数学一轮复习函数知识点汇总

专题3.1 函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【知识清单】1．函数的概念2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一 函数的概念【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ） A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+-D ．()221f x x x =--与()221g t t t =-- 【答案】D 【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A. ()2f x x =， ()2g x x =B. ()1f x =， ()()01g x x =-C.()()2x f x x=， ()()2xg x x= D. ()293x f x x -=+， ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中: ()2g x x =2x x =≠;B 中: ()()()0110g x x x =-=≠;C 中：， ()()2x f x x=1,0{1,0x x >=-< ， ()()2xg x x =1,0{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B. 【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．[0,52] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- 所以114x -≤+≤所以1214x -≤-≤，解得：502x ≤≤ 故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52] 故选：A【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ． 【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【变式探究】1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C 【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=++≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,4 【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩ 解得01x ≤< 故答案为C 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ）A ．2211x x-+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x -+ 【答案】C 【解析】 设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ．【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（3）若函数()f x 在区间[],1a a +上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.【解析】（1）由()02f =，得2c =，由()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以()222f x x x =-+.（2）由（1）得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 又()15f -=，()22f =，所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5. （3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调， 因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞. 【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的都有，则( )A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C 【解析】 设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C ．2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．【答案】21x + 【解析】()()()212f x f x f x +=+11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+ ()21f x x =+高频考点四：求函数的值域【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()10f x x x x=+<的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R【答案】C 【解析】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C .【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x xe f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________ 【答案】{}1,0- 【解析】依题意()111111221x x xe f x e e +-=-=-++，由于11xe +>，故11112212x e -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-. 故填：{}1,0-.【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x =的值域是________________． 【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x ，令0t t =≥则21122x t =-， 则()2211112222f t t t t t =+-=+-()21112t =+-，0t ≥. 由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，所以当0t =即12x =-时取得最小值，最小值为12-，因而()1,2x f ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【规律方法】函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋kx (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知5,6()(2),6x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】(3)(32)(52)752f f f=+=+=-=故选：A【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】 由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】 由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩， 则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．01a ≤<或28a <≤C ．28a <≤D ．11a -<<或28a <≤ 【答案】B【解析】如图所示，画出函数()f x 图像，当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，即23131a -<≤-，即28a <≤；当0x =时，易知不满足；当0x <时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，即()011a f ≤<-=.综上所述：01a ≤<或28a <≤.故选：B.3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.由，得或， 得或，即得取值范围是， 故答案为. 4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.【易错提醒】因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。

2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳函数是数学领域的一个重要概念，在高考中占据着很大的比重。

下面是2024年高考一轮复习函数知识点及最新题型的详细归纳。

1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

通常用f(x)表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。

2.函数的表示方法函数可以用解析式、图像、表格等多种方式表示。

其中，解析式是最常见的表示方法，常见的函数表示如下：线性函数：f(x) = ax + b二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c指数函数：f(x)=a^x对数函数：f(x) = loga(x)三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)3.函数的性质-定义域和值域：函数的定义域是自变量能取的全部实数值的集合，值域是因变量能取的全部实数值的集合。

-奇偶性：若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数；若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数。

-单调性：如果对于函数的定义域内的任意x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数是递增的；如果当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数是递减的。

-周期性：如果对于函数的定义域内的任意x，有f(x)=f(x+T)，其中T为正常数，则称函数具有周期T。

4.函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

-两个函数的和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)-两个函数的差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)-两个函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)-一个函数除以另一个函数：(f/g)(x)=f(x)/g(x)随着高考的，函数的考查形式也在不断变化，以下是一些最新的函数题型归纳：-函数的图像分析：考生需要根据给定函数的解析式或表格，画出其对应的图像，然后分析图像的特点，如极值、拐点、单调性等。

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。

高考数学一轮复习基本初等函数知识点每一章知识点把握对复习是专门有利的，查字典数学网为您提供的是差不多初等函数知识点，期望能够关心到你。

一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一样地，假如，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.现在，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，那个地点叫做根指数(radi calexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.现在，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根能够合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根差不多上0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x 是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特点函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐步上升自左向右看，图象逐步下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;注意：利用函数的单调性，结合图象还能够看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;(3)关于指数函数，总有;(4)当时，若，则;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一样地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式)说明：1注意底数的限制，且;2;3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，差不多上形式定义，注意辨别。

第二部分 函数1. 了解映射:f A B →的概念注意：（1）映射可以是多对一，也可以是一对一的对应，但不能是一对多的对应；（2）A 中元素在B 中必须都有象且唯一；（3）B 中元素在A 中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一．2. 函数:f A B →是特殊的映射．特殊在定义域A 和值域C 都是非空数集！注意值域C B ⊆．函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定， 也就是说，确定一个函数，只需确定函数的定义域和对应法则．3. 求函数定义域的常用方法:（1）偶次根式的被开方数非负；分式的分母不能为零；对数log a x 中0x >，0a >且1a ≠；三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等等．（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围．注意单位．[注]：定义域要用集合或区间表示，不能用不等式表示.4. 求函数值域（最值）的方法:基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数形结合；几何意义等．5. 指数函数()x f x a =()0,1a a >≠且的反函数是()1log a f x x -=()0,1a a >≠且， 反之亦然．它们的定义域与值域互换，图象关于直线y ＝x 对称.6. 函数的奇偶性:（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．（2）确定函数奇偶性的常用方法（若函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，但要注意定义域的变化，如2()1x x f x x -=-）： ①直接利用奇偶性定义判断：②利用奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()()()10f x f x f x -=±≠．如：奇函数(lg y x =±，11x x a y a +=-()0,1a a >≠且的判断． （3）函数奇偶性的性质：① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.② 若()f x 为偶函数，则()()f x f x =，此性质常用于根据单调性解不等式． ③ 若()f x 为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有()00f =，常用此性质解题，但要注意：()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件．7. 函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法:（取值――作差――变形――定号）；导数法:（在区间(),a b 内，若总有()'0f x >，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(),a b 内为增函数，则()'0f x ≥.请注意两者的区别：前者不含等号，后者含等号.②选择填空题还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意b y ax x=+型函数的图象和单调性在解题中的运用 （,a b 同号时，对勾函数；,a b 异号时，在()()0,,0+∞-∞上分别单调）③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.如:函数()20.5log 2y x x =-+的单调递增区间是？(答：（1,2）)．关注定义域． 函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是？（应首先将x 的系数化为正数） 答：511(,),1212k k k ππππ++∈Z . （2）特别提醒：求单调区间时要注意，一是勿忘定义域；二是不能用不等式表示；三是单调区间尽可能包括端点，但由导数求得的单调区间一律为开区间．（3）注意函数单调性与奇偶性的应用：①比较大小；②解不等式；③求参数范围．8. 常见的图象变换：（1）平移变换：()f x →()f x a ±或 ()f x a ±；函数()y f x a =±)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴左（右）平移a 个单位得到的；函数()x f y =±a )0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴向上（下）平移a 个单位得到的；（2）伸缩变换：()f x →()f ax 或 ()af x ；函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1倍得到的；函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴 伸缩为原来的a 倍得到的.*9. 函数的对称性:（1）一个函数本身的性质：若()()f a x f b x +=-对任意x 恒成立，则函数()f x 的图象关于直线2a b x +=轴对称；若()()0f a x f b x ++-=对任意x 恒成立，，则()f x 的图象关于点,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称． （2）两个函数的关系：若()f x 与()g x 关于直线x a =对称，则()()2g x f a x =-；若()f x 与()g x 关于点(),0a 中心对称，则()()0f a x g a x ++-=．（3）特别关注形如ax b y cx d+=+的函数，其图象是双曲线，其两渐近线分别是直线d x c=-(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c- （4）如何画出|()|f x 的图象？如何画出(||)f x 的图象？*10. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x值，都满足()()f x T f x +=，那么这个函数()f x 就叫作周期函数．注意：①周期函数的定义域一定是无界的；②定义在R 上的常数函数也是周期函数，因而周期函数不一定有最小正周期；（1） 若()f x 图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()f x 是周期函数，且2||a b -为一个周期；（2） 若()f x 图象有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()f x 是周期函数，且2||a b -为一个周期；（3） 如果函数()y f x =的图象有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且4||a b -为一个周期；（4）若0a ≠，且()f x 满足()()x a f x f +=-，或1()()f x a f x +=； 或1()()f x a f x +=-；则均可得出2a 是()f x 的一个周期.11. 指数式、对数式：log a N a N =，log log log c a c b b a=， log log m n a a n b b m =，()n m mn a a =. 12. 指、对、幂函数：①指数函数x y a =的图象分两类（0a >、0a <）；②对数函数log a y x =的图象也分两类（1a >、01a <<）；③幂函数y x α=的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象．在同一坐标系中作出不同类型的幂函数．13. 指数、对数值的大小比较主要方法为：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；14. 函数的应用:求解数学应用题，要特别注意：设（解答中涉及到的字母），定义域（实际问题，注意单位），答（将所得的数学结果，回归到实际问题中去）.*15. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如:函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题．求解抽象函数问题的常用方法是：（1）利用赋值法探究性质（如令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f ；令y x =或y x =-或将x 换成－x ，将y 换成－y 等）；（2）利用函数的性质进行演绎探究（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；（3）借鉴函数模型进行类比探究．几类常见的抽象函数为 ：①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ -----()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = -----()()()f xy f x f y =，()()()x f x f y f y =； ③指数函数型：()x f x a = -----()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； ④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-． 需要注意的是：函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型，它只能帮助我们思考问题，但不能作为推理、论证的依据．16. 高考试题中关于基本初等函数性质考查的基本类型：函数是北京高考考查能力的重要素材，以函数为基础与其它章节在知识交汇点命制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．以选择题、填空题形式主要考查函数的基本概念、函数图象、函数性质（单调性、奇偶性、周期性）等重要知识；同时关注函数知识的应用，突出函数与方程的思想、数形结合的思想． 例1：对于函数: ①1()45f x x x=+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ D ）（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①② 例2：如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．（1）设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）（2）设BP x =，四边形面积1D MBN S y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）例3：已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立， 则实数a 的取值范围是( A )（A ）2a（B ）2a （C ）22a （D ）2a 或2a第三部分 导数1. 导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率（平均变化率的极限）．AB CDM N P A 1B 1C 1D 1。

1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质a >10<a<1图象定义域值域性质(1)过定点________(2)当x>0时，______；当x<0时，________(2)当x>0时，________；当x<0时，______(3)在(－∞，＋∞)上是______(3)在(－∞，＋∞)上是______自我检测1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，322()a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝12(2)x －(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________.3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系为____________．4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值为________．5．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1； 733338152a a a a --.变式迁移1 3322114443()a b ab ba b a(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想例 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．一、填空题1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝12x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．。

高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．三、考点解析考点一 确定函数的单调性(区间))例、(1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．跟踪训练1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值))例、(1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在]2,21[上的值域为]2,21[，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．注： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．跟踪训练1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈]32,6[ππ-，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小例、偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式例、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)例、已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．跟踪训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21(-f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是课后作业一1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在]2,21[上的值域是]2,21[，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．课后作业二1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.。

高三数学一轮知识点总结大全高三是所有考生的关键时刻，是为了应对高考而付出努力的最后一年。

数学作为高考必考科目之一，具有重要的分数和排名权重。

为了帮助高三学生更好地备考，下面将对高三数学一轮知识点进行全面总结。

一、函数与方程1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，对于定义域内的每个自变量都有唯一对应的因变量。

2. 函数的性质：奇偶性、周期性、增减性、单调性等。

3. 方程与不等式的解：通过求解方程或者不等式，求取未知数的取值范围。

二、数列与递推关系1. 等差数列：一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的差值为常数。

2. 等比数列：一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的比值为常数。

3. 递推关系：通过已知项和递推关系式，求解数列中任意一项的值。

三、平面几何1. 直线与曲线：通过方程或者性质，判断直线与曲线的关系。

2. 圆与其相关概念：弦、弧、切线、切点等。

3. 三角形与多边形：根据性质和定理，解决三角形和多边形相关的问题。

四、空间几何1. 空间中的直线与平面：通过方向向量和点的坐标等信息，求解直线与平面的关系。

2. 空间中的角与距离：根据空间几何相关定理，求解角的大小和点的距离。

3. 空间中的曲线与曲面：通过方程和性质，求解曲线和曲面的特性。

五、立体几何1. 立体的体积和表面积：求解各种形状的体积和表面积，例如（球、圆柱、锥、棱柱、棱锥等）。

2. 空间向量：矢量的定义、性质、运算等。

3. 空间解析几何：点、直线、平面的坐标和性质。

六、概率与统计1. 随机事件：基本概念、性质和运算。

2. 概率计算：频率、概率、事件间的关系和计算方法。

3. 排列组合与分布：排列、组合、二项分布、正态分布等。

七、数学证明与推理1. 数学证明的基本方法：直接证明法、反证法、数学归纳法等。

2. 数学运算与性质：算术运算、整除性质、同余关系等。

3. 数学推理与连续性：数学推理的过程和方法，连续性的概念和性质。

八、复数与数域1. 复数的定义与运算：复数的基本运算、共轭、模长等。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。