新课标版数学选修2-1作业4高考调研精讲精练

课时作业(四)

1．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中真命题的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析 ②④是真命题．

2．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )

A．b≥0 B．b≤0

C．b>0 D．b<0

答案 A

解析 函数y＝x2＋bx＋c＝(x＋b2)2＋c－b24在[－b2，＋∞)上是单调增函数．

∴－b2≤0，∴b≥0.

3．“sinα＝12”是“cos2α＝12”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

4．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，则命题“b2＝a2＋c2－ac”是命题“B＝60°”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

5．(2019·浙江)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A 解析 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab.又a＋b≤4，∴2ab≤4，∴“ab≤4”是充分条件．当a＝12，b＝8时，满足ab≤4，而a＋b＝172>4，∴“a＋b≤4”不是必要条件．故选A.

6．设0

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 当0

7．设{an}是等比数列，则“a1

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 由题可知，若a1

当a1>0时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列；当a1<0时，解得0

8．(2016·山东，文)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．

由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.

9．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )

A．－1

C．m<1 D．－3

答案 A

解析 圆方程整理得(x－1)2＋y2＝1，即圆心为(1，0)，半径r＝1.∵直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点，∴直线与圆相交，∴|1＋m|2<1，即|m＋1|<2，解得－2－1

10．“a>b>c”是“(a－b)(b－c)(c－a)<0”的________条件．

答案 充分不必要

11．已知p：0

答案 必要不充分

解析 q：1x2－2x－3<0，即(x＋1)(x－3)<0，∴－1

方法二：∵p⇒q，∴綈q⇒綈p，故綈p是綈q的必要不充分条件．

12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，则{an}为等比数列的充要条件是________．

答案 q＝－1

13．集合A＝{x|ax2－2x＋3＝0}是单元素集的充要条件是________．

答案 a＝0或13

解析 分一次方程、二次方程讨论．

14．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0的两个负实根的充要条件是m≥2.

证明 (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.

(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

所以Δ＝m2－4≥0，x1＋x2＝－m<0，即m≥2或m≤－2，m>0.

所以m≥2，是x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件．

►重点班·选做题

15．已知m∈Z，关于x的一元二次方程 x2－4x＋4m＝0，①

x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.②

求使方程①，②的根都是整数的充要条件．

解析 方程①有实数根⇔Δ＝16－16m≥0，得m≤1.

方程②有实数根⇔Δ＝16m＋20≥0，得m≥－54.

所以－54≤m≤1.又因为m∈Z，所以m＝－1，0，1.经检验只有m＝1时，①②的根都是整数．所以方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.

1．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为集合M和N，那么“a1a2＝b1b2＝c1c2”是“M＝N”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

答案 D

解析 x2－3x＋2>0和－x2＋3x－2>0的解集不相等．而x2－x＋1>0和x2－x＋2>0的解集相等．

2．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 由a>0且b>0，可得a＋b>0，ab>0.

由a＋b>0得a，b至少一个为正，ab>0可得a，b同号，

两者同时成立，则必有a>0，b>0.故选C.

3．“－21或x<－1”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

答案 C

4．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C

5．x>3的一个充分不必要条件是( )

A．x>0 B．x<0

C．x>5 D．x<5

答案 C

6．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由x2－3x＋2>0⇒x>2或x<1.故选A.

7．已知a，b，c∈R，“a>b”是“ac2>bc2”的________条件．

答案 必要不充分

解析 由ac2>bc2⇒a>b，但a>bac2>bc2，当c2＝0时不成立．

8．“θ＝2π3”是“tanθ＝2cos(π2＋θ)”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 ∵tanθ＝2cos(π2＋θ)⇔tanθ＝－2sinθ，

当θ＝2π3时，tanθ＝－2sinθ＝－3，反之不一定成立，取θ＝0，tanθ＝－2sinθ，但θ≠2π3.

9．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是________．

答案 b≥－2a

10．已知a，b，c均为实数，证明：ac<0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件．

证明 (1)充分性：

若ac<0，则Δ＝b2－4ac>0.

∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，设为x1，x2.

∵ac<0，∴x1x2＝ca<0，即x1，x2的符号相反．

∴方程有一个正根和一个负根．

(2)必要性： 若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．

设为x1，x2，不妨设x1<0，x2>0.

则x1x2＝ca<0，∴ac<0.

由(1)(2)知ac<0是方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．

11．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.

证明 先证必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，

∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0.

∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0.

∴必要性成立．

再证充分性：

∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b.

代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，

即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2.

∴充分性成立．

因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.

12．求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．

解析 (1)当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．

(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立．

∴a>0，Δ＝4－4a<0⇔a>1.

所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.

13．已知p：函数y＝(a－4)x在R上单调递减，q：m＋1≤a≤2m，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解析 由p可知4