同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(向量代数与空间解析几何)【圣才出品】

2．两向量的向量积 （1）性质及运算规律（见表 8-1-3）
表 8-1-3 向量积的性质及运算规律
（2）方向 如图 8-1-1 所示，c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面。
图 8-1-1
3 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

2．平面的一般方程 方程 Ax＋By＋Cz＋D＝0 称为平面的一般方程，其中 x，y，z 的系数就是该平面的一 个法线向量 n 的坐标，即 n＝（A，B，C）. （1）当 D＝0 时，表示一个通过原点的平面； （2）当 A＝0 时，方程表示一个平行于（或包含）x 轴的平面；同理，方程 Ax＋Cz＋ D＝0 和 Ax＋By＋D＝0 分别表示平行于（或包含）y 轴和 z 轴的平面； （3）当 A＝B＝0 时，表示一个平行于（或重合于）xOy 面的平面。同理，方程 Ax＋ D＝0 和 By＋D＝0 分别表示一个平行于（或重合于）yOz 面和 xOz 面的平面。
（3）两向量平行的充要条件 向量 a≠0，则 b∥a⇔存在唯一的实数λ，使 b＝λa。
2．利用坐标作向量的线性运算 设 a＝（ax，ay，az），b＝（bx，by，bz），λ为实数，则 （1）向量加法：a＋b＝（ax＋bx，ay＋by，az＋bz）； （2）向量减法：a－b＝（ax－bx，ay－by，az－bz）； （3）向量的数乘运算：λa＝（λax，λay，λaz）；
1 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

（4）两向量平行的坐标表示 当向量 a≠0 时，b∥a⇔b＝λa，坐标表示式为（bx，by，bz）＝λ（ax，ay，az）， 即 bx/ax＝by/ay＝bz/az。
3．向量的模、方向角、投影
（1）向量的模
向量 r＝（x，y，z），则模
（2）两点距离公式
| r | x2 y2 z2
设点 A（x1，y1，z1）和点 B（x2，y2，z2），则 A、B 两点间的距离
| AB || AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
（3）方向余弦
(cos
,
cos
,
cos
)
( |
x r
|
,
|
y r
|
,
|
z r
) |
|
1 r
|
(x,
y,
z)
|
r r
|
er
cosα，cosβ，cosγ称为向量 r 的方向余弦，且 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。
二、数量积 向量积 混合积 1．两向量的数量积（见表 8-1-2）
表 8-1-2 两向量的数量积
2 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（1）直线的对称式方程
如果直线 L 上一点 M0（x0，y0，z0）和方向向量 s＝（m，n，p），则直线 L 的对称式
方程（或点向式方程）为
x x0 = y y0 = z z0
m
n
p
（2）直线的参数方程 令直线的对称式方程
6 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

ax ay az
[a b c] a b c bx by bz
cx cy cz
（3）几何意义 向量的混合积[abc]＝（a×b）·c 的绝对值是以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积。 （4）夹角 设 a×b＝f，f 与 c 的夹角为α，则[abc]＝（a×b）·c＝|a×b||c|cosα， ①当 a、b、c 组成右手系时，α为锐角，[abc]为正； ②当 a、b、c 组成左手系时，α为钝角，[abc]为负。 （5）a、b、c 共面⇔混合积[abc]＝0，即
3．两平面的夹角 （1）计算公式
5 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

设平面∏1 和∏2 的法线向量为 n1＝（A1，B1，C1）和 n2＝（A2，B2，C2），
则
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
（2）结论
①∏1，∏2 互相垂直⇔A1A2＋B1B2＋C1C2＝0；
②∏1，∏2 互相平行或重合⇔ A1/A2＝B1/B2＝C1/C2。
四、空间直线及其方程
1．空间直线的一般方程
A1 x A2 x
B1 y C1z D1 0 B2 y C2 z D2 0
2．空间直线的对称式方程与参数方程
（3）向量积的坐标表示式 a＝axi＋ayj＋azk，b＝bxi＋byj＋bzk，则 a×b＝（aybz －azby）i＋（azbx －axbz）j ＋（axby －aybx）k， 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
3．向量的混合积 （1）定义 （a×b）· c，记作[abc]。 （2）坐标表示式 设 a＝（ax，ay，az），b＝（bx，by，bz），c＝（cx，cy，cz），则
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 向量代数与空间解析几何
8.1 复习笔记
1．向量的线性运算 （1）向量的运算规律（见表 8-1-1）
表 8-1-1 向量的运算规律
（2）向量加法和减法的不等式 |a＋b|≤|a|＋|b|，|a－b|≤|a|＋|b|
x x0 = y y0 = z z0 t
m
n
p
则方程 为直线的参数方程。
x y
x0 y0
mt nt
z z0 pt
3．两直线的夹角
（1）计算公式
直线 L1 和 L2 的方向向量为 s1＝（m1，n1，p1）和 s2＝（m2，n2，p2），则
4 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
三、平面及其方程 1．平面的点法式方程 设平面上一点 M0（x0，y0，z0）和它的一个法线向量 n＝（A，B，C），其平面方程表 达式为 A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0 此表达式又称平面的点法式方程.