新课标版数学必修三+选修作业25高考调研精讲精练

课时作业(二十五)

1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，则它的标准方程为( )

A．y2＝8x B．y2＝－8x

C．x2＝8y D．x2＝－8y

答案 D

2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )

A．(2，0) B．(－2，0)

C．(4，0) D．(－4，0)

答案 B

解析 依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2，0)，故选B．

3．抛物线x＝－2y2的准线方程是( )

A．y＝12 B．y＝18

C．x＝14 D．x＝18

答案 D

4．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为( )

A．1 B．2

C．4 D．6

答案 C

解析 设M为抛物线上任意一点，F为焦点，则

|MF|＝xM＋p2，∴8＝6＋p2，∴p＝4．

5．到定点(3，5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )

A．圆 B．抛物线

C．线段 D．直线

答案 D

解析 ∵点(3，5)在直线2x＋3y－21＝0上，

∴符合条件的点的轨迹是过点(3，5)且与直线2x＋3y－21＝0垂直的直线．

6．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝4ax2的焦点坐标为( ) A．(a，0) B．(0，a)

C．(0，116a)

D．(0，－116a)

答案 C

解析 把抛物线y＝4ax2化成标准式为x2＝14a·y，

焦点在y轴上，且14a4＝116a．∴焦点坐标为(0，116a)．

7．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )

答案 D

解析 方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x21a2＋y21b2＝1，y2＝－abx．因为a>b>0，因此1b>1a>0，所以由椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项正确．

方法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B，C．又椭圆的焦点在y轴，故选D．

8．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )

A．(14，－1) B．(14，1)

C．(1，2) D．(1，－2)

答案 A

解析 点Q(2，－1)在抛物线内部，由Q向准线作垂线，交抛物线于一点，该点即为所求，易得P点坐标为(14，－1)，故选A．

9．若抛物线y2＝8x上有一点P，它到焦点的距离为20，则P点的横坐标为________．

答案 18

解析 ∵d＝x0＋p2，∴20＝x0＋2，∴x0＝18．

10．(2019·北京，文)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________． 答案 (x－1)2＋y2＝4

解析 因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4．

11．(2015·陕西，理)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．

答案 22

解析

y2＝2px的准线方程为x＝－p2，又p>0，所以x＝－p2必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－2，0)，所以－p2＝－2，p＝22．

12．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽________m．

答案

26

13．(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点距离是a(a>p2)，求点M到准线的距离和点M的横坐标．

(2)已知F是抛物线y2＝6x的焦点，点A在抛物线上，且|AF|＝72，求点A的坐标．

解析 (1)由题意得点M到准线的距离也是a，由抛物线的定义知x＋p2＝a，则x＝a－p2，所以点M的横坐标是a－p2．

(2)由抛物线方程，得F(32，0)，准线方程为l：x＝－32．

由抛物线定义，得|AF|＝d(d为点A到l的距离)．

设A(x0，y0)，则x0＋32＝72．∴x0＝2，y0＝±23．

∴A(2，±23)．

14．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解析 方法一：根据已知条件，应设抛物线方程 y2＝－2px(p>0)，则焦点为F(－p2，0)．

∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，∴m2＝6p，（－3＋p2）2＋m2＝5.

解得p＝4，m＝26或p＝4，m＝－26.

∴抛物线的方程为y2＝－8x，m的值为±26．

方法二：设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，

则准线方程为x＝p2．

∵M(－3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以|－3|＋p2＝5，∴p＝4．

∴所求的抛物线的方程为y2＝－8x．

又点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)(－3)＝24．

∴m＝±26．

15．如图，已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．

解析 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．

将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．

∵6>2，∴A在抛物线内部．

设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．

∴点P坐标为(2，2)．

►重点班·选做题

16．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程．

解析 因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，∠BFD＝90°，

所以△BFD为等腰直角三角形．

故斜边|BD|＝2p，

又点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝2p，

所以S△ABD＝42＝12|BD|×d＝12×2p×2p．

所以p＝2．

所以圆F的圆心为(0，1)，

半径r＝|FA|＝22，

圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8．

1．已知动点M(x，y)满足方程|x＋y－2|＝2（x－2）2＋2（y－2）2，则动点M的轨迹是( )

A．抛物线 B．椭圆

C．圆 D．不是上述三种曲线

答案 A

解析 由方程|x＋y－2|＝2（x－2）2＋2（y－2）2．

得|x＋y－2|2＝（x－2）2＋（y－2）2．

由此可知，动点P(x，y)到定点(2，2)的距离等于动点P(x，y)到直线x＋y－2＝0的距离，且定点(2，2)不在直线x＋y－2＝0上，所以所给的方程表示的轨迹是以定点(2，2)为焦点，定直线x＋y－2＝0为准线的抛物线．

2．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为( ) A．(2，2±2) B．(1，±2)

C．(1，2) D．(2，22)

答案 B

3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2

C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|

答案 C

解析 抛物线的准线方程为x＝－p2，

由定义得|FP1|＝x1＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，

则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p2＋x3＋p2＝x1＋x3＋p，2|FP2|＝2x2＋p．

由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．

4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0) B．(－∞，2]

C．[0，2] D．(0，2)

答案 B

解析 设点Q的坐标为(y024，y0)，

由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，整理，得y02(y02＋16－8a)≥0．

因为y02≥0，所以y02＋16－8a≥0．即a≤2＋y028恒成立．

而(2＋y028)min＝2，所以a≤2．故选B．

5．抛物线y＝16x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )

A．(2，－1) B．(－34，－74)

C．(6564，－1) D．(116，－116)

答案 C

解析 把y＝16x2化为标准式为x2＝116y．

∴2p＝116， ∴p＝132， ∴焦点坐标为(0，164)． 它关于x－y－1＝0的对称点为(6564，－1)．

6．(2015·陕西，文)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( )

A．(－1，0) B．(1，0)

C．(0，－1) D．(0，1)

答案 B

解析 因为抛物线的准线方程为x＝－p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1，0)，故选B．

7．若动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

答案 y2＝12x

解析 设圆M和直线l相切于点N，则|MA|＝|MN|．即圆心M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等．由抛物线定义知动点M的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．

∵p2＝3, ∴2p＝12．∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x．

8．若F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

答案 52

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可得

|AF|＋|BF|＝p2＋x1＋p2＋x2＝x1＋x2＋p＝6．

∵p＝1，∴x1＋x2＝5，∴线段AB的中点的横坐标为x1＋x22＝52．

∴线段AB的中点到y轴的距离为52．

9．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________．

答案 －1

解析 由y2＝4x知F(1，0)，代入ax－y＋1＝0，

∴a＋1＝0，即a＝－1．

10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程．

解析 (1)若动圆在y轴右侧，设动圆圆心为M，

∵动圆和圆(x－3)2＋y2＝9相外切，且与y轴相切，

∴M到点(3，0)的距离等于M到直线x＝－3的距离．