新课标版数学必修一作业18高考调研精讲精练

课时作业(十八)

1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是( )

A．f(－1)

C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)

答案 A

解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．

2．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )

A．f(－π)>f(3)>f(－2)

B．f(－π)>f(－2)>f(3)

C．f(－π)

D．f(－π)

答案 A

解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝

f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)

3．若奇函数f(x)当1≤x≤4时的解析式是f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最大值是( )

A．5 B．－5

C．－2 D．－1

答案 D

解析 当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，

∵1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5.

∴f(－x)＝x2＋4x＋5，又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1.

当x＝－2时，取最大值－1.

4．已知f(x)是奇函数且对任意正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有f（x1）－f（x2）x1－x2>0，则一定正确的是( ) A．f(3)>f(－5) B．f(－5)>f(－3)

C．f(－5)>f(3) D．f(－3)>f(－5)

答案 D

5．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)

A．ab

C．|a|<|b| D．0≤ab≥0

答案 C

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________．

答案 －0.5

7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式f（x）－f（－x）x<0的解集为________．

答案 {x|－1

8．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为________．

答案 －15

9．若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)

答案 (－π，π)

解析 若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)

若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．

由于f(－π)－π，即－π

由上述两种情况知a∈(－π，π)．

10．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________．

答案 0

解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，

∴f[f(7)]＝f(－4)＝f(－4＋4)＝f(0)＝0.

11．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝1x－1，则f(x)＝________，g(x)＝________．

答案 1x2－1 xx2－1 解析 ∵f(x)＋g(x)＝1x－1， ①

∴f(－x)＋g(－x)＝1－x－1.

又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

∴f(x)－g(x)＝1－x－1. ②

①＋②，得f(x)＝1x2－1，①－②，得g(x)＝xx2－1.

12．已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3.

(1)证明：f(x)是偶函数；

(2)指出函数f(x)的单调区间；

(3)求函数的值域．

解析 (1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)f(x)＝x2－2x－1 （0≤x≤3），x2＋2x－1 （－3≤x＜0）.

∴f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，3]．

(3)f(x)的值域为[－2，2]．

13．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝

x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．

解析 当x>0时，－x<0，

∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)．

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)．

又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．

点评 若f(x)是奇函数，且f(x)在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，这是因为：

若f(x)为奇函数，则对定义域内的任意实数x，都有f(－x)＋f(x)＝0，∴当x＝0时，有f(0)＋f(0)＝0.

∴f(0)＝0.

►重点班·选做题

14．已知奇函数f(x)＝－x2＋2x （x>0）0 （x＝0）x2＋mx （x<0）.

(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

解析 (1)当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x.

∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知f(x)＝－x2＋2x （x>0）0 （x＝0）x2＋2x （x<0）， 由图象可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需a－2>－1，a－2≤1，解得1

1．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

答案 B

2．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________．

答案 －5

解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.

∴f(－2)＝－5.

3．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

解析 (1)∵x≠0且x∈R，f(－x)＝x2＋a－x，

当a＝0时，f(x)为偶函数；

当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．

(2)设x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝x12－x22＋ax1－ax2

＝(x1－x2)(x1＋x2－ax1x2)，

∵f(x)在[2，＋∞)上为增函数，

∴x1＋x2>ax1x2恒成立，∴a≤16. 4．定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)

解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)

f(|1－m|)

∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<12，又f(x)定义域为[－2，2]，

∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，解之得－1≤m≤2，综上得m∈[－1，12)．

5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)及f(－1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明．

解析 (1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.

(2)令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，故对任意的x≠0都有f(－x)＝f(x)．所以f(x)是偶函数．