A 为等腰三角形，且|AF 1|=|AF 2|=a ， 所以|AB|=|BF 1|，又|AB|+|BF 1|+|AF 1|=4a ，所以|AB|=3a 2，所以|AF 2|=2|F 2B|．过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，则△AOF 2∽△BMF 2，由A(0,−b)，F 2(c,0)， 得B(3c 2,b2)．因为点B 在椭圆C 上， 所以9c 24a 2+b 24b 2=1，所以c 2a 2=13， 即离心率e =ca =√33，故选：B ．画出图形，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，利用△AOF 2∽△BMF 2，求出B 的坐标，点B 在椭圆C 上，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．13.答案：−5解析：解：由实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0x +2y ≥0x ≤2作出可行域如图， 联立{x −y +3=0x +2y =0，解得A(−2,1)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ， 由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×(−2)+1=−5．故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：20解析：解：由等差数列的单调性可知a 1，a 2，a 3，…，a 15的中位数为a 8． 因为S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=300，所以，a 8=20，即所求中位数为20， 故答案为：20．由题意利用中位数的定义、等差数列的性质，得出结论． 本题主要考查中位数的定义、等差数列的性质，属于基础题．15.答案：解：由已知得f′(x)=1+√2sin(x +π4)，由三角函数性质得f′(x)为x =−π+2kπ，T =2π的周期函数，令f′(x)=0，1+√2sin(x+π4)=0，解得x=−π2+2kπ或x=−π2+2kπ，k∈Z由上表知，f(x)的单调递减区间为(−π+2kπ,−π2+2kπ)，单调递增区间为(−π2+2kπ,π+2kπ)，k∈Z．极小值为f(−π2+2kπ)=−π2+2kπ，极大值为f(π+2kπ)=π+2kπ+2．解析：由已知得f′(x)=1+√2sin(x+π4)，由此利用三角函数性质和导数性质能求出函数f(x)的单调区间与极值．本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．16.答案：30°；45°．解析：【分析】本题考查了异面直线所成的角，找出异面直线所成的角是解题的关键，属于基础题．平移直线，将异面直线平移到同一个三角形里，即可得出答案．【解答】解：因为AB//A1B1，所以∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30°，因为AA1//BB1，所以∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1=a，AB1=A1C1=2a，AB=√3a，所以B1C1=BC=a，所以四边形BB1C1C是正方形，所以∠BB1C=45°．故答案为30°；45°．17.答案：解：由b n=a n2n ，得：b n+1=a n+12n+1，即b n+1−b n=a n+12n+1−a n2n=12，所以数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12．所以b n=1+12(n−1)=n+12，所以a n=2n b n=(n+1)×2n−1．所以S n=a1+a2+⋯+a n=2×1+3×2+⋯+(n+1)×2n−1①所以2S n=2×2+3+22+⋯+(n+1)×2n②①−②得：−S n=2×1+2+22+⋯+22−1−(n+1)×2n=2n−(n+1)×2n=−2n n.即S n=2n n．解析：由b n=a n2n ，推出数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12.求出通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：(1)依题意知，喜欢这项活动的男生有8人，女生有15人，从中选一人有23种选法，其中选到男生有8种，所求概率为823．(2)根据题意，填写列联表如下：将a=15，b=5，c=8，d=12代入K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)中，得K2=40×(15×12−8×5)220×20×23×17≈5.013>3.841，所以，有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．解析：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目． (1)根据古典概型的概率，求出对应的概率；(2)填写列联表，计算K 2的值，对照数表得出概率结论．19.答案：解：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，，所以AB ⊥平面PAD ． 又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD ．(2)S 梯形ABCD =12(AB +CD)⋅AD =3√32， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以V 四棱锥P−ABCD =13×S 梯形ABCD ×PA =13×3√32×√3=32．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥平面PAD.由此能证明AB ⊥PD ． (2)推导出S 梯形ABCD =12(AB +CD)⋅AD =3√32，PA ⊥平面ABCD ，由此能求出四棱锥P −ABCD 的体积．20.答案：(1)解：因为该抛物线关于x 轴对称，所以可知点(24,8√3)在抛物线C 上，所以(8√3)2=2p ×24，解得p =4． 所以抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2)证明：由(1)得抛物线C 的准线的方程为x =−2． 设直线l 的方程为x =my +a(m ≠0)，P(−2,−2+a m)，M(a,0)．由得{y 2=8x,x =my +a,得y 2−8my −8a =0，其中△=64m 2+32a >0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8a ，于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(a −x 2)−y 2(y 1+a+2m )+(x 2+2)(a −x 1)−y 1(y 1+a+2m ) =(my 1+a +2)(−my 2)−y 2(y 1+a +2m )+(my 2+a +2)(−my 1)−y 1(y 2+a +2m)=(−2m 2−2)y 1y 2−(a +2)(m +1m )(y 1+y 2) =(−2m 2−2)(−8a)−8m(a +2)(m +1m) =8(m 2+1)(a −2)．由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得a =2． 所以直线l 的方程为x =my +2，因此直线l 过定点(2,0)．解析：(1)利用点(24,8√3)在抛物线C 上，求出p ，即可得到抛物线C 的方程． (2)设直线l 的方程为x =my +a(m ≠0)，P(−2,−2+a m)，M(a,0).联立直线与抛物线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理以及向量的数量积求解a ，得到直线系方程即可推出结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是，f ′(x)=−e −x (x −1)(ax −a −2)， (i)a =0时，f ′(x)=2e −x (x −1)， 令f ′(x)>0，解得：x >1， 令f ′(x)<0，解得：x <1，故f(x)在(−∞,1)递减，在(1,+∞)递增；(ii)a >0时，1+2a >1，令f ′(x)>0，解得：1<x <1+2a ， 令f ′(x)<0，解得：x <1或x >1+2a ，故f(x)在(−∞,1)递减，在(1,1+2a )递增，在(1+2a ,+∞)递减； (2)f(x)≥bln(x +1)在x ∈[0,+∞)上恒成立， 当x =0时，f(0)≥bln(0+1)， 故a ≥0成立，又a ∈(−∞,0]，故a =0；(i)当b ≥0时，∀x ∈(0,+∞)，bln(x +1)≥0，xe −x >0， 此时，bln(x +1)=2xe −x >0，不合题意，(ii)当b <0时，令ℎ(x)=bln(x +1)+2xe −x ，x ∈[0,+∞)， 则ℎ′(x)=be x +2−2x 2(x+1)e x，其中(x +1)e x >0，∀x ∈[0,+∞)，令p(x)=be x +2−2x 2，x ∈[0,+∞)， ∵b <0，∴p(x)在[0,+∞)递减，①当b ≤−2时，p(x)≤p(0)=b +2≤0， 故对任意x ∈[0,+∞)，ℎ′(x)≤0， 则ℎ(x)在[0,+∞)递减，故对任意x ∈[0,+∞)，ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即不等式bln(x +1)+2xe −x ≤0在[0,+∞)上恒成立，满足题意；②当−2<b <0时，由p(0)=b +2>0，p(1)=be <0及p(x)在[0,+∞)递减， 故存在唯一x 0∈(0,1)，使得p(x 0)=0且x ∈(0,x 0)时，p(x 0)>0， 从而x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在区间(0,x 0)递增， 则x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)>ℎ(0)=0， 即bln(x +1)+2xe −x >0，不符合题意， 综上，b ≤−2．即b 的取值范围为(−∞,−2].解析：本题考查了函数的单调性，存在性和恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)利用函数的存在性和恒成立，通过讨论b 的范围结合函数的单调性确定b 的范围即可． 22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ． (2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：(1)解：当a =1时，f(x)−2g(x)=|x +1|−2|x −1|={−x +3,x ≥1,3x −1,−1<x <1,x −3,x ≤−1.所以当x ≥1时，−x +3<1，得x >2；当−1<x <1时，3x −1<1，得x <23，所以−1<x <23； 当x ≤−1时，x −3<1恒成立．故不等式f(x)−2g(x)<1的解集为{x|x <23或x >2}．(2)证明：当a >1，b >1时，要证f(−1b )>g(1b ).只需证|−1ab +1|>|1b −1a |． 即证|ab −1|>|a −b|．因为|ab −1|2−|a −b|2=a 2b 2+1−a 2−b 2=(a 2−1)(b 2−1)>0， 所以|ab −1|>|a −b|，因此原不等式成立． 即a >1，b >1时，f(−1b )>g(1b )．解析：(1)当a =1时，化简f(x)−2g(x)=|x +1|−2|x −1|={−x +3,x ≥1,3x −1,−1<x <1,x −3,x ≤−1.分段求解不等式的解集即可．(2)利用分析法的证明步骤推出结果即可．本题考查不等式的证明，分析法的应用，绝对值不等式的解法，是中档题．。

高三数学（文史类）模拟检测试题20XX ．6本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式[])sin()sin(21cos sin β-α+β+α=β⋅α [])cos()cos(21cos cos β-α+β+α=β⋅α[])sin()sin(21sin cos β-α-β+α=β⋅α[])cos()cos(21sin sin β-α-β+α-=β⋅α一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1．已知集合}6 4 3{P ，，⊂，P 中至多有一个偶数，则这样的集合P 共有 A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个2．函数)4x 3cos()4x 3sin(y π++π+=的最小正周期是 A ．6π B ．2π C ．32π D ．3π3．用α表示一个平面，m 表示一条直线，则α内至少有一条直线与m A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面4．直线2y 3x =-被圆032x 2y x 22=+-+所截的弦长为 A ．32 B ．2 C ．3 D ．1 5．如图，在正三棱台111C B A ABC -中，AC 21CC C A 111==，D 在边BC 上，且11AC //D B 平面，则异面直线A A D B 11与所成角的余弦值为A ．23 B ．21 C ．41 D ．436．在1，2，3，4，5，6这六个数的全排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有A ．360种B ．120种C ．40种D ．20种7．在等差数列}a {n 中，n S 是数列}a {n 的前n 项和，已知73S S =，则=10SA ．-10B ．73S S +C ．)S S (2173+ D ．0 8．在△ABC 中，AB=3，内切动圆切AB 于D ，且AD=2DB ，则顶点C 的轨迹是 A ．双曲线 B ．双曲线的一部分 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分9．某工厂产值第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年平均增长率为x ，则A ．3r q p x ++=B ．3rq p x ++<C ．3r q p x ++≥D ．3rq p x ++≤10．圆锥的轴截面顶角为32π，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是A ．24πB ．8πC ．π32D ．π34 11．下列命题①若z ∈C ，则R z z |z |22∈⇔=。

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合A＝{(x, y)|x2+y2≤3, x∈N, y∈Z}，则A中元素的个数为（）A.9B.8C.7D.6【答案】D【考点】集合中元素个数的最值【解析】由x，y的约束条件进行讨论．【解答】∵y∈Z∴y＝0时，x＝−1，0，1y＝1时，x＝−1，0，1y>1时，不存在实数解x∴共有6种2. 设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的（）A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝−2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，+2i，则|z|=( )3. 设z=1−i1+iA.0B.1C.1D.√22【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸．【解答】解：z =1−i1+i +2i =(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i =−i +2i =i ， 则|z|=1． 故选C ．4. 在平面直角坐标系中，向量a →=(1, 2)，a →−b →=(2, 1)，c →=(x, y)，若(2a →+b →) // c →，(a →+c →)⊥b →，则x +y ＝（ ） A.12 B.32C.−32D.−12【答案】 C【考点】平行向量（共线）数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，两个向量共线、垂直的性质，求出x 、y 的值，可得x +y 的值． 【解答】∵ 向量a →=(1, 2)，a →−b →=(2, 1)，c →=(x, y)，∴ b →=(−1, 1)，2a →+b →=(1, 5)，． 若(2a →+b →) // c →，则x1=y5，即 5x ＝y ；∵ (a →+c →)⊥b →，∴ (1+x)⋅(−1)+(2+y)⋅1＝0，即1−x +y ＝0．求得x =−14，y =−54，则x +y =−32，5. 已知数列{a n }满足：a n+1＝a n −a n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019＝（ ） A.3 B.4 C.1 D.0 【答案】 B【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】通过计算数列的前几项可得数列{a n }为周期6的数列，即可得到所求和． 【解答】a n+1＝a n −a n−1(n ≥2, n ∈N ∗)，a 1＝1，a 2＝2，可得a 3＝a 2−a 1＝1，a 4＝1−2＝−1，a 5＝−1−1＝−2，a 6＝−2+1＝−1， a 7＝−1+2＝1，a 8＝1+1＝2，…，可得数列{a n }为周期6的数列，且a1+a2+...+a6＝0，则S2019＝336(a1+a2+...+a6)+a1+a2+a3＝0+1+2+1＝4．6. 为了得到函数y＝2sin(2x−π3)的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象（）A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π3个单位长度【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由条件利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】将函数y＝2sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得函数y＝2sin2(x−π6)＝2sin(2x−π3)的图象，7. 函数y＝sin(2x−π3)在区间[−π2, π]的简图是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】正弦函数的图象【解析】根据函数解析式可得当x=−π2时，y＝sin[(2×(−π2)−π3]>0，故排除A，D；当x=π6时，y＝sin0＝0，故排除C，从而得解．【解答】当x=−π2时，y＝sin[(2×(−π2)−π3]＝−sin(π+π3)＝sinπ3=√32>0，故排除A，D；当x=π6时，y＝sin(2×π6−π3)＝sin0＝0，故排除C；8. 已知函数f(x)＝ax2−2x+a，对∀x∈[1, 2]都有f(x)≤0成立，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 0]B.(−∞,45] C.(−∞, 1] D.[−1, 0]【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先分离参数，转化为求g(x)在[1, 2]上的最小值，再利用导函数判断出g(x)在[1, 2]上的单调性，即可求出a的取值范围．【解答】由题意可知对∀x∈[1, 2]，ax2−2x+a≤0恒成立，分离参数得：a≤2xx2+1在x∈[1, 2]上恒成立，∴a≤(2xx2+1)min，设g(x)=2xx2+1，x∈[1, 2]，∴g′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=−2x2+2(x2+1)2=2(1+x)(1−x)(x2+1)2，∵x∈[1, 2]，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[1, 2]上单调递减，∴g(x)在[1, 2]上的最小值为g(2)=45，∴a≤45，9. 已知函数f(x)=2cos2x−sin2x+2，则（）A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】 B【考点】三角函数的最值三角函数的周期性及其求法 【解析】本题主要考查三角恒等变换与三角函数的性质． 【解答】解：易知f(x)=2cos 2x −sin 2x +2=3cos 2x +1 =3cos 2x +1=32(2cos 2x −1)+32+1=32cos2x +52，则f(x)的最小正周期为π，当x =kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4． 故选B ．10. 已知函数f(x)＝|x|，若对∀x ∈R 都有f(x)+f(x −1)≥kx 成立，则实数k 的取值范围是（ ） A.(−2, 1) B.[−2, 1] C.[−1, 1]D.(−∞, −2]∪[1, +∞) 【答案】 B【考点】函数恒成立问题 【解析】f(x)+f(x −1)≥kx 即为kx ≤|x|+|x −1|，分类讨论，去掉绝对值符号，进而求得答案． 【解答】f(x)+f(x −1)≥kx 即为kx ≤|x|+|x −1|(∗)，当x ≤0时，(∗)等价为(k +2)x −1≤0恒成立，则需满足{k +2≥0(k +2)×0−1≤0 ，解得k ≥−2；当0<x ≤1时，(∗)等价为kx −1≤0恒成立，即k ≤1x 恒成立，则需满足k ≤1； 当x >1时，(∗)等价为(k −2)x +1≤0恒成立，则需满足{k −2<0k −2+1≤0 ，解得k ≤1； 综上，实数k 的取值范围为[−2, 1]．11. 已知函数f 1(x)={2(1−x),x ≤1x −1,x >1，如果对任意的n ∈N ∗，定义f n+1(x)＝f 1（f n (x)），那么f 2020(2019)＝（ ） A.0 B.1 C.2 D.2020 【答案】 C【考点】数列与函数的综合 【解析】利用分段公式，和定义f n+1(x)＝f 1（f n (x)），找出f n (2019)值的关系式，代入即可． 【解答】f 1(2019)＝2019−1＝2018，f 2(2019)＝f 1（f 1(2019)）＝f 1(2018)＝2019−2＝2017， …f(2)＝f 1（f 2(2)）＝f 1(0)＝2， f 2018(2019)＝2019−2018＝1，f 2019(2019)＝f 1（f 2018(2019)）＝f 1(1)＝0，f 2020(2019)＝f 1（f 2019(2019)）＝f 1(0)＝2(1−0)＝2， ∴ f 2020(2019)＝2， 故选：C ．12. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x −4)＝−f(x)且在区间[0, 2]上是增函数，则（ ）A.f(−25)<f(80)<f(11)B.f(80)<f(11)<f(−25)C.f(11)<f(80)<f(−25)D.f(−25)<f(11)<f(80) 【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可． 【解答】∵ f(x −4)＝−f(x)，∴ f(x −8)＝−f(x −4)＝f(x)， 即函数的周期是8，则f(11)＝f(3)＝−f(3−4)＝−f(−1)＝f(1)， f(80)＝f(0)， f(−25)＝f(−1)，∵ f(x)是奇函数，且在区间[0, 2]上是增函数， ∴ f(x)在区间[−2, 2]上是增函数， ∴ f(−1)<f(0)<f(1)， 即f(−25)<f(80)<f(11)， 故选：A ．二、填空题（每小题5分，共20分）若cosα=−45，α是第三象限的角，则sin(α+π4)=________． 【答案】−7√2【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】根据同角三角函数的关系算出sinα=2α=−35，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin(α+π4)的值．【解答】∵cosα=−45，α是第三象限的角，∴sinα=−√1−cos2α=−35，因此，sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=−35×√22+(−45)×√22=−7√210若x，y满足约束条件{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最大值为________．【答案】6【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=−32x+12z，平移直线y=−32x+12z，由图象知当直线y=−32x+12z经过点A(2, 0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：6函数f(x)＝3x −7+ln x 的零点位于区间(n, n +1)(n ∈N)内，则n ＝________． 【答案】 2【考点】函数零点的判定定理 【解析】分别计算f(1)，f(2)，f(3)的值，根据函数零点的判定定理，从而得到结论． 【解答】由于f(1)＝−4<0，f(2)＝ln 2−1<0，f(3)＝2+ln 3>0， 又f(x)在(0, +∞)上为增函数，所以在区间(2, 3)内，故n ＝2， 故答案为：2．已知命题p:∃x 0∈R ，使sinx 0=√52；命题q:∀x ∈R ，都有x 2+x +1>0．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(￢q)”是假命题； ③命题“(￢p)∨q ”是真命题； ④命题“(￢p)∨(￢q)”是假命题，其中正确的是________（把所有正确结论的序号都填上）． 【答案】 ②③ 【考点】复合命题及其真假判断 【解析】根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，我们易判断命题p:∃x ∈R ，使sin x =√52与命题q:∀x ∈R ，都有x 2+x +1>0的真假，进而根据复合命题的真值表，易判断四个结论的真假，最后得到结论． 【解答】 ∵ √52>1结合正弦函数的性质，易得命题p:∃x ∈R ，使sin x =√52为假命题，又∵ x 2+x +1＝(x +12)2+34>0恒成立∴ q 为真命题，故非p 是真命题，非q 是假命题； 所以p ∧q 是假命题， p ∧非q 是假命题， 非p ∨q 是真命题、三、解答题（17小题10分，18–22小题每小题10分，共70分）已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是首项为2且单调递增的等比数列，其前n项和为T n ，b 2+b 3＝12，b 3＝a 4−2a 1，b 8S 11＝11(T 11+2)． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =13(a n +5)，p n ＝log 2b n ，求数列{1c n×1p n}的前n 项和G n ．【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q(q >1)， 由已知得b 2+b 3＝12，得b 1(q +q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2+q −6＝0，又因为q >1，解得q ＝2，所以b n ＝2n ，由b 3＝a 4−2a 1，可得3d −a 1＝8， 由b 8S 11＝11(T 11+2)，即28(11a 1+11×102d)＝11(212−2+2)，可得a 1+5d ＝16，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n −2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n −2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ； 由（1）得c n =13(a n +5)=n +1，p n ＝log 2b n ＝n ， 所以1c n×1p n=1n+1×1n =1n −1n+1，所以G n =(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q(q >1)，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得所求通项公式；（2）求得c n =13(a n +5)=n +1，p n ＝log 2b n ＝n ，1c n×1p n=1n+1×1n =1n −1n+1，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q(q >1)， 由已知得b 2+b 3＝12，得b 1(q +q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2+q −6＝0，又因为q >1，解得q ＝2，所以b n ＝2n ，由b 3＝a 4−2a 1，可得3d −a 1＝8， 由b 8S 11＝11(T 11+2)，即28(11a 1+11×102d)＝11(212−2+2)，可得a 1+5d ＝16，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n −2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n −2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ； 由（1）得c n =13(a n +5)=n +1，p n ＝log 2b n ＝n ， 所以1c n×1p n=1n+1×1n =1n −1n+1，所以G n =(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinCsin(A+C)=2√3csinAsin2B2．（1）求角B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积S=2√3．求b．【答案】因为A+B+C＝π，0<A，B，C<π，又因为asinCsin(A+C)=2√3csinAsin2B2，所以由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R，得：sinAsinCsinB=2√3sinCsinAsin2B2，又因为sinA,sinC,sin B2≠0，所以sinB=2√3sin2B2，可得2sin B2cos B2=2√3sin2B2，可得√3sin B2=cos B2，可得tan B2=√33，可得B=π3．由面积公式S=12acsinB=√34ac=2√3，得ac＝8，由余弦定理b2＝a2+c2−2accosB＝(a+c)2−3ac＝12，解得b=2√3．【考点】正弦定理【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan B2=√33，进而可求B的值．（2）由三角形的面积公式可求ac＝8，进而由余弦定理可求b的值．【解答】因为A+B+C＝π，0<A，B，C<π，又因为asinCsin(A+C)=2√3csinAsin2B2，所以由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R，得：sinAsinCsinB=2√3sinCsinAsin2B2，又因为sinA,sinC,sin B2≠0，所以sinB=2√3sin2B2，可得2sin B2cos B2=2√3sin2B2，可得√3sin B2=cos B2，可得tan B2=√33，可得B=π3．由面积公式S=12acsinB=√34ac=2√3，得ac＝8，由余弦定理b2＝a2+c2−2accosB＝(a+c)2−3ac＝12，解得b=2√3．已知四面体ABCD中AB⊥面BCD，BC⊥DC，BE⊥AD垂足为E，F为CD中点，AB＝BD＝2，CD＝1．（1）求证：AC // 面BEF；（2）求点B到面ACD的距离．【答案】证明：因为BE⊥AD，AB＝BD，所以E为AD中点，又因为F是CD中点，所以AC // EF，而AC面BEF，EF⊂面BEF，所以AC // 面BEF；由已知得BC=√3，AD=2√2，AC=√7，所以三角形ACD为直角三角形其面积S△ACD=√72，三角形BCD的面积S△BCD=√32，设点B到面ACD的距离为ℎ，因为V A−BCD＝V B−ACD即13S△BCD×2=13S△ACD×ℎ，解得ℎ=2√217，所以点B到面ACD的距离为2√217，另法：作BH⊥AC于H，因为AB⊥面BCD所以AB⊥DC，又因为BC⊥DC，所以DC⊥面ABC，所以DC⊥BH，而BH⊥AC，所以BH⊥面ACD，在直角三角形ABC中，12AB×BC=12AC×BH，解得BH=2√217．【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面平行【解析】（1）证明AC // EF，然后利用直线与平面平行的判断定理证明AC // 面BEF（2）设点B到面ACD的距离为ℎ，通过V A−BCD＝V B−ACD，求解点B到面ACD的距离．另法：作BH⊥AC于H，在直角三角形ABC中，通过12AB×BC=12AC×BH，解得BH即可．【解答】证明：因为BE⊥AD，AB＝BD，所以E为AD中点，又因为F是CD中点，所以AC // EF，而AC面BEF，EF⊂面BEF，所以AC // 面BEF；由已知得BC=√3，AD=2√2，AC=√7，所以三角形ACD为直角三角形其面积S△ACD=√72，三角形BCD的面积S△BCD=√32，设点B到面ACD的距离为ℎ，因为V A−BCD＝V B−ACD即13S△BCD×2=13S△ACD×ℎ，解得ℎ=2√217，所以点B到面ACD的距离为2√217，另法：作BH⊥AC于H，因为AB⊥面BCD所以AB⊥DC，又因为BC⊥DC，所以DC⊥面ABC，所以DC⊥BH，而BH⊥AC，所以BH⊥面ACD，在直角三角形ABC中，12AB×BC=12AC×BH，解得BH=2√217．某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图茎叶图，其中A组学生每天学习数学时间不足1个小时，B组学生每天学习数学时间达到一个小时．学校规定90分及90分以上记为优秀，75分及75分以上记为达标，75分以下记为未达标．（1）分别求出A、B两组学生的平均分xA 、xB并估计全班的数学平均分x；（2）现在从成绩优秀的学生中任意抽取2人，求这两人恰好都来自B组的概率；（3）根据成绩得到如下列联表：①直接写出表中a、b、c、d的值；②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．参考公式与临界值表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．A组学生的平均分为x A=110(68+65+73+74+75+80+85+86+95+99)=80，B组学生的平均分为x B=110(67+75+77+85+85+88+89+90+95+99)=85，估计全班的数学平均分为x=120(80×10+85×10)=82.5；设这两人恰好都来自B组为事件E，由题意该概型符合古典概型，成绩优秀的共计5人，A组2人设为M、N，B组3人设为p、q、s，从5人中抽取两人有如下情况：MN、Mp、Mq、Ms、Np、Nq、Ns、pq、ps、qs，共计包含基本事件10个，事件E包含基本事件3个；两人恰好都来自B组的概率为P(E)=310；①通过茎叶图知a＝6、b＝4、c＝9、d＝1；②由公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=20×(6−36)210×10×15×5=125=2.4，且P(K2≥3.841)＝0.05，而K2＝2.4<3.841，所以没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．【考点】独立性检验【解析】（1）分别A组、B组学生的平均分，再估计全班的平均分；（2）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（3）①通过茎叶图求出a、b和c、d的值；②由公式计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】A组学生的平均分为x A=110(68+65+73+74+75+80+85+86+95+99)=80，B组学生的平均分为x B=110(67+75+77+85+85+88+89+90+95+99)=85，估计全班的数学平均分为x=120(80×10+85×10)=82.5；设这两人恰好都来自B组为事件E，由题意该概型符合古典概型，成绩优秀的共计5人，A组2人设为M、N，B组3人设为p、q、s，从5人中抽取两人有如下情况：MN、Mp、Mq、Ms、Np、Nq、Ns、pq、ps、qs，共计包含基本事件10个，事件E包含基本事件3个；两人恰好都来自B组的概率为P(E)=310；①通过茎叶图知a＝6、b＝4、c＝9、d＝1；②由公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=20×(6−36)210×10×15×5=125=2.4，且P(K2≥3.841)＝0.05，而K2＝2.4<3.841，所以没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．已知抛物线E:y2＝2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2＝2的右焦点．（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．【答案】由已知椭圆C整理得x22+y2=1⇒a=√2,b=1,c=1，所以焦点F的坐标为(1, 0)，所以p＝2，所以抛物线E的准线方程为：x＝−1；由题意知两条直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，方程为y ＝k(x −1)，则MN 的斜率为−1k ，方程为y =−1k (x −1)，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)， 由{y =k(x −1)y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2＝0， 因为△>0，所以x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB|=x 1+x 2+2=4+4k 2，同理得|MN|=4+4(−1k)2=4+4k 2，所以|AB|+|MN|=8+4(k 2+1k 2)≥8+8√k 2×1k 2=16，当且仅当k 2=1k 2即k ＝±1时取“等号”，所以两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值为16．【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得抛物线的焦点，进而得到p ，以及准线方程； （2）设直线AB 的斜率为k ，方程为y ＝k(x −1)，则MN 的斜率为−1k ，方程为y =−1k (x −1)，分别联立抛物线方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得所求最小值． 【解答】由已知椭圆C 整理得x 22+y 2=1⇒a =√2,b =1,c =1，所以焦点F 的坐标为(1, 0)，所以p ＝2， 所以抛物线E 的准线方程为：x ＝−1； 由题意知两条直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，方程为y ＝k(x −1)，则MN 的斜率为−1k ，方程为y =−1k (x −1)，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x 得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2＝0， 因为△>0，所以x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB|=x 1+x 2+2=4+4k 2，同理得|MN|=4+4(−1k)2=4+4k 2，所以|AB|+|MN|=8+4(k 2+1k 2)≥8+8√k 2×1k 2=16，当且仅当k 2=1k 2即k ＝±1时取“等号”，所以两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值为16．已知函数f(x)=ax−1x−lnx ．（1）当a ＝1时，求f(x)的单调区间；（2）若对∃x ∈[1e , e]，使f(x)≤0成立，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）． 【答案】 f(x)=x−1x−ln x ＝1−1x−ln x ，f(x)的定义域为(0, +∞)． f′(x)=1x 2−1x =1−x x 2，f′(x)>0⇒0<x <1，f′(x)<0⇒x >1，所以f(x)的单调递增区间为(0, 1)，单调递减区间为(1, +∞)． f(x)≤0⇔a ≤1x +lnx ，x ∈[1e ,e]， 令g(x)=1x +lnx,x ∈[1e ,e]g ′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，由g ′(x)＝0⇒x ＝1，当x ∈(1e ,1)时，g ′(x)<0，g(x)在[1e , 1]上单调递减，当x ∈(1, e)时，g ′(x)>0，g(x)在[1, e]上单调递增，g(1e )=e −1，g(e)=1e +1，g(1e )>g(e)，所以g(x)在[1e , e]上的最大值为g(1e )=e −1，所以a ≤e −1，所以实数a 的取值范围为(−∞, e −1]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求出f(x)的定义域为(0, +∞)．函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性即可．（2）f(x)≤0⇔a ≤1x +lnx ，x ∈[1e ,e]，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可． 【解答】 f(x)=x−1x−ln x ＝1−1x −ln x ，f(x)的定义域为(0, +∞)． f′(x)=1x 2−1x =1−x x 2，f′(x)>0⇒0<x <1，f′(x)<0⇒x >1，所以f(x)的单调递增区间为(0, 1)，单调递减区间为(1, +∞)． f(x)≤0⇔a ≤1x+lnx ，x ∈[1e,e]，令g(x)=1x +lnx,x ∈[1e ,e]g ′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，由g ′(x)＝0⇒x ＝1，当x ∈(1e ,1)时，g ′(x)<0，g(x)在[1e , 1]上单调递减，当x ∈(1, e)时，g ′(x)>0，g(x)在[1, e]上单调递增，g(1e )=e −1，g(e)=1e +1，g(1e )>g(e)，所以g(x)在[1e , e]上的最大值为g(1e )=e −1，所以a ≤e −1，所以实数a 的取值范围为(−∞, e −1]．。

2020届黑龙江省大庆市铁人中学高三考前模拟训练（二）数学（文）试题一、单选题1．若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M C N等于（ ） A ．{5,6} B ．{1,5,6}C ．{2,5,6}D ．{1256}，，， 【答案】D【解析】根据补集、并集的定义计算即可； 【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知单位向量a 、b 满足a b ⊥，则()a ab ⋅-=（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】本题首先可以通过题意得出1a b ==以及0a b ⋅=，然后通过()2a ab a a b ⋅-=-⋅即可得出结果.【详解】因为单位向量a 、b 满足a b ⊥， 所以1a b ==，0a b ⋅=，所以()221a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=， 故选：C. 【点睛】本题考查单位向量以及向量垂直的相关性质，若向量a b ⊥，则0a b ⋅=，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ） A ．5 B ．2 C ．22D ．3【答案】A【解析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+ 所以()22215z =-+=故选：A 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y +的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】对甲组数据进行分析，得出x 的值，利用平均数求出y 的值，解答即可． 【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x ，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x ＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y +91+91+96＝597+y ， 又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y ＝602，解得y ＝5， 可得x +y ＝8． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x ，y 的值，进而得到x +y 的值．5．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．﹣4D ．4【答案】B【解析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a ⋅的值. 【详解】∵a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，∴a 5、a 7是方程x 2﹣4x +3＝0的两个根， ∴a 5•a 7＝3，由等比数列的性质可得：a 3•a 9＝a 5•a 7＝3． 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率. 7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。

黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可.【详解】解：223{()|}Ax y x y x N y Z Q ≤∈∈＝，＋，，, 223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径3r =的圆,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6． 故选：D【点睛】本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集. 2.若a,b∈R，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】根据不等式的性质， 由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1， 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件， 故选A. 3.设121iz i i-=++（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.【详解】解：复数()()()21122111i iz i i i i i --=+=+++- 2222ii i i i -=+=-+=1z ==故选:C【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.4.在平面直角坐标系中，向量(1,2)a =r ，(2,1)a b r r-=，(,)c x y =r ，若()2a b c r r r P +，()a cb r r r +⊥，则x y +＝（ ） A.12B.32C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量b r 的坐标表示,再求出2a b +r r ,a c r r+的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出,x y 即可.【详解】解：(1,2)a =r ,(2,1)a b r r-=,(,)c x y =r()(1,1)b a a b r r r r∴=--=-2(1,5)a b r r ∴+=,(1,2)a c x y r r+=++又因为()2a b c r r r P +,()a cb r r r+⊥,则50(1)(1)(2)10x y x y -=⎧⎨+⨯-++⨯=⎩解得：1454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩153442x y ∴+=--=-故选：C【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.5.已知数列{}n a 满足： *11(2)n n n a a a n n N +≥∈－＝－，， 1212a a ＝，＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =（ ）A. 3B. 4.C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，列举出3a 到7a ,得出数列{}n a 的周期为6,所以可以求出2019S .【详解】解：1212a a Q ＝，＝,*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－， 根据递推公式有：321211a a a =-=＝－432121a a a =-=-＝－ 543112a a a =--=-＝－ 6542(1)1a a a =---=-＝－ 7651(2)1a a a =---=＝－所以数列{}n a 的周期为6.2019123456123336()S a a a a a a a a a =++++++++336(121121)1214=⨯++---+++=故20194S =. 故选：B【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前n 项和. 6.为了得到函数2sin(2)3y x π=-的图像,可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，令，解得， 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用. 7.函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3负数，可排除B ，故选A ． 8.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】 【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21x a x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤ 可化为()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 9.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10.已知函数()f x x =，若对x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. []2,1-C. []1,1-D.(][),21,-∞-+∞U【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得,x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方,将题目转化为函数图象来解决.【详解】解：因为()f x x =,x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥, 则可x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方.()()11x f x x f x +-=+-()()21,011,0121,1x x f x f x x x x -+<⎧⎪+-=≤<⎨⎪-≥⎩依题意画图要使()()1f x f x +-的图象恒在y kx =的上方, 则斜率1OA k k ≤=,或者2k ≥-, 实数k 的取值范围是[]2,1-. 故选：B【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力. 11.已知函数()()121,11,1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，如果对任意的n ∈N *，定义()()()11n n f x f f x +=，那么()20202019f =（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的性质,先代入()12019f ,然后得出数值之后代入()22019f ,得出规律,则可求出()20202019f . 【详解】解：()()121,11,1x x f x x x Q ⎧-≤=⎨->⎩,()()()11n n f x f f x +=()12019201912018f ∴=-= ()22019(2018)2017f f == ()32019(2017)2016f f ==M()20172019(3)2f f == ()20182019(2)1f f ==()2019(1)20192(11)0f f ==-= ()2020(0)20192(10)2f f ==-=故选：C【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则 A. (25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】10- 【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出35sin α==﹣，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；4cos ,5α=-Q α是第三象限的角，35sin α∴==﹣，34sin()()()44455sin coscos sinπππααα+=+=-+-=. 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系14.220{100x y x y y --≤-+≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分ABC ∆） 由32z x y =+得3122y x z =-+, 平移直线3122y x z =-+经过点C 时, 直线3122y x z =-+的截距最大, 此时z 最大.由2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得20x y ==⎧⎨⎩,即(2,0)C将C 的坐标带入目标函数32z x y =+, 得32206z =⨯+⨯=, 即32z x y =+的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2 【解析】求函数f(x)＝3x －7＋lnx 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2．16.已知命题0:p x R ∃∈，使05sinx ；命题q x R ∀∈：，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题p q ∧“”是真命题；②命题“”()p q ∧⌝是假命题；③命题“(”)p q ∨﹁是真命题；④命题()”)(“p q ∨﹁﹁是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假,再判断p ⌝,q ⌝的真假,最后根据真值表可得出结论. 【详解】解： 051sinx Q =>,所以p 是假命题. 又22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ,所以q 是真命题.p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,故根据真值表可得②③正确.故答案为：②③【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题.步骤为：①判断p 和q 的真假,②根据真值表判断复合命题的真假. 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）17.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和为n T ，2312b b +=，3412b a a =-，()81111112b S T =+. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设()153n n c a =+，2log n np b =，求数列11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n G ． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1n nG n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,将条件带入通项公式,解方程即可求出.（2）将{}n a 、{}n b 的通项公式代入()153n n c a =+、2log n n p b =中,得到11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的通项公式为11111n n c p n n⨯=⨯+,用裂项相消求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为()1q q >,由已知得2312b b ＋＝,得211()2b q q ＋＝,而12b =,所以260q q +-= 又因为()1q >,解得2q =,所以2nn b =由3412b a a =-,可得138d a -=, 由()81111112b S T =+,可得1516a d += 解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =（2）由（1）得1n c n =+,n p n =,所以11111111n n c p n n n n ⨯=⨯=-++ 所以111111111122334111n n G n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前n 项和,需要熟记公式,灵活求解.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2sin sin sin sin 2Ba C A C A +=. (1)求角B ；(2)若6a c +=，ABC ∆的面积S =求b .【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】 【分析】(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于π,将已知条件化简为：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,约分之后再用降幂公式即可求出B 的值. （2）由三角形面积公式可求得ac ,带入余弦定理即可求得b . 【详解】（1）因为A B C π++=,0,,A B C π<<,由已知()2sin sin sin sin 2Ba C A C A += 和正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,又因为sin ,sin ,sin 02BA C ≠,所以2sin 2B B =,22sin cos 222B B B =cos 22B B =,tan 2B =3B π=（2）由面积公式1sin 24S ac B ac ===8ac =,由余弦定理()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=,得b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC P 面BEF ； （2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】 【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF P , 而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC P 面BEF . （2）由已知得3BC =,22AD =7AC =, 所以三角形ACD 为直角三角形其面积7ACD S ∆=三角形BCD 的面积3BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=,即11233BCD ACD SS h ∆∆⨯=⨯ 解得2217h =, 所以点B 到面ACD 的距离为2217. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b P P ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h . 20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间不足1个小时，B 组学生每天学习数学时间达到一个小时。

绝密★启用前
黑龙江省大庆市铁人中学
2020届高三毕业班下学期学年考前模拟训练(一) 理科综合试题参考答案
2020年6月2日
生物答案
1-6BDBBDC
29（10分，除注明外，每空1分）
（1）③叶绿体基质和细胞质基质
浓度
（2）100 CO
2
（3）大于
浓度（2分）
（4）一定条件下，光合速率达到最大值所对应的最小的CO
2
（5）将生理状态、大小等相同的黄瓜幼苗平均分成两组,分别培养在等量且相同的完全培养液中,一组适当遮光处理,一组未遮光处理,在相同且适宜的环境中培养一段时间,最后检测并比较两组完全培养液中镁离子的含量（3分）
30.（9分,每空1分）
（1）抗利尿激素淋巴因子（2）b
（3）甲状腺激素促甲状腺激素释放激素反馈调节和分级调节（反馈调节也给分）
（4）汗腺分泌减少皮肤毛细血管收缩（5）对水的重吸收
31．（8分,除注明外,每空1分）
（1）次生演替不受耕作抑制的杂草（或一年生杂草）
（2）在演替的前20a内物种丰富度逐渐升高到达顶点,20~30a间丰富度下降,30a 后丰富度达到稳定状态（2分）
（3）因为克隆植物有生理整合的特征,克隆植物与非克隆植物相比有很大竞争优势,阻碍了其他非克隆植物的发展,使得该地区物种丰富度降低。

（2分）
（4）垂直结构利用阳光等环境资源
1。