推荐学习2018数学高考学习复习资料一轮复习刺金四百题：第291—295题(含答案解析)

课时作业1 集合一、选择题1．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，∴A ∪B＝{0,1,2,3}，故选C.答案：C2．(2016·浙江卷)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2<x<2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}．故选B.答案：B3．(2017·温州十校联考)已知集合U＝{x|x≤－1或x≥0}，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2>1}，则集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|x>0或x<－1}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}解析：因为B＝{x|x2>1}＝{x|x<－1或x>1}，所以∁U B＝{x|0≤x≤1或x＝－1}，所以A∩(∁U B)＝{x|0≤x≤1}，故选C.答案：C4．(2017·湖北省仙桃中学月考)满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：因为M∪{1}＝{1,2,3}，所以M＝{2,3}或{1,2,3}．所以符合条件的集合M的个数是2.故选B.答案：B5．(2017·河南省八市重点高中高三质量检测)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.答案：D6．(2017·湖南省东部六校高三联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由x －1>0，得x >1，故集合A ＝(1，＋∞)，又y ＝x 2＋2x ＋5＝x ＋2＋4≥4＝2，故集合B ＝[2，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选C.答案：C7．(2017·河北省“五个一名校联盟”高三教学质量监测)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝{x |2x －3x<0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：由题可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |0<x <32}，且题图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.答案：D8．(2017·丹东市高三质检)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≤2m 2}，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．0C ．－1D ．－ 2解析：由B ＝{x |x ≤2m 2}，得∁R B ＝{x |x >2m 2}，又A ⊆∁R B ，可借助数轴得2m 2<2，即m 2<1.满足条件的只有选项B ，故选B. 答案：B 二、填空题9．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}10．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B )＝________.解析：A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∁R B ＝{x |x <2或x >4}，A ∩(∁R B )＝{x |0≤x ＜2或x >4}．答案：[0,2)∪(4，＋∞)11．设集合A ＝{x ，y ，x ＋y }，B ＝{0，x 2，xy }，若A ＝B ，则实数对(x ，y )的取值集合是________．解析：由A ＝B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x 2≠0，xy ≠0，故x ≠0，y ≠0，那么集合A 中只能是x ＋y ＝0，此时就是在条件x ＋y ＝0下，{x ，y }＝{x 2，xy }，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＝x ，xy ＝y ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＝y ，xy ＝x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.答案：{(1，－1)，(－1,1)}12．已知集合M ＝{x |log 2(x －1)<2}，N ＝{x |a <x <6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝________.解析：由M ＝{x |log 2(x －1)<2}得M ＝{x |1<x <5}，因为M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，所以a ＋b ＝7.答案：71．(2017·辽宁师大附中测试)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，若集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )A ．3∉A 且3∉B B ．3∈A 且3∉BC ．3∉A 且3∈BD ．3∈A 且3∈B解析：画出Venn 图，可知B 正确． 答案：B2．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2解析：若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，则k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.答案：B3．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝( )A ．{x |3<x ≤4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{x |3<x <4}D ．{x |2≤x ≤4}解析：因为A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以B △A ＝{x |3≤x ≤4}． 答案：B4．(2017·沈阳二中阶段验收)设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |[x ]2－2[x ]＝3}，B ＝{x |18<2x<8}，则A ∩B ＝________.解析：因为A ＝{x |[x ]2－2[x ]＝3}，所以[x ]＝－1或3，所以－1≤x <0或3≤x <4，由B ＝{x |18<2x <8}得B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝{x |－1≤x <0}．答案：{x |－1≤x <0}5．(2016·北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店：①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析：设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．答案：①16 ②29课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案：A2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．答案：D3．设x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2C.x >yD ．x 3>y 3解析：选项A ，B 中均有x <y 的可能，选项D 中的条件为x >y 的充要条件，只有选项C 中的条件为x >y 的充分不必要条件．答案：C4．设a ，b ∈R ，那么“a b>1”是“a >b >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a b >1时，a ，b 可以为负值，不一定有a >b >0；反之，当a >b >0时，一定有a b>1.故选B.答案：B5．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，则“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件解析：若f (x )是奇函数，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，则|f (x )|为偶函数；反之，如f (x )＝cos x ，则|f (x )|＝|cos x |为偶函数，但f (x )＝cos x 不是奇函数，故“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的充分不必要条件．答案：A6．“x <1”是“log 12 x >0”的( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x<1时，log12x未必有意义，故充分性不成立；当log12x>0时，一定有x<1，所以“x<1”是“log12x>0”的必要不充分条件．答案：B7．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题的条件和结论先都否定再互换，故①正确，②错误，③正确，选A.答案：A8．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1解析：要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需a≥4.∴a>4是命题为真的充分不必要条件．答案：B二、填空题9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假10．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为“x，y互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________．解析：不等式3x ＋1<1，等价于3－x ＋x ＋1<0，等价于x －2x ＋1>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0，其解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．p 是q 的充分不必要条件等价于[k ，＋∞)为(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以k >2，即k 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)12．已知p ：－4<k <0，q ：函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负，则p 是q 的________条件． 解析：－4<k <0⇒k <0，且Δ＝k 2＋4k <0，所以函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负；反过来，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负不一定有－4<k <0，如当k ＝0时，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负．答案：充分不必要1．(2017·湖北黄冈质检)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1解析：由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.故选D.答案：D2．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α D ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α. 答案：C3．(2016·北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b | ＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |, 故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |. 故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件. 故选D.答案：D4．已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)．解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x－1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x－11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1，若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数，∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要5．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >9课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．已知命题p ：∀x >0，x 3>0，那么綈p 是( ) A ．∃x ≤0，x 3≤0 B ．∀x >0，x 3≤0 C ．∃x >0，x 3≤0D ．∀x <0，x 3≤0解析：“∀x >0，x 3>0”的否定应为“∃x >0，x 3≤0”，故选C.答案：C2．命题“存在φ0∈R ，使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称”的否定是( )A ．存在φ0∈R ，使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称B ．对任意的φ∈R ，函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称C ．对任意的φ∈R ，函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称D ．存在φ0∈R ，使得函数f (x )＝tan(πx ＋φ0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0不对称 解析：所给命题是特称命题，因此其否定一方面要把“特称”改“全称”，另一方面要否定结论，故其否定应该为“对任意的φ∈R ，函数f (x )＝tan(πx ＋φ)的图象都不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称”． 答案：B3．(2017·河北唐山模拟)命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：因为x 3<x 2，所以x 2(x －1)<0， 所以x <0或0<x <1.故命题p 为假命题，易知命题q 为真命题．选A. 答案：A4．“对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，f (x )>0成立 D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立解析：“对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立，故选A.答案：A5．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：“非p 或非q ”是假命题，则“p 且q ”为真命题，“p 或q ”为真命题，从而①③正确．答案：A6．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解析：当x ＝10时，10－2>lg10＝1成立，所以命题p 为真命题；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x >0，sin x ＋1sin x≥2sin x ·1sin x ＝2 ①，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时等号成立．又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x ≠1，所以①中等号不成立，命题q 是假命题，故选C.答案：C7．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－16,0] B ．(－16,0) C ．[－4,0]D ．(－4,0)解析：由题意可知“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题．所以Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，故选A.答案：A8．(2017·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：由p ∨(綈q )为假命题知p 假q 真． 由p 假知命题“∀x ∈R ，e x－mx ≠0”为真命题． 即函数y ＝e x与y ＝mx 的图象无交点，设直线y ＝mx 与曲线y ＝e x相切的切点为(x 0′，y 0′)． 则切线方程为y －e x 0′＝e x 0′(x －x 0′)，又切线过原点． 则可求得x 0′＝1，y 0′＝e ，从而m ＝e ，所以命题p 为假时有0≤m <e. 命题q 为真时有Δ＝m 2－4≤0. 即－2≤m ≤2.综上知，m 的取值范围是0≤m ≤2.故选B. 答案：B 二、填空题9．命题“∃x 0∈R ，cos x 0≤1”的否定是________．解析：因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，且对结论否定，所以该命题的否定为∀x ∈R ，cos x >1.答案：∀x ∈R ，cos x >110．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R )，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，给出下列命题：①p ∨q ②p ∧q ③(綈p )∧(綈q ) ④(綈p )∨q 其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，綈p 为假命题．因为f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．所以命题q 为假命题，綈q 为真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨q 为假命题． 答案：②③④11．已知命题“∀x ∈R ，sin x －a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________． 解析：由题意，对∀x ∈R ，a ≤sin x 成立．由于对∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1，所以a ≤－1.答案：(－∞，－1]12．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x，得a ≥e；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e≤a ≤4.答案：[e,4]1．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 答案：D2．(2017·湖南长沙一模)已知函数f (x )＝e x，g (x )＝x ＋1，则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝e x－1，于是当x <0时F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >0时F ′(x )>0，F (x )单调递增；从而F (x )有最小值F (0)＝0，于是可以判断选项A 为假，其余选项为真，故选A.答案：A3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：(綈q )∧r 是真命题意味着綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.答案：D4．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2－4>0，且－m2>0，即m <－2，所以m 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：a ≤12x 2－ln x 在x ∈[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝x －x ＋x.当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12.∴a ≤12.即p ：a ≤12.命题q ：Δ＝4a 2－4(－8－6a )≥0， ∴a ≥－2或a ≤－4.综上，a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]．答案：(－∞，－4]∪[－2，12]课时作业4 函数及其表示一、选择题1．下列图象中不能作为函数图象的是( )解析：B 项中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.答案：B 2．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－12且x ≠1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12且x ≠1解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1，故选D.答案：D3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：由题意知f (3)＝23≤1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.答案：D4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x ，选B. 答案：B5．若f (x )的定义域是[－1,1]，则f (sin x )的定义域为( ) A ．RB ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 D ．[－sin1，sin1]解析：由－1≤sin x ≤1得x ∈R . 答案：A6．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B 二、填空题7．(2017·唐山模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <2，2xx ＋3，x ≥2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．解析：依题意得⎩⎨⎧x 0<2，2x 0>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥2，2x 0x 0＋3>1.解得0<x 0<2或x 0>3.答案：(0,2)∪(3，＋∞)8．函数y ＝kx 2－6kx ＋9的定义域为R ，则k 的取值范围是________．解析：k ＝0符合题意；若k ≠0，则k >0且36k 2－4×9k ≤0，即0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1. 答案：[0,1]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2.若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a .若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3) 三、解答题10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0，解得x >4或x <－1. 故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100，单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解：(1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．所以当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．(2017·唐山月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 答案：C2．(2017·云南统测一)已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋，t >－90，－t ＋，t ≤－90，f (10)＝lg100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8.答案：－83．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：则f(3,5)＝．解析：由表可知f(3,5)＝5＋3＝8.∵∀x∈N*，都有2x>x，∴f(2x，x)＝2x－x，则f(2x，x)≤4⇔2x－x≤4(x∈N*)⇔2x≤x ＋4(x∈N*)，当x＝1时，2x＝2，x＋4＝5,2x≤x＋4成立；当x＝2时，2x＝4，x＋4＝6,2x≤x＋4成立．当x≥3(x∈N*)时，2x>x＋4.故满足条件的x的集合是{1,2}．答案：8 {1,2}4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|－a.(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解：(1)由题设知：|x＋1|＋|x＋2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x ＋2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x＋2|－a≥0，即|x＋1|＋|x＋2|≥a恒成立，又由(1)，|x＋1|＋|x＋2|≥1，∴a≤1.课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：函数y ＝ln(x ＋2)在区间(0，＋∞)上为增函数；函数y ＝－x ＋1在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y ＝x ＋1x 在区间(0,1)上为减函数，在区间[1，＋∞)上为增函数．答案：A2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．答案：A3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.答案：C4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1.∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．答案：A6．(2017·江西三校第一次联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.答案：A 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞) 8．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4∴a ＋b ＝6.答案：69．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．解析：由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4) 三、解答题10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－x 2＋1－x 1－x 1＋x 2＋＝－x 2－x 1x 1＋x 2＋.由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．1．(2017·重庆模拟)已知f (x )是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10D ．(0,1)∪(10，＋∞)解析：因为f (x )是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，由f (lg x )>f (1)，f (1)＝f (－1)． 得－1<lg x <1，所以110<x <10.答案：C2．已知函数f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，构造函数F (x )的定义如下：当|f (x )|≥g (x )时，F (x )＝|f (x )|，当|f (x )|<g (x )时，F (x )＝－g (x )，则F (x )( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：F (x )的图象如图所示，由图可知F (x )有最小值－1，无最大值．故选B.答案：B3．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．解析：根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 故f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减， 则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4.答案：44．(2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.答案：12<a <325．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0. 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0. 因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，为奇函数的是( ) A ．y ＝2x＋12xB ．y ＝x ，x ∈{0,1}C ．y ＝x ·sin xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0解析：因为y ＝2x＋12x ≥2，所以它的图象不关于原点对称，故A 不是奇函数；选项B 定义域不关于原点对称，故B 不是奇函数；设f (x )＝x sin x ，因为f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以y ＝x sin x 是偶函数，故选D.答案：D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：因为f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x .所以f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.答案：A3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：`f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，g (x )是偶函数，则g (－x )＝g (x )， 则f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，选项A 错； |f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，选项B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，选项C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|f (x )g (x )|，D 错．故选C.答案：C4．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，则( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a解析：因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 45＝lg 54， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－lg 12＝lg2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝lg 12＝－lg2.所以b >a >c . 答案：A5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝－1f x，且f (0)＝1，则f (2 016)等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：f (x ＋4)＝－1f x， 所以f (x ＋8)＝－1fx ＋＝f (x )．所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0)＝1.故选A. 答案：A6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.答案：C 二、填空题7．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1，所以当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1) ＝－－x －1. 答案：－－x －18．已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝________. 解析：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－19．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)＋x，且当0≤x<2时，f(x)＝[x]([x]表示不超过x的最大整数)，则f(5.3)的值为( )A．19.9 B．13.9C．9.9 D．7.9解析：f(5.3)＝2f(3.3)＋3.3＝2[2f(1.3)＋1.3]＋3.3＝2(2＋1.3)＋3.3＝9.9，选C.答案：C2．(2017·广东惠州调研)如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝( )A．18 B．16C．14 D．12解析：由题中图象知，f(x)＝0有3个根0，a，b，a∈(－2，－1)，b∈(1,2)，g(x)＝0有3个根0，c，d，c∈(－1,0)，d∈(0,1)，由f(g(x))＝0，得g(x)＝0或a，b，由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根，因而m＝9；由g(f(x))＝0，知f(x)＝0或c，d，由图象可以看出0时对应有3个根，d时有4个，c时有2个，共有9个，即n＝9，m＋n＝9＋9＝18，故选A.答案：A3．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －xx>0的解集为________．解析：因为f (x )为偶函数，所以不等式f x ＋f －x x >0等价于f xx>0.①当x >0时，f xx>0，等价于f (x )>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0.所以f (x )>0的解集为{x |0<x <2}． ②当x <0时，f xx>0等价于f (x )<0， 又f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0. 所以f (x )<0的解集为{x |x <－2}． 综上可知，不等式f x ＋f －xx>0的解集为{x |x <－2或0<x <2}． 答案：{x |x <－2或0<x <2}4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期，①正确．对于②，由于函数f (x )是偶函数，且函数f (x )是以2为周期的函数，则f (2－x )＝f (x －2)＝f (x )，即f (2－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f (x )是偶函数且在[－1，0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f (x )在[0,1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f (x )是以2为周期的函数且在[－1,0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f (x )在[1,2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (2)＝f (0)，⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.答案：①②⑤5．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意。

感知高考刺金291题已知等差数列{}n a 的通项公式为2n a n=，公比为q 的等比数列{}n b 满足()*nn b a n ≥∈N 恒成立，且44b a =，则公比q 的取值范围是 ． 解：由448b a ==得48n nb q-=⋅从结构分析，等比数列{}n b 是指数型函数上孤立的点，等差数列{}n a 是一次型函数上孤立的点已知指数函数图象与一次函数图象至少在4n =时有一个交点 如果只有这一个交点，那么指数函数其他点都在一次函数上方；如果指数函数与直线有两个交点，那么3n =或5的点，指数函数图象必须在直线上方故只需满足3344b a b a ≥⎧⎨≥⎩，即345486810qq--⎧⋅≥⎪⎨⋅≥⎪⎩得54,43q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金292题已知圆O 为单位圆，,A B为圆上两点，以A B为边作正方形A B C D，则O D 的取值范围是 ．解：本题我们使用转化的思想来解决。

在圆O 上固定一点A ，点B 在圆O 上运动，点D 满足A D A B⊥，且A DA B=。

故点B 绕点A 旋转2π后即得点D故把圆O 绕点A 旋转2π后得到圆'O 即为点D 的轨迹，如图所示。

显然21O D O D O D ≤≤，即1O D ⎤∈⎦感知高考刺金293题在等差数列{}n a 中，25a =，621a =，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若2115n nm S S +-≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 解：43na n =-，111543nS n =+++-2115n n m S S +-≤即11141458115m n n n +++≤+++记()111414581f n n n n =++++++。

感知高考刺金286题若关于x 的方程22110x a x b x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（其中,a b ∈R ）有实数根，则22a b +的最小值为 ． 解：本题思路是转换主元，将关于x 的方程22110x a x b x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭看成关于,a b 的直线方程22110x a b x x x ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是目标22a b +视为直线上的点(),a b 到原点的距离平方 原点到直线的最短距离的平方()2222222222212941651111x t x d t t t x x +-===++-≥++⎛⎫++ ⎪⎝⎭（令1x t x +=） 当且仅当1x =±时，22a b +的最小值为45点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道。

感知高考刺金287题设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，若12a a <，12b b <，且()21,2,3i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为 ．解：22242131322132b b a a b a a a a ===⇒=±，又1322a a a += 故13,a a 是方程222220x a x a -+=或222220x a x a --=的根，显然第一个方程的解是123a a a ==不符合，舍去，故(132,1a a a == 又由()()22121212120b b a a a a a a <⇒<⇒-+<又21a a >，故12200a a a +>⇒>综上可得(((223312322221,113b a a a a a b a ==⇒===+感知高考刺金288题已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1|x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为 ．解：显然0a >且440ab ∆=-=，故1b a =，又a b >，故1a b >>，22112a a a a a a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=≥--感知高考刺金289题已知关于x 的方程()22222log 230x a x a +++-=有唯一解，则实数a 的值为 ．解：这个方程显然直接解方程比较困难，因此越复杂的函数与方程越要从它的结构和性质入手来处理，我们可以发现这个函数()()22222log 23f x x a x a =+++-是偶函数，故零点必关于原点对称。

感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。

()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+或3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。

虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。

因为()2222442a b a a +=--所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --==-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。

感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d=，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．解：设(),P m n ，1a c b d k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b +=，22a b -=，则a b 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度 由()223a b a b +=--=和12b a -=可以画图，找到向量模长的几何意义。

专题六数 列考点1数列的概念及简单表示法1. _____ (2016 •浙江，13)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 若 4, a n +i = 2S + 1, n € N *,贝U a i = , $= _______ .]a 2= 2a 1 + 1,1.1 , 121 由于解得 a 1= 1, a 2= 3,|a 2 + a 1 = 4,当n 》2时，由已知可得： a n + 1= 2S +1,①a n = 2Si -1 +1,②①—②得 a n +1 — a n = 2a n ，…a n +1 = 3a n ，又 a2 = 3a 1,••• {a n }是以a 1 = 1为首项，公比q = 3的等比数列人(2 + n )( n — 1) rn (n +1) 人1 丄,个式子相加得 a n — a 1= 2+ 3 +…+ n =，即a n =，令b n =，故b n =22a n2 J 1 1 — 7 111 1 1] 20—； =2 F —^—7，，故 S 0= b+ b 2+・・・+ b 10 = 2 1 —; + ;—; +…+ —万=—.] n( n +1) ]nn +1] [ 2 2 3 1011_11」3. (2015 •安徽，18)设n € N , X n 是曲线y = x 2n +2+ 1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1) 求数列｛X n ｝的通项公式； 1 (2) 记 T n = X 2x 3 …X 2n -1，证明 T n > 石3.(1)解 y '= (x 2n +2+ 1) '= (2n + 2)x 2n +1,曲线 y = x 2n +2 +1 在点(1 , 2)处的切线斜率为2n+ 2,从而切线方程为 y — 2 = (2n + 2)( x — 1). 令y = 0，解得切线与x 轴交点的横坐标1 — 1X3 1 - 35-=121. 2.（2015 •江苏, 的和为 _________ ,11)设数列｛a n ｝满足 a 1 = 1,且 a n +1 — a n = n +1(n € N)，则数列 * 202.石[T a 1= 1,a n +1 — a n = n + 1 ,• • a 2 — a 1 = 2,a 3— a 2= 3,a n — a = n —110项⑵证明由题设和（1）中的计算结果知1当 n = 1 时，T i = 4.n* 1 2 n — 1 1所以 Tn >2 x 2X3=4n .综上可得对任意的 n € N *,均有T n > 14n2 *4. (2014 •广东，19)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S ，满足 S= 2na n +1— 3n —4n , n € N ,且 S 3 =15.(1)求 a 1, a 2, a 3 的值； ⑵求数列｛a n ｝的通项公式•"S = a 1 = 2a 2 — 3 — 4,4. (1)依题有 S = a 1 + a 2 = 4a 3— 12 — 8,解得 a 1= 3, a ?= 5, a 3= 7.S = a 1 + a a + a 3 = 15,⑵S n = 2n?h +1— 3n — 4n ,①2• •当 n 时，S —1 = 2(n — 1) a n — 3(n — 1) — 4( n — 1).② ①—②并整理得(2n — 1) a n + 6n +1 an +1=2n由(1)猜想a n = 2n + 1，下面用数学归纳法证明. 当n = 1时，a 1= 2+ 1 = 3,命题成立； 假设当n = k 时，a k = 2k + 1命题成立. 则当n = k + 1时，(2k — 1) a k + 6k + 1 ( 2k — 1)( 2k + 1)+ 6k + 1a k +1=2 - = 2 = 2k +3 = 2( k + 1) + 1, 2k 2 k即当n = k + 1时，结论成立. 综上，？ n € N , a n = 2n +1.考点2等差数列及其前n 项和1.(2016 •浙江,6)如图，点列｛A ｝,｛ B ｝分别在某锐角的两边上,且|AA +1| = |A +A 2|, A 工A+2, n € N *,| 1| =|B + 1b + 2|, DMb+2, n € N*(P ^ Q 表示点 P 与 Q 不重合).若 d n = | AB|, S n 为△ ABK +1的面积，则( )当n 》2时，因为x 2n — 1 =2n — 12n22(2n — 1) , (2n — 1) — 1 2n — 2 n — 12 > 22nKi 比瓯-H L. B.,rl -A. ｛ S｝是等差数列B.｛S n｝是等差数列B. c.｛d n｝是等差数列 D.｛d2｝是等差数列1. A[ S表示点A到对面直线的距离（设为h n）乘以| BB-1|长度一半，即S =1g h n I BK—1|，由题目中条件可知I BH—1|的长度为定值，过A作垂直得到初始距离h l,那么A, A和两个垂足构成等腰梯形，则h n = h i+ |AA|tan 0 （其中0为两条线所成的锐角，为定值）,1 1从而S == 2（h1 + | AA|ta n 0 ）| BB n+11 , S+1 == 2（m + | AA n+11）| B n B+11 ,1则S+1-2〔AA+1II BB+ 1|tan 0，都为定值，所以S+1- S为定值，故选 A.]2. （2016 •全国I, 3）已知等差数列｛◎｝前9项的和为27,日。

感知高考刺金296题若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ．解：1236n n n a a a n ++++=-，12333n n n a a a n +++++=-两式相减得33n n a a +-=故数列单调递增，只需1234a a a a <<<即可31213332a a a a =---=-- 得不等式1111133322a a a a <<--<+ 解得1123,52a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭感知高考刺金297题已知,αβ均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是 ．解：由sin cos cos sin sin sin ααβαββ-=化简得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 12tan βββββαββββ===≤=+++当且仅当tan β时取得等号感知高考刺金298题已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(n af n f n =++，则123a a a a +++⋯+=. 解：当n 为奇数时，1+n 为偶数，22(1)21=-+=--n a n n n当n 为偶数时，1+n 为奇数， 22(1)21=-++=+n a n n n∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ， 713=a ，……∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220162016a a a ++=感知高考刺金299题在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,AC A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为 ．解：依题意，只需过点M 作直线BN 的垂面即可垂面与正方体表面的交线即为动点P 的轨迹分别取11,CC DD 中点,G H ，易知BN ⊥平面AGHD过M 作平面AGHD 的平行平面''EFG H ，点P 所构成的轨迹即为四边形''EFG H ，其周长与四边形AGHD 的周长相等，所以点P 所构成的轨迹的周长为2点评：本题中面面的交线（截痕）即为动点P 的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转换。

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R,设a b <,()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,若函数()y f x x a b =++-有四个零点,则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定,顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线,于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示,是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-=函数()y f x x a b =++-有四个零点,可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点,故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭,解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中,若2AB =,2210AC BC +=,则ABC ∆的面积取得最大值时,最长的边长等于 ． 解法一：设CH h =,AH x =,由题知2210a b +=,2c =,12ABC S ch h ∆==因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤ 故()max 2ABC S ∆=,当且仅当1x =时,取得最大值,此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC+-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABCS AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==,等号成立,感知高考刺金238题如图,,C D 在半径为1的O 上,线段AB 是O 的直径,则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度 ()AC BD AD DC BD DC DB =+=-显然当,DC DB 均为O 的直径时,DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ,则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=-故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度 AC BD AC CE =要求max AC BD ,显然在AC 确定的情况下,CE 最大。

感知高考刺金346题设非零向量,,a b c 满足a b a b +=-且1a b a b c ==++=,则a c a 的取值范围是 ． 解：由ab a b +=-得a b ⊥,且1a b == 又()1a b c c a b ++=---=,即c OC =的终点C 在以()a b O D -+=的终点D 为圆心,1为半径的圆上 cos a cc aθ=就是c 在a 上的投影,显然[]2,0a c a ∈-感知高考刺金347题已知()222,0,,f xm x m m m x =++≠∈∈R R ,若1x y +=,则()()f y f x 的取值范围是 ．解：()()222222222222m y m f y my m f x mx m m x m ⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭==⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭()()f yf x 的取值范围问题等价于曲线1x y +=上的点(),P x y 与点2222,22m m A m m ⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭连线的斜率的范围问题．此时点A 在()()2,y x x ⎡=∈-∞+∞⎣上,由图可知：()()1f y f x ⎡∈⎢⎣感知高考刺金348题若点G 为ABC ∆的重心,且AG BG ⊥,则sin C 的最大值为 ．解：如图,点G 在以AB 为直径的圆上运动,且由于点G 为ABC ∆的重心,所以3OC OG =故点G 在以O 为圆心,以32AB 长为半径的圆上运动, 问题转化为圆上一点与线段AB 形成的张角问题。

如图,画一个最小圆,即CO AB ⊥时,其余的'C 都在圆外,根据圆外角小于圆上角,可知当CO AB ⊥时,C ∠最大,即sin C 最大 此时由11sin 22ABC S AB CO AC BC C ∆=⋅=⋅⋅得3sin 5C = 或二倍角公式3sin 2sin cos 2225θθθ===感知高考刺金349题在ABC ∆中,过中线AD 中点E 作一直线分别交边AB ,AC 于,M N 两点,设AM xAB =,()0AN yAC xy =≠,则4x y +的最小值为 ．解：因为D 是BC 中点,所以1122AD AB AC =+ 又因为E 为AD 中点, 所以11114444AE AB AC AM AN x y=+=+ 因为,,M E N 三点共线,所以11144x y+= 所以()11594444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当33,84x y ==时等号成立。