新课标版数学必修二(A版)作业18高考调研精讲精练

课时作业(十八)

1．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )

A．m∥l B．m∥n

C．n⊥l D．m⊥n

答案 C

解析 因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.

2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )

A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥β

C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β

答案 D

解析 由题意可知A，B，C选项显然正确，对于选项D，当α，β相交，且a与α，β的交线平行时，有a∥α，a∥β，但此时α与β不平行．故选D.

3．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是( )

①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；

②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；

③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；

④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n.

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析 对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m，n可能是平行线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，由n⊥β，α∥β，得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的是个数是2.故选B.

4．(2019·长春十一期中)空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD＝BC＝6，MN＝32，则AD和BC所成的角是( )

A．120° B．90° C．60° D．30°

答案 B

解析 如图，取AC的中点H，连接MH，NH，

则MH綊12BC＝3，HN綊12AD＝3.

又MN＝32，

∴MN2＋HN2＝MN2，

∴MH⊥HN.

∴∠MHN＝90°，即AD和BC所成的角为90°.

5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )

A．平面ADC⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABD⊥平面ABC

答案 A

解析 易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴CD⊥平面ABD，又BA⊂平面ABD，

∴CD⊥BA.

又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，

∴BA⊥平面ADC，又BA⊂平面ABC，

∴平面ADC⊥平面ABC.

6．(2019·天水市一中期中)如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．

答案 30° 45°

解析 AB与A1C1所成的角即为A1B1与A1C1所成的角，即∠B1A1C1＝30°，∵AA1＝a，∠BAB1＝30°，∴AB＝3a.

∴B1C1＝A1B1tan30°＝3a·33＝a，即B1C1＝B1B＝A1A＝a，∴四边形BB1C1C是正方形，∴BB1与B1C所成的角为45°，即AA1与B1C所成的角为45°.

7．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则DS＝________．

答案 9

解析 因为直线AB与CD交于点S，所以A，B，C，D四点共面．又平面α∥平面β，所以BD∥AC，△ACS与△BDS相似，所以ASBS＝CSDS，即86＝12DS，所以DS＝9.

8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

解析 (1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PO⊥AD. 而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

(3)取DO中点N，连接MN，AN.

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，

且MN＝12PO＝1.

又由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.

从而AN＝12DO＝54.

在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.

9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；

(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

解析 (1)如图，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.

故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2.

所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线．

故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.

在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC.

又PC⊂平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.

在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.

10．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；

(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．

解析 (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，

由余弦定理，得BD＝3AD.

所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PD.

所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，故PA⊥BD.

(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，故PD⊥BC.

由(1)知BD⊥AD，

因为BC∥AD，所以BC⊥BD，又PD∩BD＝D，

所以BC⊥平面PBD，而DE⊂平面PBD，所以BC⊥DE.

又PB∩BC＝B，则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D－PBC的高．

由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.

由DE·PB＝PD·BD，得DE＝32.

所以棱锥D－PBC的高为32.

11.(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．

解析 (1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，

所以DC⊥平面PAC.

(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以PC⊥AB，又AC∩PC＝A，

所以AB⊥平面PAC.

又因为AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下： 取PB的中点F，连接EF，CE，CF.

因为E为AB的中点，所以EF∥PA.

又因为PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，

所以PA∥平面CEF.

1．如图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D－ABC中，给出下列三个命题：

①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D－ABC的体积是26.

其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

答案 ①②

解析 取AC的中点O，连接OD，OB.

则AC⊥OD，AC⊥OB，

∴∠BOD＝90°，∴BD＝1，故①正确；易知AC⊥面BOD，∴AC⊥BD，故②正确；VD－ABC＝13×12×1×1×22＝212，故③不正确．

2．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥AB；

(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.