高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》91PPT课件 一等奖比赛优质课

第1页共7页§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义一、教学内容分析：本课是高中数学选修1－2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。

学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。

在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。

二、学情分析：学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。

学生受思维的影响，习惯于机械记忆，受学习方式的负面影响，学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。

因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。

三、教学目标：1、知识与技能目标：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．2、过程与方法目标：培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．3、情感、态度与价值观目标：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．四、教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

五、教学难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。

七、教学过程：（一）、温故而知新：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则第2页共7页运算时，原有加、乘运算律仍然成立2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=14.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,)zabiabR，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)Axy，(0,0)O，则,OAxy9.若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10.若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即AB=OBOA=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1,y2y1)bZ(a，b)aoyx第3页共7页（二）、新课探究：引入新课我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答．活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi叫做复数a＋bi减去复数c＋di的差，记做(a＋bi)－(c＋di)．2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．设计意图考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－1)(c＋di)＝(a＋bi)＋(－c－di)＝(a－c)＋(b－d)i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c＋x＝a，d＋y ＝b，因此x＝a－c，y＝b－d，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b －d)i.设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯．第4页共7页理解新知提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运算？活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．1、复数代数形式的加法运算法则及运算律：①复数z1与z2的和的定义设1zabi，2zcdi则12zz；对于任意的复数1z，2z，3z，满足加法的交换21zz；加法的结合律321)(zzz；2、复数代数形式的减法运算法则：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12zzz，则z叫做2z减去1z的差，记作：21zzz。

复数1z与2z的差的定义设1zabi，2zcdi则12zz；3.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Zab一一对应平面向量OZ2.复数zabi一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为1OZ、2OZ，即1OZ、2OZ的坐标形式为1OZ=(a，b)，2OZ=(c，d)以1OZ、2OZ为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，∴OZ=1OZ+2OZ=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a －c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，1OZ为一条边画平行四边形，那么第5页共7页这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量2OZ就与复数z －z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于21OZZZ，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.4.讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．解法一：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.解法二：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2)＋(－6－1)i－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝－11i.点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．变式练习:计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(99－100i)＋(－100＋101i)．思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加．解：原式＝(1－2＋3－4＋…＋99－100)＋(－2＋3－4＋5－…－100＋101)i＝－50＋50i.点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性．例2已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即AB所表示的复数是zB－zA.，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z1－z2与向量Z2Z1→一一对应，那么，z1－z2的模长呢？显然，z1－z2＝Z2Z1→＝Z1Z2，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．提出问题：设动点Z与复数z＝x＋yi对应，定点P与复数p ＝a＋bi对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程．活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果．活动成果：解：设定点P为圆心，r为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程z－p＝r.。