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极坐标与参数方程题型及解题方法

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Ⅰ复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？

2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为),(, 则有下列关系成立：

ysinxcos

3、 参数方程cossinxryr表示什么曲线？

4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？

5、 极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又∠xOP=. 和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，),(叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数),(决定平面上一个点的位置

6、参数方程的意义是什么？ 参数方程极坐标

Ⅱ 题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化

（2） 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化

(3) 利用参数方程求值域参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤

（1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xft（或()ygt，再代入普通方程,0Fxy，求得另一关系()ygt（或xft）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

例1、方程2222ttttxty（为参数）表示的曲线是（ ）

A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析：注意到2tt与2t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，222222224ttttxy，即有224yx，又注意到

202222222ttttty，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242yxy（）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

练习1、与普通方程210xy等价的参数方程是（ ）（t为能数）

222sincos1....cos1sinxtxtgtxtxtABCDytytgtytyt

解析：所谓与方程210xy等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,xy的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A化为普通方程为2101101xyxy，，，，；

对于B化为普通方程为210(1]xyxRy，，，；

对于C化为普通方程为210[0)(1]xyxy，，，，;

对于D化为普通方程为2101101xyxy，，，，.

而已知方程为210(1]xyxRy，，，，显然与之等价的为B.

练习2、设P是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值是 ，最小值为 .

分析：注意到变量,xy的几何意义，故研究二元函数2xy的最值时，可转化为几何问题.若设2xyt，则方程2xyt表示一组直线，（对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然,xy既满足222312xy，又满足2xyt，故点,xy是方程组2223122xyxyt的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0问题.

解析：令2xyt，对于,xy既满足222312xy，又满足2xyt，故点,xy是方程组2223122xyxyt的公共解，依题意得221182120ytyt，由22644112120tt，解得：2222t，所以2xy的最大值为22，最小值为22.

（2）、极坐标与直角坐标的互化

利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为,xy，它的极坐标为,，则 222cossinxyxyytgx或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.

例2、极坐标方程24sin52表示的曲线是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析：由21cos4sin422cos522，化为直角坐标系方程为22225xyx，化简得22554yx.显然该方程表示抛物线，故选D.

练习1、已知直线的极坐标方程为2sin42，则极点到该直线的距离是

解析：极点的直角坐标为0,0o，对于方程222sinsincos4222，可得sincos1，化为直角坐标方程为10xy，因此点到直线的距离为22

练习2、极坐标方程2cos0转化成直角坐标方程为（ ）

A．201yy2x或 B．1x C．201y2x或x D．1y

分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.

解析：22(cos1)0,0,cos1xyx或，因此选C.

练习3、点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（ ）

A．(2,)3 B．(2,)3 C．2(2,)3 D．(2,2),()3kkZ

解析：2(2,2),()3kkZ都是极坐标，因此选C.

（3）、参数方程与直角坐标方程互化

例题3：已知曲线1C的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2C的极坐标方程为sin6cos2．

（1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线1C，2C是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

解：（1）由sin10cos102yx得

10)2(22yx

∴曲线1C的普通方程为10)2(22yx

∵sin6cos2

∴sin6cos22

∵sin,cos,222yxyx

∴yxyx6222，即10)3()1(22yx

∴曲线2C的直角坐标方程为

DAFEOBC 10)3()1(22yx

（2）∵圆1C的圆心为)0,2(，圆2C的圆心为)3,1(

∴10223)30()12(C2221C

∴两圆相交

设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21CC

∴222)10()223()2(d

∴22d

∴公共弦长为22

练习1、坐标系与参数方程.

已知曲线C：(sin21cos23yx为参数，0≤<2π)，

（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

解析：（Ⅰ）023222yxyx

（Ⅱ）sincos32

（4）利用参数方程求值域

例题4、在曲线1C：）yx为参数(sincos1上求一点，使它到直线2C：1222(112xttyt为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0

设所求的点为P（1+cos,sin)

则C到直线C2的距离d=2|122sincos1|

=|sin(+4)+2|

当234时，即=45时，d取最小值1

此时，点P的坐标是（1-22，-22）

练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆2228cos6sin7cos80xyxy+--++=（R）的圆心为(,)Pxy ，求2xy-的取值范

解：由题设得4cos, 3sinxy（为参数，R） 于是.

28cos3sin73cos()xy，

所以 73273xy≤≤.

练习2、已知曲线C的极坐标方程是sin2，设直线L的参数方程是,54253tytx（t为参数）．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值.

解：（1）曲线C的极坐标方程可化为：

sin22

又 sin,cos,222yxyx.

所以，曲线C的直角坐标方程为：

0222yyx.

（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34xy

令 0y 得 2x即M点的坐标为)0,2(

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1,0(，半径1r，

则5MC

∴15rMCMN

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，

①写出直线l的参数方程;

②设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积.

解 （1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt．

（2）把直线312112xtyt代入422yx，

得22231(1)(1)4,(31)2022tttt，122tt，

则点P到,AB两点的距离之积为2．

练习1、求直线415315xtyt（为参数t）被曲线2cos()4所截的弦长.

解：将方程415315xtyt，2cos()4分别化为普通方程：

3410xy，220,xyxy

2172.105dd211211圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离＝，弦长＝2r2222100

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极坐标参数方程练习题

极坐标参数方程练习题

极坐标与参数方程练习题

1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()42．圆O的参数方程为2cos22sin2xryr，（为参数，0r）.

（Ⅰ）求圆心的一个极坐标；

（Ⅱ）当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．

2．已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

3. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,2.

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

4.已知曲线1C的参数方程为tytxsin55cos54为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin2.

（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标π20,0.

5.在直角坐标系xoy中，曲1C:sincostytxπ其中为参数，0,0tt，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C:sin2,曲线3C:cos32.

（1）.求2C与1C交点的直角坐标

（2）.若2C与1C相交于点A，1C与3C相交于点B，求AB的最大值

6.已知直线l:x＝m＋tcosαy＝tsinα(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C:x＝2cosφy＝3sinφ（φ为参数）的左焦点F，

（1）求m的值；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值。

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

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高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。

例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。

例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.

例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.

1) 曲线C的参数方程为：

x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。

2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。显然，当$\cos(\alpha+\theta)=1$时，$d$取得最大值，此时$d_{\max}=5+\frac{1}{\sqrt{2}}$。

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

考纲要求

1坐标系

①了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;

②了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;

③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程;

④了解参数方程,了解参数的意义;能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义;

⑤能选择适当的参数写出直线,圆和椭圆的参数方程;了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解他们的区别;

2参数方程

①了解参数方程,了解参数的意义

②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;

③了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出他们的参数方程;

④了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用;

热门考点

高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,直线、圆和圆锥曲线的参数方程,参数方程化为直角坐标方程等;热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程;冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程;盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,摆线在实际中的应用,摆线在表示行星运动轨道中的作用;涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用;多以选做题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于中档题;

常见题型

知识块 能力层次 知识点 11年 12年 13年 14年 备注 十八、坐标系与参数方程

理解

54．坐标系

23

23

23

23

理解 55．参数方程 23 23 23 23

极坐标与参数方程题型及解题方法乐乐课堂

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一、极坐标的基本概念

极坐标是一种描述平面内点位置的坐标系统，它由极径𝑟和极角$\\theta$组成。在极坐标系中，点𝑃的坐标表示为$(r,\\theta)$。

二、极坐标与直角坐标的转换

在直角坐标系中，点𝑃(𝑥,𝑦)的极坐标表示为$r=\\sqrt{x^2+y^2}$和$\\theta=\\arctan(\\frac{y}{x})$。 而在极坐标系中，点$(r,\\theta)$的直角坐标表示为$x=r\\cos(\\theta)$和$y=r\\sin(\\theta)$。

三、极坐标下常见图形的参数方程

1. 圆的极坐标方程

圆的极坐标方程为𝑟=𝑎，其中𝑎为圆的半径。其参数方程为$x=a\\cos(\\theta)$和$y=a\\sin(\\theta)$。

2. 点到极轴的距离为常数的曲线

当点𝑃到极轴的距离为常数𝑘时，曲线的极坐标方程为$r=k\\sec(\\theta)$。其参数方程为$x=k\\sec(\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=k\\sec(\\theta)\\sin(\\theta)$。

3. 阿基米德螺线

阿基米德螺线的极坐标方程为$r=a+b\\theta$，其中𝑎为曲线与极点的距离，𝑏为线密度。其参数方程为$x=(a+b\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=(a+b\\theta)\\sin(\\theta)$。

四、参数方程的意义及解题方法

参数方程是以参数为自变量描述变量间关系的方程形式，通常在描述运动过程或复杂图形时应用较广。

解决参数方程的问题，一般需要先确定参数的取值范围，然后通过合理选择参数值，逐步计算出曲线上各点的坐标，从而描绘出曲线的形状。

五、乐乐课堂实例分析

在乐乐课堂，老师通常会设计一些关于极坐标和参数方程的题目，让学生通过计算参数方程的方式解题，深入理解数学概念。 例如，老师会出一道题目：“已知曲线的参数方程为𝑥=𝑡2，𝑦=𝑡+1，求曲线的极坐标方程并绘制图形。” 学生可通过将参数方程中的𝑡=𝑡2和𝑡+1=𝑦代入极坐标与直角坐标的转换公式，得到极坐标方程，并通过计算不同𝑡值对应的𝑥和𝑦，得到曲线上的点，最终绘制出曲线。