【志鸿优化设计】2014高考数学(湖南专用 理)一轮教学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2.8 函数与方程考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是方程f(x)＝0的根．2______，______________无交点__________________(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间______，使区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算____；①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若________，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．1．在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋3x－3的零点的是( )．A．[－1,0] B．[1,2]C．[0,1] D．[2,3]2．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( )．A．(－2,6) B．[－2,6]C．{－2,6} D．(－∞，－2)∪(6，＋∞)3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )．4．(2012北京高考)函数f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．35x．一、函数零点的求解与判定【例1－1】(2012湖北高考)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5【例1－2】已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是__________．方法提炼1．判断函数y ＝f (x )在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 2．函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．提醒：函数的零点不是函数y ＝f (x )与x 轴的交点，而是y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f (x )＝0有根的函数y ＝f (x )才有零点．请做演练巩固提升1 二、二分法的应用【例2】 在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题：(1)第一步中：①区间长度尽量小；②f (a )，f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )＜0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．提醒：(1)对于方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不一定是连续不断的图象，也不一定总有f(a)·f(b)＜0成立，如下图(1)(2)所示：请做演练巩固提升2三、函数零点的综合应用【例3－1】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【例3－2】设f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．方法提炼已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．请做演练巩固提升3函数零点命题的新考向【典例】已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.解析：∵a＞2，∴f(x)＝log a x＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝log a2＋2－b，f(3)＝log a3＋3－b，∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜log a2＜1，－2＜2－b＜－1.∴－2＜log a2＋2－b＜0.又1＜log a3＜2，－1＜3－b＜0，∴0＜log a3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)必存在唯一零点．答案：2答题指导：1．本题避开函数的零点的常规命题考向：确定零点所在区间或判断零点的个数，而是通过以下两个角度进行命题：(1)改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题．(2)改变了常规的考查方式，需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间．2．对函数的零点除掌握好常规的考向外，在复习中还应关注以下几个问题：(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题．(2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题．(3)与导数的应用综合在一起的解答题．1．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( )．A．2 B．3 C．1 D．42．在下列区间中，函数f(x)＝e x＋4x－3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－log 5|x －1|的零点个数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．115．(2012湖南高考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )．A ．2B ．4C ．5D ．8参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)f (x )＝0 (2)x 轴 零点(3)f (a )·f (b )＜0 (a ，b ) f (c )＝0 c 2．(x 1,0) (x 2,0) (x 1,0) 2 1 0 3．(1)f (a )·f (b )＜0 一分为二 零点(2)f (a )·f (b )＜0 f (c ) f (c )＝0 f (a )·f (c )＜0 f (c )·f (b )＜0 基础自测 1．C 解析：注意到f (－1)＝－7＜0，f (0)＝－3＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝11＞0，f (3)＝33＞0，结合各选项知，选C.2．D 解析：依题意，有Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即(m －6)(m ＋2)＞0，解得m ＞6或m ＜－2，选D.3．C 解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )＜0.A ，B 中不存在f (x )＜0，D 中函数不连续，故选C.4. B 解析：函数f(x)=12x －12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数即为方程12x =12x⎛⎫⎪⎝⎭的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y=12x 和函数y =12x⎛⎫⎪⎝⎭的图象，两图象的交点个数即为f (x )=12x －12x⎛⎫⎪⎝⎭的零点个数，如图所示，其零点个数为1.5．1.56 解析：由表中f (1.562 5)＝0.003，f (1.556 2)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.考点探究突破【例1－1】 D 解析：令f (x )＝x cos 2x ＝0，得x ＝0或cos 2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝0或x ＝k π2＋π4，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数为5.【例1－2】 (2,3) 解析：∵Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，∴要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内， 则必有f (2)·f (3)＜0，即(6－3k )·(12－4k )＜0，∴2＜k ＜3. ∴实数k 的取值范围为(2,3)．【例2】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：区间(1,2)的中点x 0＝32， 令f (x )＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4＜0，f (2)＝8－4－1＞0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【例3－1】解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＞0， ∴若实数a 满足条件．则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.【例3－2】解：令F (x )＝0，即log 2(2x －1)－log 2(2x＋1)－m ＝0，∴m ＝log 2(2x －1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.∵1≤x ≤2，∴3≤2x＋1≤5. ∴25≤22x ＋1≤23. ∴13≤1－22x ＋1≤35. ∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 235.演练巩固提升1．A 解析：构造函数y ＝2－x 与y ＝3－x 2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为2.故选A.2．C 解析：∵f (x )是R 上的增函数且图象是连续的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14e ＋4×14－3＝14e －2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14e ＋4×12－3＝12e －1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内存在唯一零点． 3．C 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，得14＜m ＜12. 4．C 解析：由题意知偶函数f (x )的周期T ＝2.在同一坐标系下作出函数f (x )及函数φ(x )＝log 5|x －1|的图象如图所示，结合图象可知函数零点的个数为10，故选C.5．B 解析：由x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0可知：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 又∵x ∈[0，π]时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，可画出f (x )的草图为：对于y ＝f (x )－sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出y ＝sin x 的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.。

志鸿优秀数学教案pdf【篇一：《志鸿优化设计》2014届高考数学人教a版理科一轮复习教学案：导数、导数的计算】第三章导数及其应用 3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．13．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝yx的导数．x4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim→在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0. 2．导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是在区间(a，b)内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′.3．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．4．基本初等函数的导数公式f(x)(3)??g(x)?′＝__________(g(x)≠0)． 6．复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数y＝f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝________，即y′x＝________.132．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝32＋2t，那么速度为32零的时刻是( )．a．0秒 b．1秒末 c．2秒末 d．1秒末和2秒末33．曲线y＝x在点p处的切线的斜率为3，则点p的坐标为( )． a．(－1,1) b．(－1，－1) c．(1,1)或(－1，－1) d．(1，－1) 424．若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )． a．－1 b．－2 c．2 d．045．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________． 6．y＝sin 2x的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数f(x)－31的值为( )．x2x－2a．1 b．2 c．3d．41【例1－2】用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．x方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：【例1－1】已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则lim →请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导【例2】求下列函数的导数： (1)y＝(2x－3)2； (2)y＝tan x；(3)y＝x＋2x＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2 三、导数的几何意义14【例3】已知曲线y3＋33(1)求曲线在点p(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点p(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．方法提炼1．求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率； (2)由切点(x0，f(x0))和斜率f′(x0)，用点斜式写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.2．求曲线y＝f(x)过点p(x0，y0)的切线方程??y1＝f(x1)，可设切点为(x1，y1)，由?解出x1，进而确定过点p的切线方程为 ?y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)?y－y0＝f′(x1)(x－x0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分15【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋－9都相切，则a等于4( )．2521a．－1或－ b．－1或6447257c．－或－ d．－746443解析：因为点(1,0)不在曲线y＝x上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线15与曲线y＝ax2＋x－9相切求a的值．32设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，即y＝33x20x－2x0.3又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.21525当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2－9相切可得a＝－4643272715当x0y－与y＝ax2＋－9相切可得a＝－1，所以选a.2444答案：a 答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f(x)为可导函数，且满足lim →x0f(1)－f(1－2x)1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的2x切线斜率为( )．a．2 b．－1c．1 d．－2 2．y＝cos(x2＋3)的导数y′＝__________.3．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．14．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋b(a＞0)． ax(1)求f(x)的最小值；3(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝，求a，b的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．lim2．f′(x)3．y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)－4．nxn1 cos x －sin x axln a(a＞0)132．d 解析：∵s＝t3－t2＋2t，32∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.4．b 解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 5．4x－y－3＝0 解析：设切点为(x0，y0)，y′＝4x3,4x03＝4，∴x0＝1.∴y0＝1.∴l的方程为4x－y－3＝0. 6．y′＝2cos 2x考点探究突破f(x)－3则lim 1 x→2x－2＝lim 1＝f′(2)＋1＝2＋1＝3.11＝【篇二：【志鸿优化设计】(湖南专用)2014届高考数学一轮复习选考部分选修4—5不等式选讲教学案理】选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．含____________的不等式叫作绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：??fx(1)分段讨论：根据|f(x)|＝??－f?，fx≥0，x，fx0去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax＋b|≤c(c＞0)?________； |ax＋b|≥c(c＞0)?__________.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉．．．绝对值符号．3．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a －c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当__________时，等号成立．5．|x－a|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的______． 6．形如|x－a|＋|x－b|≥c(a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图像求解．|a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0； |a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0；注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0.同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0. 1．(2012天津高考)集合a＝{x∈r||x－2|≤5} 中的最小整数为__________． 2．若存在实数x满足|x－3|＋|x－m|＜5，则实数m的取值范围为__________．3．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a的值为__________．?14．若不等式?x＋＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是?x?__________．5．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，f(x)＞2的解集为__________；若不等式a＞f(x)有解，则实数a的取值范围是__________．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】已知f(x)＝|ax＋1|(a∈r)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，则a＝__________；若?f???x??x－2f ??≤k恒成立，则k的取值范围是__________． 2 ???方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图像法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．请做演练巩固提升1二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，若a＝－1，则不等式f(x)≥3的解集为__________；若f(x)≥2，则a的取值范围是__________．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x－a|＋|x－b|≥c的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图像法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x－a|≥c(c＞0)表示数轴上到点a的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x－a|＜c(c＞0)表示数轴上到点a的距离小于c的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升2三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图像解不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|，则不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为_______．方法提炼1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和不小于c的点的集合；反之，不等式|x－a|＋|x－b|＜c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和小于c的点的集合．2．构造形如f(x)＝|x－a|＋|x－b|的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图像求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升3等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，不等式f(x)≥3的解集为__________；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，则a的取值范围为__________．－2x＋5，x≤2，??解析：(1)当a＝－3时，f(x)＝?1，2x3，??2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ?4－x－(2－x)≥|x＋a| ?－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．答案：(1){x|x≤1或x≥4} (2)[－3,0]答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)≤|x－4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2]?[－2－a,2－a]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．设集合a＝{x||x－a|＜1，x∈r}，b＝{x||x－b|＞2，x∈r}．若a?b，则实数a，b满足的绝对值不等式是__________．2．(2012陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是______________．3．对于x∈r，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．4．设不等式|2x－1|＜1的解集为m，则集合m＝__________，若a，b∈m，则ab＋1与a＋b的大小关系是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c≤ax＋b≤c ax＋b≤－c或ax＋b≥c 3．ab≥04．(a－b)(b－c)≥0 5．距离 7．|a|＋|b| 基础自测1．－3 解析：∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5，∴－3≤x≤7，∴集合a中的最小整数为－3.2．(－2,8) 解析：存在实数x满足|x－3|＋|x－m|＜5?(|x－3|＋|x－m|)min＜5，即|m－3|＜5，解得－2＜m＜8.3．2 解析：由题意，知f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.?14．(1,3) 解析：∵?x＋≥2，?x?∴|a－2|＋1＜2，即|a－2|＜1，解得1＜a＜3.??5?95.?x?x－7或x? a＞－3?2??解析：原不等式等价于1??x≤－2???－(2x＋1)＋(x－4)21??x≤4，或?2??(2x＋1)＋(x－4)2??x4，或???(2x＋1)－(x－4)2.5解得x＜－7x≤4或x＞4.35所以原不等式的解集为{x|x＜－7或x＞}．3由题意知a＞f(x)min，??1又f(x)＝?3x－3，－x≤4，2??x＋5，x4.1－x－5，x≤－29?1所以f(x)min＝f －＝－. 2?2?9所以a＞－2考点探究突破【例1】2 k≥1 解析：由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．42当a＞0x≤，得a＝2.aa记h(x)＝f(x)－2f ?，?2??x??1?－4x－3，－1x－，2则h(x)＝?1－1，x≥－，??21，x≤－1，所以|h(x)|≤1，因此k≥1. ??33?【例2】?x?x≤－或x≥? (－∞，1]∪[3，＋∞)22???解析：当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，??33?(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为?x?x≤－或x≥? 22????x≤－1，?(方法二)不等式可化为???－2x≥3.?－1x≤1，?或???2≥3或??x1，???2x≥3.??33?所以不等式的解集为?x?x≤－x≥?22???.若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；－2x＋a＋1，x≤a，??若a＜1，f(x)＝?1－a，ax1，??2x－(a＋1)，x≥1，－2x＋a＋1，x≤1，??若a＞1，f(x)＝?a－1，1xa，??2x－(a＋1)，x≥a.f(x)的最小值为1－a；f(x)的最小值为a－1.所以对于任意的x∈r，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．4，x≤4，??【例3】 {x|x＜5} 解析：f(x)＝?－2x＋12，4x≤8，??－4，x8.图像如下：不等式|x－8|－|x－4|＞2，即f(x)＞2，由－2x＋12＝2得x＝5.【篇三：新课标(人教版a)高中数学必修5】。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxk A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是 A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e - D ．1(,)e e- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 12．如图，已知,AB BC 是O 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． 求至少有一种新产品研发成功的概率； 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ 求cos CAD ∠的值； 若721cos ,sin ,146BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分） 如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形． 证明：1;O O ABCD ⊥底面若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； 若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =-求12,C C 的方程；过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科参考答案 一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=- ,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2xe x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a -+->ln ln a e a e ⇒<⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l的距离0d =,所以圆心在直线l上,故1y x =-2sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则2BD DC ==,由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒= ,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+. 【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s,s i n 0,2θθθπ+∈,则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++ ()82cos 3sin θθ=++,因为cos 3sin θθ+的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为1223=,故填23.【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:ξ0 120 100 220 ()P ξ215 41515 25则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) 27cos 7CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠= 174217+-=⨯⨯277=,所以27cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得sin BAD ∠=21891cos 14BAD -∠=且221sin 1cos 7CAD CAD ∠=-∠=,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠18927217147714⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=333714+37=,再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠737216BC ⇒=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O == ,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2)25719【解析】(1)证明: 四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等 ∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,AC BD O AC B D O == ∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形 ∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又 AC BD O = 且,AC BD ⊆底面ABCD 1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D 又11O C ⊆ 面1111A B C D 111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形 1111O C O B ∴⊥ 又111OC OO ⊥ 且1111OO O C O = ,111,O O O B ⊆面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D 又1B O ⊆ 面1OB D 111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥ 且1111O C O E O = ,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠= 060CBA ∠= 且四边形ABCD 为菱形 11O C a ∴=,113,BO a =22111112,7OO a B O B O OO a ==+=, 则1111111112221sin 377O O a O E B O O B O B O a a B O a=∠===再由11O EC ∆的勾股定理可得22221111121977EC O E O C a a a =+=+=, 则1111cos O E O EC EC ∠=221257719197a a ==,所以二面角11C OB D --的余弦值为25719. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;(2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n nn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a +-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-= ,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+-- 22141332m m a -⇒=+ .当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=- ,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2122211111111224224113321144m m m ---=-=--- 21241332m m a +=- ,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数. 【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =-. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得2212221,1b b e e a a=-=+,且22122F F a b =-,因为1232e e =,且222224F F a b a b =+--,所以22223112b b a a -+= 且222231a b a b +--=-2a b ⇒=且1,2b a ==,所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22m n y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222M n AB e x n =+=++()224212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为2222228282,,,4444n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,则点,P Q 到直线AB 的距离为22212281441n n n nd n +---=+ ,22222281441n n n nd n -----=+ ,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()222221222222282244411n n n n n n d d n n ++---+==++ ,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= 22184n n +-25814n =--,因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12x f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,()()21'0a a f x x a-=⇒=±,则()21a a a --1a >-⇒ 12a ≠,则()21a a a-±为函数()f x 的两个极值点, ()()()()()12ln 121ln 12141f x f x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+=+-+--+-⎣⎦⎣⎦()()ln 14141a a a a =--+-⎡⎤⎣⎦,因为112a <<或102a <<,则()1012a a <-<,则设()1t a a =-102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则()()()212ln 144f x f x t t +=-+,设函数()()2ln 144g x x x =-+102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭, 后续有待更新!!! 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数。

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)．②互逆或互否的两个命题__________．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的__________，q是p的__________．(2)如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的__________，记作__________．1．若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的( )．A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．不等价命题2．(2012湖北襄阳五中第一次适应性考试)已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】 (2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则pB ．若⌝p ，则⌝qC ．若⌝q ，则⌝pD ．若p ，则⌝q【例1－2】 (2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】(2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c”的( )．A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件【例2－2】是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要不充分条件；(3)若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜1.3方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”；前者p是条件，后者q是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】 (12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论． 规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分) ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分) 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面α B ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3 C ．l 1平行于l 2所在的平面 D ．l 1⊥平面α，l 2⊥平面α4．(2012湖北武汉华师一附中五月适应性考试)已知f (x )＝3x ＋1(x ∈R )，若|f (x )－4|＜a 的充分条件是|x －1|＜b (a ，b ＞0)，则a ，b 之间的关系是( )．A ．a ≤b 3B ．b ≤a 3C ．b ＞a3D ．a ＞b35．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题 2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价 3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件p ⇔q基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：由题意得，原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题．而原命题的逆命题：“若|a |＝|b |，则a ＝b ”则为假命题，所以原命题的否命题也为假命题，所以真命题的个数为2，故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．B 解析：由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m ＞0，n ＞0，m ≠n ， 所以m ＞0，n ＞0且m ≠n ⇒mn ＞0. 而显然mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1－1】 A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】 C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】 A 解析：1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c2＋a ＋c 2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件． 【例3】 证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：由题意知：|f (x )－4|＝|3x －3|＜a ⇒－a 3＋1＜x ＜a3＋1.又|x －1|＜b ⇒－b ＋1＜x ＜b ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a3＋1≤－b ＋1，a3＋1≥b ＋1，解得b ≤a3，故选B.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数． 又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．逻辑联结词：命题中的__________叫做逻辑联结词．2．命题p∧q，p∨q真假的判断3．命题⌝p4(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号____表示．含有全称量词的命题，叫做__________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号________表示．含有存在量词的命题，叫做________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．1．命题p：x2＋y2＜0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( )．A．p∨q B．p∧qC．q D．⌝p2．(2012安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )．A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则⌝p为( )．A．∃x∈R，sin x≥1 B．∀x∈R，sin x≥1C．∃x∈R，sin x＞1 D．∀x∈R，sin x＞1一、判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1－1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题．其中正确的是( )．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【例1－2】写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“⌝p”形式的命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．方法提炼1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假3．与日常生活中的“或、且、非”的对照：逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”的意义不相同，日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”之意，而常用逻辑联结词的“或”允许“兼有”，但不是“一定兼有”；逻辑联结词“且”，与日常生活语言中的“和、与”意义相同，具有“兼有性”；逻辑联结词“非”就是日常生活语言中的“否定”，具有“否定性”．请做演练巩固提升3二、全(特)称命题的否定及真假判断【例2】下列命题中的假命题是( )．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2方法提炼1．要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举出一个反例)．2．要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题．3．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．要注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．4．要判断“⌝p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与⌝p的真假相反．5．常见词语的否定形式有：三、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．方法提炼含有逻辑联结词的命题，要先确定构成命题的一个或两个命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．对于不等式恒成立问题与方程的根有关的问题，要多结合函数的图象，常用的方法有分离参数法、判别式法等．请做演练巩固提升4对联结词否定不当致误【典例】“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )． A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0 B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0 C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0 D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0错解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0”，故选A. 正解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”． 答案：B 答题指导：1．对于含有“或”“且”的否定形式要注意在否定语句的同时，也要否定关键词． 2．(1)要注意区分命题的否定与否命题，关键是要看清题意，不能想当然．(2)对平时常见的“不都是”、“都是”、“不全是”、“都不是”等字眼要做一下积累和区分，方可保证考试中不犯错误．1．(2012湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )． A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．下列命题中，真命题是( )．A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.下列结论中正确的是( )．A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(⌝q )”是真命题C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题D ．命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题4．已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是__________．5．已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．“或”“且”“非”2．真真假真假真假假3．假真4．(1)全称量词“∀”全称命题∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，⌝p(x0) (2)存在量词“∃”特称命题∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，⌝p(x)基础自测1．B 解析：命题p为假，命题q为真，故p∧q为假．2．C 解析：该命题为特称命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．3．B 解析：“⌝(p∨q)”是假命题，则命题“p∨q”为真，所以p，q中至少有一个为真命题．4．C 解析：全称命题的否定为特称命题，sin x≤1的否定为sin x＞1，故选C.考点探究突破【例1－1】 D 解析：命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题，故应选D.【例1－2】解：(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．⌝p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．⌝p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．⌝p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．【例2】 B 解析：对于∀x∈R，x－1∈R，此时2x－1＞0成立，∴A是真命题；又∵(x－1)2＞0⇔x∈R且x≠1，而1∈N*，∴B是假命题；又∵lg x ＜1⇔0＜x ＜10， ∴C 是真命题；又∵y ＝tan x 的值域为R ， ∴D 是真命题，故选B.【例3】 解：由“p ∧q ”是真命题， 则p 为真命题，q 也为真命题． 若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1. 演练巩固提升1．B 解析：该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．B 解析：对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题是假命题；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题是真命题；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题是假命题；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然是假命题，故选B. 3．C 解析：由sin x ＝52＞1，可得命题p 为假；由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，可得命题q 为真，则命题“p ∧q ”是假命题；命题“p ∧(⌝q )”是假命题；命题“(⌝p )∧q ”是真命题；命题“(⌝p )∨(⌝q )”是真命题．4．[－1,2] 解析：令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．5．解：p 为真时，(a －2)(6－a )＞0，解得2＜a ＜6.q 为真时，4－a ＞1，解得a ＜3.由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知命题p，q中一真一假．当p真，q假时，得3≤a＜6.当p假，q真时，得a≤2.因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．。

《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．6对数与对数函数常用对数 底数为__________自然对数 底数为__________3．对数的运算(1)对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________；②log a M N ＝__________；③log a M n ＝______(n ∈R)．(2)换底公式log a b ＝______________________.4．对数函数的图象和性质(1)对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象性 质[来源:1] 定义域：__________[来源:1][来源:1ZXXK] 值域：______ 过定点______，即x ＝1时，y ＝______单调性：在(0，＋∞)上是______ 单调性：在(0，＋∞)上是______当0＜x ＜1时，y ∈______；当x ＞1时，y ∈______ 当0＜x ＜1时，y∈______；当x ＞1时，y ∈______ 5．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n ；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ； ⑤log a x n ＝log a n x ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y. 其中正确的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．函数y ＝2－x lg x的定义域是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2}3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )．A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞14．(2019安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A.14 B.12C ．2D ．45．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________．一、对数式的化简与求值【例1－1】 若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝__________.【例1－2】 (2019北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log ma N n ＝n m log a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2－1】已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为__________．【例2－2】已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．方法提炼1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法：(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；(2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；(3)分别求出两函数的单调区间；(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．2．图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系可按下列规律进行记忆：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3－1】(2019上海高考改编)已知f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．【例3－2】 已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．方法提炼1．求f (a )＋f (－a )的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．2．求形如f (2 014)，f (2 013)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】 已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315⎛⎫ ⎪⎝⎭，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：c ＝3log 0.315⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3log 0.35-＝310log 35，log 2 3.4＞log 2 2＝1，log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3 103＞log 3 3＝1， 又log 2 3.4＞log 2 103＞log 3 103， ∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6. 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b .答案：C答题指导：通过高考阅卷的数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示及备考建议：1．本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较．(2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．2．通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意：(1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．1．(2019重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c2．函数f (x )＝2|log |2x 的图象大致是( )．3．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为__________． 4．已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log x y 的值为__________．5．已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理 1．a b ＝N (a ＞0，且a ≠1) b ＝log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N2．log a N 10 lg N e ln N3．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M (2)log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)4．(1)log a x (a ＞0，且a ≠1) (2)(0，＋∞) R (1,0) 0 增函数 减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0)5．y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)基础自测1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确．2．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，x >0，x ≠1，得0＜x ＜1或1＜x ≤2. 3．D 解析：由0＜log a 2＜log b 2知，a ，b 均大于1.又log 2a ＞log 2b ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.4．D 解析：原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4. 5．(2,2)考点探究突破【例1－1】 829解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝2log 34＋2log 34 ＝9＋19＝829. 【例1－2】 2 解析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.【例2－1】4 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.【例2－2】解：(1)由a x －1＞0，得a x ＞1. 当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则1＜1x a ＜2x a ，故0＜1x a －1＜2x a －1， ∴log a (1x a －1)＜log a (2x a －1)． ∴f (x 1)＜f (x 2)．故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【例3－1】解：(1)由⎩⎨⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2x x ＋1＜10. 因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23＜x ＜13. (2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．【例3－2】 解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x， f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x， ＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )． 即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 014＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x在(－1,1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a. 演练巩固提升1．B 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.2．C 解析：∵f (x )＝2|log |2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C. 3．0 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f (2 014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0. 4．2 解析：依题意，可得lg(xy ) ＝lg (2x －3y )2，即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋9＝0， 解得x y ＝1或x y ＝94. ∵x ＞0，y ＞0,2x －3y ＞0，∴x y ＝94，∴32log x y ＝2. 5．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1＜x ＜1. 故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，所以f(x)＞0 x＋11－x＞1.解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．。

《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．4一次函数、二次函数奇偶性当b≠0时，__________；当b＝0时，__________当b≠0时，__________；当b＝0时，______周期性非周期函数非周期函数顶点____________对称性过原点时，关于____对称k＝0时，关于____对称图象关于直线________成轴对称图形2．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝______________；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝______________；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝______________.1．在同一坐标系内，函数y＝x a(a＜0)和y＝ax＋1a的图象可能是如图中的()．2．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的()．A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是_____．4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝__________.5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．一、一次函数的概念与性质的应用【例1－1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)＝__________.【例1－2】已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，(1)这个函数为正比例函数；(2)这个函数为一次函数；(3)函数值y随x的增大而减小．方法提炼一次函数y＝kx＋b中斜率k与截距b的认识：一次函数y＝kx＋b中的k满足k≠0这一条件，当k＝0时，函数y＝b，它不再是一次函数，通常称为常数函数，它的图象是一条与x轴平行或重合的直线．请做演练巩固提升3二、求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．方法提炼在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式．提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当，引入的系数过多，会加大运算量，易出错．请做演练巩固提升2三、二次函数的综合应用【例3－1】设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是()．A．①④B．①③C．①②③D．②④【例3－2】 (2019北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是__________．方法提炼1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与各系数间的关系：(1)a 与抛物线的开口方向有关；(2)c 与抛物线在y 轴上的截距有关；(3)－b 2a与抛物线的对称轴有关； (4)b 2－4ac 与抛物线与x 轴交点的个数有关．2．关于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)在R 上的恒成立问题：解集为R ⇔⎩⎨⎧ a >0，Δ<0或⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫解集为R ⇔⎩⎨⎧ a <0，Δ<0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0. 请做演练巩固提升5分类讨论思想在二次函数中的应用 【典例】(12分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．分析：(1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可．(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准．规范解答：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a ＞0，即a ＜0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(3分)(2)记f (x )的最小值为g (a )，则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 32＋2a 23，x >a ，(x ＋a )2－2a 2，x ≤a . ①②(5分)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.当a ＜0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3＝23a 2，若x ＞a ， 则由①知f (x )≥23a 2.若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2. 此时g (a )＝23a 2， 综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a 23，a <0.(9分) (3)①当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)；②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； ③当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.(12分) 答题指导：1．分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法．2．在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．3．解决函数问题时，以下几点容易造成失分：(1)含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；(2)分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；(3)解一元二次不等式时，不能与二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻．4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值4ac－b24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b2a＜k1；②k1≤－b2a＜k1＋k22；③k1＋k22≤－b2a＜k2；④－b2a≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝()．A．x2＋x B．x2－x＋1C．x2＋x－1 D．x2－x－13．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)＝__________.4．(2019重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.5．函数f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R 上恒成立，则a的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．R R R ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 增函数 减函数 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 原点 y 轴 x ＝－b 2a2．(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)基础自测1．B 2.B3．[25，＋∞) 解析：由题意知m 8≤－2， ∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.4．2 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数，f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，即b 2－2b ＋2＝b .∴b 2－3b ＋2＝0.∴b ＝2或b ＝1(舍)．5．5 解析：由题意知－a ＋22＝1， 解得a ＝－4，∴b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，当x ∈[－4,6]时，f (x )min ＝5.考点探究突破【例1－1】 2x ＋7 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝3k (x ＋1)＋3b －2k (x －1)－2b＝kx ＋5k ＋b ，由题意得，kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，∴⎩⎨⎧ k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 【例1－2】 解：(1)当⎩⎨⎧2m －1≠0，1－3m ＝0，即m ＝13时，函数为正比例函数． (2)当2m －1≠0，即m ≠12时，函数为一次函数．(3)当2m －1＜0，即m ＜12时，函数为减函数，y 随x 的增大而减小．【例2】 解：依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a ＜0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a .而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋15a ＝2－90a ， ∴2－90a ＝17，则a ＝－6.∴f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.【例3－1】 C 解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数，排除D ；b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x ＜0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，只有一个实数根，排除A ，B ，故选C.【例3－2】 (－4,0) 解析：由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立．(1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，画出图象①，显然满足条件；(2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧－1<m <0，2m <1，解得－1＜m ＜0，如图②；(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧m <－1，－(m ＋3)<1，解得－4＜m ＜－1，如图②.综上可知，m 的取值范围为(－4,0)． 演练巩固提升1．C2．B 解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋(a ＋b )＝2x .∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1，故选B. 3.3x ＋3－1或－3x －3－1 解析：令f (x )＝ax ＋b ，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝3x ＋2. ∴⎩⎨⎧ a 2＝3，ab ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3－1或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－3－1. ∴f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－1.4．4 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝x 2＋(4－a )x －4a ＝x 2＋(a －4)x －4a ，a －4＝4－a ，a ＝4.5．－4＜a ≤0 解析：当a ＝0时，f (x )＝－1＜0，当a ≠0时，若f (x )＜0在R 上恒成立，则有⎩⎨⎧ a <0，Δ＝a 2＋4a <0，即－4＜a ＜0. 综上得－4＜a ≤0.。

阶段检测六 计数原理 概率与统计 算法初步推理与证明 复数(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2012某某高考)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( )． A ．21 B ．28 C ．35 D ．423．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．－3B ．－12C ．13D ．24．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )．A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 5．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n 等于( )．A ．80B ．90C ．100D ．1106．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 3787．一堆除颜色外其他特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于( )．A ．13B ．12C ．1423D ．16238．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )．A.1140B.1105C.160D.142二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．将答案填在题中横线上)9．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．10．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．11．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为__________．图1图212．对共有10人的一个数学小组做一次数学测验，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得513．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为______．14．(2012西城模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝__________.15．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝__________.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)已知集合A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}(其中i 是虚数单位)，集合B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，某某数a 的值．17．(12分)(2012西工大附中高三模拟)有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5.同时投掷这两枚玩具一次，记n 为两个朝下的面上的数字之和．(1)求事件“n 不大于6”的概率；(2)“n 为奇数”的概率和“n 为偶数”的概率是不是相等？证明你的结论．18．(12分)为了解课外体育活动在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．19．(13分)下面是某乡镇二手房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋的面积x (单位：m 2)的数据：(1)(2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．20．(13分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负实数根． 21．(13分)(2012某某某某一模)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[40,45)岁、[45,50)岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%.请完成以下问题：(1)求[40,45)岁与[45,50)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加“网络时尚达人”大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．参考答案1．A 解析：z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝i －i 22＝1＋i 2＝12＋12i ，对应的点位于第一象限．2．A 解析：含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝C 27x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21.3．D 解析：由程序框图可知i ＝0，S ＝2→i ＝1，S ＝13→i ＝2，S ＝－12→i ＝3，S ＝－3→i ＝4，S ＝2，循环终止，输出S ，故最终输出的S 值为2.4．D 解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.5．C 解析：设第1个小长方形的面积为S ，则4个小长方形的面积之和为4S ＋4×32×0.1，由题意知，4S ＋4×32×0.1＝1，∴S ＝0.1.又10n＝0.1，∴n ＝100.6．C 解析：观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1， a 2＝a 1＋2， a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 7．C 解析：设白球x 个，红球y 个， 则2x ＋3y ＝60.∵x ＜y ＜2x ，∴3x ＜3y ＜6x . ∴5x ＜2x ＋3y ＜8x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧5x <60，8x >60.∴608＜x ＜12.又x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11.又y ∈N *，易知，x ＝9时，y ＝14，适合．∴取到红球的概率为1414＋9＝1423. 8．A 解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.9．18 解析：设老年职工为x 人，则430－3x ＝160，x ＝90，设抽取的样本为m ，则160430m ＝32，m ＝86，则抽取样本中老年职工人数为90430×86＝18(人)．10.35解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 11．3% 解析：由题图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.12．42分 解析：由题意分析，知得50分的有2人，得45分的有2人，得40分的有4人，得35分的有2人，则平均成绩为50×2＋45×2＋40×4＋35×210＝42(分)．13.2914．－2 解析：因为x ＝1－i 1＋i ＝(1－i)22＝－i ，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2.15.a 2＋b 2＋c 22解析：(构造法)通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．16．解：∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A .∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.17．解：因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等．所有出现的可能情况共16种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)．(1)事件“n 大于6”包含(2,5)，(3,5)，(5,2)，(5,3)，(5,5)共5个基本事件，所以P (n ≤6)＝1－516＝1116；(2)“n 为奇数”的概率和“n 为偶数”的概率不相等． n 为奇数的概率为P (n ＝3)＋P (n ＝5)＋P (n ＝7)＝216＋216＋216＝38.n 为偶数的概率为1－38＝58，所以这两个概率不相等．18．解：(1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本事件有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．事件A 包括的基本事件有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件．所以所求的概率为P (A )＝715.19．解：(1)x ＝15(115＋110＋80＋135＋105)＝109，y ＝15(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2，设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15(x i －x)(y i －y )∑i ＝15(x i －x)2＝3081 570≈0.196 2， ∴a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×3081 570≈1.816 6，∴所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6.(2)由(1)可知，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．20．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，21x x a-＞1，且1xa ＞0，所以2xa －1xa ＝1xa (2xa －x 1－1)＞0， 又因为x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)＞0，于是f (x 2)－f (x 1)＝2x a －1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则0xa ＝－x 0－2x 0＋1. 又0＜0xa ＜1，所以0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2， 与x 0＜0(x 0≠－1)假设矛盾，故f (x )＝0没有负实数根．21．解：(1)由频率分布直方图可知，[40,45)岁的频率为0.03×5＝0.15， 所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.15×40%＝60；[45,50)岁的频率为0.02×5＝0.1，所以该组中“时尚族”人数为1 000×0.1×30%＝30.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60∶30＝2∶1， 所以采用分层抽样法抽取9人，[40,45)岁中有6人，[45,50)岁中有3人． 随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 03C 39＝521，所以随机变量XE (X )＝0×184＋1×314＋2×28＋3×21＝2.。