波形估计最佳线性估计滤波

第四章波形估计（最佳线性估计、滤波）参量估计－静态估计－随机参量，非随机参量 波形估计－动态估计－随机过程线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态 最佳估计－仅当高斯随机过程的特殊情况线性最佳估计，最佳线性滤波－最小方差准则 最佳线性滤波要解决的问题：给定有用信号与加性噪声混合的信号波形，寻求作用于此混合波形的一种线性运算，得到的结果将是信号与噪声的最佳分离。

最佳－使估计的均方误差最小。

☆维纳滤波(Wiener Filtering)-1940平稳随机过程的最佳线性滤波，必需存储所用到的全部数据，计算量太大，不适于实时处理。

☆ 卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-1960将状态变量引入滤波理论，利用递推算法，便于实时处理，并可处理非平稳随机过程。

§4－1、线性变换与正交原理 一、 线性变换估值(t)Zˆ为观测信号Z(t )的线性变换，故可写成： [])14(Z(t)L (t)Zˆ---= 式中算子]L[∙表示线性变换，估计准则是线性最小均方误差 因此，定义误差：2)--(4-(t )Zˆ-Z(t )e(t )= 希望导出估计准则]L[∙，使下列均方误差最小：[]3)--(4-(t)Zˆ-Z(t)e (t)E 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E由于变换是线性的，则对于所有的常数a 1,a 2和过程Z 1(t)和Z 2(t)有： 若][L 1∙和][L 2∙是两个线性变换，即： 则其差的变换也是线性变换，即：[][])74(L L ]L[12---∙-∙=∙将(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中，即可证明，对于线性变换有:{}[]{})84(E L ]L[---∙=∙E []()[]()[])54((t)Z a (t)Z a L 21211122111---+=+t Z L a t Z L a []()[]()[])64((t)Z a (t)Z a L 22212122112---+=+t Z L a t Z L a []()[]()[])44((t)Z a (t)Z a L 22112211---+=+t Z L a t Z L a式中算子]E[∙表示数学期望。

若X(t)在区间[t i ,t f ]对所有的ξ与Z(ξ)正交，即：[]9)--(4-],[,0)(),(E f i t t t X Z ∈∀=ξξ则对于Z(ξ)的任何线性变换，在区间ξ∽[t i ,t f ]对X(t)也正交。

若L[Z(ξ)]是Z(ξ)的线性变换，因为线性变换和期望是可以交换的，故有：[]{}[]{}[]{}10)-(4--,],[,0]0[)(),()(),(L E )(,)(L E f i t t L t X Z E L t X Z t X Z ∈∀--====ξξξξ 二、正交原理 线性变换]L[∙是最小均方误差估值，当且仅当误差e(t) 在区间ξ∽[t i ,t f ]对Z(ξ)正交。

证明：假若所有过程Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。

考虑线性变换][L 1∙，对所有ξ，[])(ˆ)Z(L 1t Y=ξ,于是均方误差[])(ˆ)()(,(t)e E 121t Yt Y t e -=是最小，则 [])114()(ˆ)Z(L 1---=t Y ξ是最佳估值，且[]()[]{})124..(0)Z()((t)e E 221m -=-==ξεL t Y E 考虑线性变换][L 2∙，对所有ξ，[])(ˆ)Z(L 2t Y=ξ,则误差[])(ˆ)()(,(t )e E 222t Yt Y t e-=对所有ξ与数据Z(ξ)正交，即： [][]{})134.(0)Z(,)(ˆ)()Z(,(t)e E 2-=-=ξξt Y t Y E 误差e 1(t)可用 e 2(t)表示，如()[]()[]()[]{}()[]()[]()[]()[])144()()()()()(212212211---+=-+=--+=-=ξξξξξξξZ L t e Z L Z L t e Z L Z L Z L t Y Z L t Y t e由式(4-7) 差的变换也是线性变换。

将式(4-14)代入式(4-12)，由最佳估值，线性均方误差变成：()[]{}()[]{}[][][]{})154....()]([)]([),(2(t )e E )Z()()Z()(22222221m -++=+=-=ξξξξεZ L E Z L t e E L t e E L t Y E因为e 2(t)对数据Z(ξ)正交，也就对L[Z(ξ)]正交，如方程(4-9)所示，于是[])164...(0)]([),(2-=ξZ L t e E则最小均方误差简化为：[][]{})174....()]([(t)e E 222m -+=ξεZ L E 其中[](t)e E 22为估计值][L 2∙的均方误差。

因此[][]{}[])184.((t)e E )]([(t)e E 22222m -=+=ξεZ L E 当且仅当非负值[]{}2)]([ξZ L E 为零，即： [][])194(0L L ]L[12---=∙-∙=∙这就证明了上述正交原理；对于误差与数据正交，线性变换导致最小均方误差线性估计值，反之亦然。

维纳滤波器的推导可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如变分法等。

§4－2维纳滤波（平稳随机过程的最佳线性滤波） 滤波的条件及要求：⑴有用信号s(t)是随机过程＋加性噪声n(t)—输入x(t)并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有已知的自相关函数和互相关函数（或对应的谱密度函数）；⑵滤波器是线性时不变的h(t)—H(ω)⑶输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。

理论上可认为输入信号x(t)是在t=-∞时加入的，因此，在任何有限时刻t ，输出y(t)是宽平稳的。

⑷选取滤波器的h(t)H(ω)，使估计的均方误差最小。

α<0－平滑，α=0－滤波、去噪，α>0－预测。

滤波器的理想输出为s(t+α)，估计的误差为： e(t)=s(t+α)-y(t)—(4-20) 用变分法：估计误差的平方为：)214()()()(2)()(222---++-+=t y t y t s t s t e αα而⎰∞∞-----=)224()()()(du u t x u h t y代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：[]⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞---++--=)234()0()()(2)()()(,2s x s x R du u R u h dudvu v R v h u h e E α式中：Rs-s(t)的自相关函数 Rx-x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x-s(t)和x(t)之间的互相关函数若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：)244(,---⎩⎨⎧=+=sx s ns x R R R R R 维纳滤波就是要求出(4-23)式中的h(u)，使得[](t)e E 2最小，为此可以利用变分法求解。

令冲击响应为： h(u)+ε.η(u)—(4-25) h(u)—最佳冲击响应 η (u)—任意扰动函数 ε--小的扰动因子当ε-->0，冲击响应-->h(u)最佳冲击响应。

于是我们可以将式(4-25)代入(4-23)式中，则有：[]⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞--+++--++=)264)...(0()()]()([2)()]()()][()([,2s x s x R du u R u u h dudvu v R v v h u u h eE αεηεηεη容易看出[](t )e E 2是ε的函数，当ε=0时取最小值，故可求[])274....(0(t )e E 02-=∂∂=εε改写积分变量后，可得： ⎰⎰∞∞-∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-)284.(0)()()()(,τττατηd du u R u h R x x s 下面分别就物理不可实现（非因果）和物理可实现（因果）的两种情况，来讨论此式的求解问题。

一、 物理不可实现（非因果）维纳滤波器 )294(0,0)(---<≠ττh所谓非因果的维纳滤波器，是指不仅要利用过去的数据也要求利用未来的数据，故只可用于事后的数据分析，不适合实时处理。

(4-29)式表明对)()(τητ和h 均没有任何限制。

故(4-28)式唯一可能的解，就是式中方括号[ ]内的项为零，即：)304..(),()()(,-+∞<<-∞+=-⎰∞∞-ττατx s x R du u R u h此为弗雷德霍姆(Fredholm)第一类方程，积分区间为(-∞,+∞),两端求双边拉氏变换得：)314()exp()()()(,---=p p S p S p H x s x α式中[][])()(,)()(,,,ττωσx s x s x x R L p S R L p S j p ==+=故有：)324()()exp()()(,---=p S p p S p H x x s α当信号与噪声不相关（统计独立）时，由(4-24)式得：)334()()()exp()()(,---+=p S p S p p S p H n s x s α代入ωj p =得非因果维纳滤波器的传输函数：)344()()()exp()()(,---+=ωωωαωωn s x s S S j S H容易看出)(ωn S 较小时)(ωH 较大，而在)(ωn S 较大时)(ωH 较小。

此即维纳滤波器用来抑制噪声复员信号的办法。

此时的最小均方误差为，由(4-23)式：[]⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=)354.()()()()()()()0(,,2du dv v u R v h u R u h duu R u h R eE x x s x s sαα＋对于最佳冲击响应，应满足(4-30)式，因此上式中方括号[ ]内的项为零，所以最小均方误差为：[])364..()()()0(,min2-+-=⎰∞∞-du u R u h R eE x s s α二、物理可实现（因果）维纳滤波器 原h(u)+ε.η(u)—(4-25))374(0,0)(,0)(---<==ττητh而)(,0τητ时>可为任意函数。

对比(4-30)式则有：)304..(),()()(,-+∞<<-∞+=-⎰∞∞-ττατx s x R du u R u h )384..(0,0)()()(,-≥=+--⎰∞∞-ττατx s x R du u R u h此即Wiener-Hopf 方程，仅在0≥τ成立，求解复杂。

求解方法有两种，频谱因式分解法，预白化方法。