第二章 状态空间分析法
1 1第一篇 线性系统分析和综合
第一章 绪论
第二章 状态空间分析法
大纲
状态空间与状态方程的基本概念
由状态方程到传递函数的数学模型转换
由传递函数到状态方程的数学模型转换
状态方程的求解
系统的能控性
系统的能观性
系统结构分析
状态变量反馈
状态观测器
李雅普诺夫稳定性分析
2.1 基本概念
60s'以前,研究自动控制系统的传统方法主要使用传递函数作为系统的数学
描述,研究对象是SISO系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理
论”。随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂（MIMO，
时变，不确定，耦合，大规模）,传统的研究方法难以适应新的形势。在50s'后
期,Bellman等人提议使用状态变量法,即状态空间法来描述系统,时至今日,这
种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组,这在力学
和电工上早已使用,并非什么新方法,但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于MIMO、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统,
而经典法主要适用于线性定常的SISO系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程,
因而简化数学符号,方便推导,并很适合于计算机的处理,而古典法是拉氏变换
法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明I-O关系,还精确揭示了系统内部有关变量及初
始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法：如自适应控制、最优控制等。 第二章 状态空间分析法
2 2上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大
成功。
状态空间法的缺点:
1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样, 能用Bode图及根轨
迹进行直观的描述。对于简单问题,显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型,这妨碍了它
11122121112121112122()()()()101,11001iAHtQQAHtQQHtQRHtQRARAABARARC
111111122122221122()(s)1()(s)()(s)1()(s)11iiHsRQARsHsRQHsRQARsHsRQARsARs
思考：当Q1由H2罐底部流入
1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22 432143214321313310411100000020000300013xxxxyuxxxxxxxx
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
(2)
32121321321110021357213311201214xxxyyuxxxxxx（2）
解：A的特征方程 0)3)(1(311212142AI
1,332,1
当31时，3121113121113311201214pppppp
解之得 113121ppp 令111p 得
1113121111pppP
第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
19第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。
（1） （2）
2010A0410A
（3） （4）
2110A
452100010
A
（5）（6）
0000100001000010
A
000100010000
A
【解】：
（1）
)2(10)2(11
}201{])[()(11111
ssssLssLAsILt
tt
ee
ssssL22105.05.01
)2(10)2(5.05.01
（2）
tttt
ss
ssss
LssLAsILt2cos2sin22sin5.02cos
444414}41{])[()(
222211111
（3）
222211111
)1()1(1)1(1
)1(2
}211{])[()(
ss
ssss
LssLAsILt
tttttt
teeteteetet)(
（4）
特征值为：。2,1321第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
20由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为
，
421211101
P
1211321201P
线性变换后的系统矩阵为：
200010011~1APPA
tttt
tA
eetee
e2~
00000
第一周绪论
1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？ （AB）
A指南车
B水运仪象台
C指南针
D印刷术
2、经典控制理论也可以称为（BD）
A现代控制理论
B自动控制理论
C近代控制理论
D古典控制理论
3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？ （AB）
A李雅普诺夫稳定性理论
B极小值原理
C频率响应法
D根轨迹法
4、传递函数模型假设模型初值不为零。（X）
5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。（X）
6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。（，）
7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。（X）
8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）
的科学问题。
9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。
10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两
个内部特性。
一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。你还知道现代控
制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？
第二周状态空间描述下的动态方程
1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？ （BD）
A输出方程中状态变量必须是一阶的
B输出方程中不含输入的任何阶倒数
C输出方程中输入变量可以是任意阶的
D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数
2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？ （AB）
A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的 B系统输出方程的输入输出变量是惟一的
C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的
D系统的状态方程的状态变量是惟一的
3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？ （AC）
A这些动态方程一定是等价的
B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程
C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程
D这些动态方程不一定是等价的
4、选取的状态向量是线性相关的（X）
