人教A版数学必修5作业 2-4-2等比数列的性质
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精校版 课时作业(十六)
1．一直角三角形三边边长成等比数列，则( )
A．三边边长之比为3∶4∶5
B．三边边长之比为3∶3∶1
C．较大锐角的正弦为5－12
D．较小锐角的正弦为5－12
答案 D
解析 不妨设A最小，C为直角，依题意
b2＝ac， ①a2＋b2＝c2， ②
把①代入②得a2＋ac＝c2，∴ac2＋ac－1＝0.
∴ac＝－1±52，∵ac>0，∴ac＝5－12＝sinA.
2．(2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a9＝16，则log2a10＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝( )
A.12
B.22
C.2 D．2
答案 B
解析 因为a3·a9＝2a25，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a26＝2a25，所以打印版
精校版 a26a25＝2，即(a6a5)2＝q2＝2，因为公比为正数，故q＝2.又因为a2＝1，所以a1＝a2q＝12＝22.
4．如果某人在听到2010年4月10日玉树地震的消息后的1 h内将这一消息传给另2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到消息的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把消息传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为( )
A．8 h B．9 h
C．10 h D．11 h
答案 C
解析 设需要n个小时，则1＋2＋22＋…＋2n＝2 047，
∴2n＋1－1＝2 047，∴n＋1＝11，n＝10.
5．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5·a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8.
联立 a4＋a7＝2，a4a7＝－8可解得 a4＝4，a7＝－2或 a4＝－2，a7＝4.
当 a4＝4，a7＝－2时，q3＝－12，故a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7；
当 a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
6．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，打印版
精校版 则ad等于(
)
A．3 B．2
C．1 D．－2
答案 B
解析 由题意得b＝1，c＝2，则ad＝bc＝2.
答案 D
解析
答案 C
解析 打印版
精校版
9．某种产品平均每三年降低价格的14，目前售价为640元，9年后售价为( )
A．210元 B．240元
C．270元 D．360元
答案 C
解析 640×(1－14)3＝270元．
10．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或352 B．4或352
C．4 D.352
答案 B
解析 设这4个数为2，a，b,20，
则 a2＝2b，2b＝a＋20， ∴a2－a－20＝0，解得a＝5或－4.
当a＝5时，b＝252，∴a＋b＝352. 打印版
精校版 当a＝－4时，b＝8，∴a＋b＝4.
11．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 2n
解析 设数列{an}的首项为a1，公比为q，则a21·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，因为数列{an}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，an＝2n.
12．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比为________．
答案 ±3
解析
13．五个数1，x，y，z,4成等比数列，且x，y，z都是正数，则z＝________.
答案 22
解析 ∵1、x、y、z、4成等比数列，
∴1、y、4成等比，y2＝4，又 y>0，∴y＝2.
∵y、z、4成等比，即2，z,4成等比． 打印版
精校版 ∴z2＝8，又z>0，∴z＝22.
答案 5－12
解析
15．数列{an}为等比数列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，则该数列的公比q是__________
答案 5－12
解析 打印版
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答案 243
解析
17．已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差d不为0，求证：x，y，z成等比数列；
(2)若正数x，y，z依次成等比数列，公比q不为1，求证：a，b，c成等差数列．
证明 证三数成等差或等比数列，用等比、等差中项较好．
(1)∵a，b，c成等差数列，d≠0，
∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.
代入已知条件得－d(logmx－2logmy＋logmz)＝0. 打印版
精校版 ∵d≠0，∴logmx＋logmz＝2logmy.
可知y2＝xz，由于x，y，z均大于0，
∴x，y，z成等比数列．
(2)∵x，y，z成等比数列，q≠1，且x，y，z均大于0，
∴yx＝zy＝q(q≠1)．
两边取对数，得
logmy－logmx＝logmz－logmy＝logmq≠0，
∴logmx＝logmy－logmq，logmz＝logmy＋logmq.
代入已知条件中，可得
(b－c)(logmy－logmq)＋(c－a)logmy＋(a－b)(logmy＋logmq)＝0.
即(a－2b＋c)logmq＝0.∴a＋c＝2b.即a，b，c成等差数列．
18．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求此数列的通项公式．
解析 ∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，
∴由 a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.
得 a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36.即 a3＋a52＝100，a3－a52＝36.
∵数列{an}的各项均为正数，
∴ a3＋a5＝10，a3－a5＝±6，解得 a3＝8，a5＝2.或 a3＝2，a5＝8.
∴公比q＝a5a3＝12或2.
∴an＝a3·qn－3＝8×(12)n－3＝26－n或an＝2×2n－3＝2n－2.
即an＝26－n或an＝2n－2. 打印版
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1．某工厂生产总值月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．P12 B．12P
C．(1＋P)12 D．(1＋P)12－1
答案 D
解析 a1＋P12－aa＝(1＋P)12－1.
答案 A
解析 前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝99·1＋992＝4 950个数亦即第99组中最后一个数为a4 950＝34 949，
∴第100组中第1个数为34 950.
