河南省驻马店市2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

河南省驻马店市驿城区驻马店市第二初级中学2023-2024学年八年级上学期12月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．已知=2{=1x y 是二元一次方程组+=8{ =1mx ny nx my -的解，则2m n -的算术平方根为（±2B ．22．如图，直线3y x =-+与y mx n =+交点的横坐标为1，则关于x 、组3x y mx y n +=⎧⎨-+=⎩的解为（）A ．13x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩7．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E 的坐标为(),2n m ，其关于y 轴对称的点F 的坐标为()4,1n m -+，则()2023m n -的值为（）A ．20233B ．1-C ．1D ．08．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则a b +的值是（）A ．7B ．6C ．5D ．49．如图，点A ，B ，C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．()2022,1B ．()2023,1二、填空题11．比较大小：10232（填“＞12．已知函数()211m y m x =-+是一次函数，则13．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，则点C 的坐标为．14．如图，Rt ABC △中，C ∠15．如图，在长方形ABCD 中，AB 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，当三、解答题16．计算：(1)()()221512382----+⨯(2)()()202333112278⎛-+-⨯+-⨯- ⎝(3)32101123x y x y +=⎧⎪+⎨=+⎪⎩．17．如图，在平面直角坐标系中，()4,2-．ABC 与EFG 关于x 轴对称，点A ，B ，C 的对称点分别为点E ，F ，G ．(1)请在图中作出EFG ，并写出点E ，F ，G 的坐标；(2)若点()2,2M m n +-是ABC 的边上一点，其关于x 轴的对称点为()1,2M n m '-，求m ，n 的值．18．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架8AC =，6AB =，两轮中心的距离10BC =，滚轮半径2r =．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)若购物车上篮子的左边缘D 与点A 的距离13AD =，5AE =，且AE DE ⊥，AE 和BC 都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D 到地面的距离．19．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：9-，4-，1-这三个数，其结果6，3，2都是整数，所以1-，4-，9-这三个数称为“完美组合数”．(1)18-，8-，2-这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．(2)若三个数3-，m ，12-是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m 的值．20．如图，在平面直角坐标系中，已知()1,0A -，()3,0B ．若存在一点()()2,0M m m -<，(1)点M 到x 轴距离______，到y 轴距离______，求ABM 的面积（用含m 的式子表示）；(2)当2m =-时，在y 轴上有一点P ，使得MOP △的面积等于ABM 的面积，请求出点P 的坐标．21．某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品a 件，两种商品销售完后可获总利润为w 元，如果购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．22．直线AB ：y x b =-+分别与x ，y 轴交于()8,0A 、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且:4:3OB OC =．(1)求点B 的坐标为__________；(2)求直线BC 的解析式；(3)动点M 从C 出发沿射线CA 方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M 运动t 秒时，当t 为何值时BCM 为等腰三角形．（请直接写出t 的值）。

2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．1．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →2．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）3．如图所示，三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OM →=3MA →，BN →=NC →，则MN →=（ ）A ．14a →+13b →+13c → B ．−14a →+13b →+13c → C ．−34a →+12b →+12c →D ．34a →+12b →+12c →4．已知方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．(−1，12)∪(12，2)C ．(−1，12)D ．(12，2)5．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣26．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．67．设直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．[0，π] B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]8．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．√3010B ．12C ．√3015D ．√1510二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知空间向量a →，b →，c →，下列命题中不正确的是（ ） A ．若向量a →，b →共线，则向量a →，b →所在的直线平行B ．若向量a →，b →所在的直线为异面直线，则向量a →，b →一定不共面 C ．若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得x a →+y b →+z c →=0→，则a →，b →，c →共面 D ．对于空间的任意一个向量p →，总存在实数x ，y ，z 使得p →=x a →+y b →+z c →10．已知直线l ：（a +2）x ﹣y +2a ﹣3＝0在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍，则a 的值可能是（ ） A ．−52B ．0C ．32D ．﹣211．已知直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，则m 的取值可能是（ ） A ．13B ．23C ．1D ．4312．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线FC 1与底面ABCD 所成的角为30°B ．平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C ．直线FC 1与直线AE 的距离为√305D ．直线FC 1与平面AB 1E 的距离为13三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，则|OB →|= ．14．已知两条平行直线l 1：2x ﹣7y ﹣8＝0，l 2：6x ﹣21y ﹣1＝0，则l 1与l 2间的距离为 ． 15．圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =13．若P 是椭圆上任意一点，A 是椭圆的右顶点，则△PF 1F 2的周长为 ，PF →•PA →的最大值为 ．四、解答题：共6小题，共计70分17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆x 22+y 2＝1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A （2，−√22），B （−√2，−√32）两点． 18．（12分）经过椭圆x 22+y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．19．（12分）如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．20．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5，边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0， （1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m 的值以及最短长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角B ﹣A 1D ﹣B 1的平面角的正切值．2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．1．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．2．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．3．如图所示，三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OM →=3MA →，BN →=NC →，则MN →=（ ）A ．14a →+13b →+13c →B ．−14a →+13b →+13c →C ．−34a →+12b →+12c →D ．34a →+12b →+12c →解：∵OM →=3MA →，BN →=NC →，∴MN →=ON →−OM →，ON →=12（OB →+OC →），∴MN →=12(b →+c →)−34a →．故选：C ． 4．已知方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．(−1，12)∪(12，2)C ．(−1，12) D ．(12，2)解：根据题意，方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则{2−m ＞0m +1＞02−m ≠m +1，解可得：﹣1＜m ＜2，且m ≠12，故m 的取值范围为（﹣1，12）∪（12，2）； 故选：B ．5．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣2解：∵直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，l 1∥l 2， ∴2a =a−13≠−11，∴a ＝3，故选：A ．6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6解：F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号， 所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9． 故选：C ．7．设直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．[0，π] B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]解：直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，设直线的倾斜角为α， ①当sin θ＝0时，α=π2，②当sin θ≠0时，直线的斜率k ＝tan α=1sinθ，所以tan α∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 所以α∈[π4，π2)∪(π2，3π4]， 综上所述：α∈[π4，3π4]； 故选：C ．8．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．√3010B ．12C ．√3015D ．√1510解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图，取BC 的中点为O ，连结OF ，D 1F 1∥B 1C 1，D 1F 1=12B 1C 1，OB ∥B 1C 1，OB =12B 1C 1， 则四边形D 1F 1OB 是平行四边形， ∴BD 1与AF 1所成角就是∠AF 1O ， 由BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则CO ＝1，AO =√5，AF 1=√5，D 1B =√D 1B 12+B 1B 2=√2+4=√6，在△AF 1O 中，由余弦定理，可得cos ∠AF 1O =AF 12+F 1O 2−AO 22AF 1⋅F 1O =5+6−52×√5×√6=√3010， ∴BD 1与AF 1所成角的余弦值是√3010． 故选：A ．二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知空间向量a →，b →，c →，下列命题中不正确的是（ ） A ．若向量a →，b →共线，则向量a →，b →所在的直线平行B ．若向量a →，b →所在的直线为异面直线，则向量a →，b →一定不共面C ．若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得x a →+y b →+z c →=0→，则a →，b →，c →共面 D ．对于空间的任意一个向量p →，总存在实数x ，y ，z 使得p →=x a →+y b →+z c →解：向量a →，b →共线，则a →与b →所在的直线也可能重合，故A 错误；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a →，b →都共面，故B 错误； 实数x ，y 不全为0， 不妨设x ≠0，则a →=(−y x )b →+(−z x)c →，故由共面向量定理知，a →，b →，c →共面，故C 正确； 只有当a →，b →，c →不共面时，空间任意一向量才能表示为得p →=x a →+y b →+z c →，故D 错误． 故选：ABD ．10．已知直线l ：（a +2）x ﹣y +2a ﹣3＝0在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍，则a 的值可能是（ ） A ．−52B ．0C ．32D ．﹣2解：依题意可得a ≠﹣2，当a =32时，直线l 为72x −y =0，此时横纵截距都等于0，满足题意；当a ≠32时，直线l 在x 轴上的截距为3−2a a+2，在y 轴上截距2a ﹣3，则3−2aa+2=2×(2a −3)，得a =−52或a =32（舍去）． 综上所述，a 的值为−52或32． 故选：AC ．11．已知直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，则m 的取值可能是（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43解：由直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0可知恒过定点A （﹣2，﹣1）， 曲线y =√1−x 2表示x 2+y 2＝1（y ≥0），即圆的上半圆， 作出图形如图所示：而直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0，与上半个圆相切于B 时，有一个交点，此时√1+m 2=1，解得m =43，直线夹在CD 直接时，直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，C （﹣1，0），D （1，0）， 所以：0+11+2≤m ＜0+1−1+2，即m ∈[13，1），故选：ABD ．12．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线FC 1与底面ABCD 所成的角为30°B ．平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C ．直线FC 1与直线AE 的距离为√305D ．直线FC 1与平面AB 1E 的距离为13解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 对于A ，F （1，1，12），C 1（0，1，1），FC 1→=（﹣1，0，12），平面ABCD 的法向量AA 1→=（0，0，1）， 设直线FC 1与底面ABCD 所成的角为θ，则sin θ=|AA 1→⋅FC 1→||AA 1→|⋅|FC 1→|=12√54=√55，∴直线FC 1与底面ABCD 所成的角为arcsin√55，故A 错误； 对于B ，A （1，0，0），B 1（1，1，1），E （0，0，12），AB 1→=（0，1，1），AE →=（﹣1，0，12），设平面AB 1E 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB 1→=y +z =0n →⋅AE →=−x +12z =0，取z ＝2，得n →=（1，﹣2，2）， 设平面AB 1E 与底面ABCD 夹角为α，则cos α=|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|=23，∴平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23，故B 正确；对于C ，FC 1→=（﹣1，0，12），AE →=（﹣1，0，12），FE →=（﹣1，﹣1，0），∴直线FC 1与直线AE 的距离为： d ＝|FE →|•√1−(|FC 1→⋅FE →||FC 1→|⋅|FE →|)2=√2⋅√1−(√54⋅2)2=√305，故C 正确；对于D ，∵FC 1∥AE ，AE ⊂平面AB 1E ，FC 1⊄平面AB 1E ，∴FC 1∥平面AB 1E ，又AF →=（0，1，12），平面AB 1E 的法向量n →=（1，﹣2，2），∴直线FC 1与平面AB 1E 的距离为：h =|AF →⋅n →||n →|=19=13，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，则|OB →|= 5 ． 解：∵点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影， ∴B （3，4，0），则|OB →|=√33+42+02=5． 故答案为：5．14．已知两条平行直线l 1：2x ﹣7y ﹣8＝0，l 2：6x ﹣21y ﹣1＝0，则l 1与l 2间的距离为23159√53．解：因为l 1即为6x ﹣21y ﹣24＝0， 所以l 1与l 2间的距离d =|−24−(−1)|√6+21=23477=23√9×53=23159√53． 故答案为：23159√53．15．圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为 2√2 ． 解：圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的方程相减得：x ﹣y +2＝0， 由圆x 2+y 2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r 为2， 且圆心（0，0）到直线x ﹣y +2＝0的距离d =|0−0+2|√2=√2， 则公共弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2． 故答案为：2√2． 16．已知椭圆x 2a 2+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =13．若P 是椭圆上任意一点，A 是椭圆的右顶点，则△PF 1F 2的周长为 8 ，PF →•PA →的最大值为 12 ． 解：因为椭圆x 2a 2+y 28=1的离心率e =13，所以c a=13，又b 2＝8，即b =2√2，所以a ＝3，c ＝1． 所以x 29+y 28=1，F 1（﹣1，0），A （3，0），△PF 1F 2＝2a +2c ＝8，设椭圆上的一点P （x ，y ），则PF 1→⋅PA →=(−1−x ，−y)⋅(3−x ，−y)=19(x −9)2−4， 所以当x ＝﹣3时，PF 1→⋅PA →取得最大值12， 故答案为：8；12．四、解答题：共6小题，共计70分17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆x 22+y 2＝1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A （2，−√22），B （−√2，−√32）两点．解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为：x 2m+y 2m−1=1(m ＞1)，代入点（1，32），解得m ＝4或14（舍），所以所求椭圆方程为：x 24+y 23=1， （2）设所求的椭圆方程为：x 2m+y 2n=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，代入已知两点可得：{ 4m+12n =12m +34n =1，解得m ＝8，n ＝1， 故所求的椭圆方程为：x 28+y 2=1． 18．（12分）经过椭圆x 22+y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．解：∵椭圆方程为x 22+y 2＝1，∴焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），∵直线AB 过左焦点F 1倾斜角为60°，∴直线AB 的方程为y =√3（x +1），将AB 方程与椭圆方程消去y ，得7x 2+12x +4＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得x 1+x 2=−127，x 1x 2=47∴|x 1﹣x 2|=√(−127)2−4×47=4√27因此，|AB |=√1+3•|x 1﹣x 2|=8√27． 19．（12分）如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：（方法一）设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1、O 2，将圆的方程分别配方得：（x +3）2+y 2＝4，（x ﹣3）2+y 2＝100，当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M |＝R +2，…①当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M |＝10﹣R ，…②将①②两式相加，得|O 1M |+|O 2M |＝12＞|O 1O 2|，∴动圆圆心M （x ，y ）到点O 1（﹣3，0）和O 2（3，0）的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为O 1（﹣3，0）、O 2（3，0），长轴长等于12的椭圆，∴2c ＝6，2a ＝12，∴c ＝3，a ＝6，∴b 2＝36﹣9＝27，∴圆心轨迹方程为x 236+y 227=1，轨迹为椭圆．（方法二）：由方法一可得方程√(x +3)2+y 2+√(x −3)2+y 2=12，移项再两边分别平方得：2√(x +3)2+y 2=12+x ，两边再平方得：3x 2+4y 2﹣108＝0，整理得x 236+y 227=1． 所以圆心轨迹方程为x 236+y 227=1，轨迹为椭圆．20．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5，边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）由题意可得边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52，所以直线AC 边所在的直线的斜率为﹣2，则设它的方程为y ＝﹣2x +b ，代入（5，1），可得b ＝11，即2x +y ﹣11＝0，点C 在中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5上，所以联立方程组{y =−2x +11y =2x −5，解得x ＝4，y ＝3，故C 点坐标为（4，3）， （2）设B （m ，n ），则M （m+52，n+12），把M 的坐标代入直线方程为y ＝2x ﹣1，把点B 的坐标代入y =12x −52，可得{n+12=2×m+52−5n =12m −52，解得m ＝﹣1，n ＝﹣3，故点B （﹣1，﹣3）， 故直线BC 斜率为k =3−(−3)4−(−1)=65， 故可设直线BC 的方程为y =65x +p ，把B （﹣1，﹣3）代入可得p =−95，故直线BC 的方程为y =65x −95．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m 的值以及最短长度．解：（1）证明：直线l 的方程可化为（2x +y ﹣7）m +（x +y ﹣4）＝0（3分）联立{2x +y −7=0x +y −4=0解得{x =3y =1 所以直线恒过定点（3，1）（6分）（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短直线l 的斜率为k =−2m+1m+1，k CP =1−23−1=−12由−2m+1m+1．(−12)=−1解得m =−34 此时直线l 的方程是2x ﹣y ﹣5＝0圆心C （1，2）到直线2x ﹣y ﹣5＝0的距离为d =|2−2−5|√5=√5）⬚ 所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5（12分）22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角B ﹣A 1D ﹣B 1的平面角的正切值．（1）证明：∵AB ＝AC ＝2，D 是B 1C 1的中点．∴A 1D ⊥B 1C 1，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥BC ，∵A 1O ⊥面ABC ，A 1D ∥AO ，∴A 1O ⊥AO ，A 1O ⊥BC∵BC ∩AO ＝O ，A 1O ⊥A 1D ，A 1D ⊥BC∴A 1D ⊥平面A 1BC（2）解，如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC =√2AC =2√2，A 1O =√AA 12−AO 2=√14， 易知A 1(0，0，√14)，B(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，A(0，√2，0)，D(0，−√2，√14)，B 1(√2，−√2，√14)，A 1D →=(0，−√2，0)，BD →=(−√2，−√2，√14) 设平面A 1BD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，由，{m →⋅A 1D →=0m →⋅BD →=0得{−√2y =0−√2x −√2y +√14z =0， 取z ＝1，得m →=(√7，0，1) 又平面A 1DB 1的法向量为n →=(0，0，1)， ∴cos ＜m →，n →＞=11×2√2=√24 ∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的正切值√7．。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线3x ﹣2y ﹣3＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1C 1的中心，若AO →=AA 1→+xAB →+yAD →，则实数x ，y 的值分别为（ ） A ．x ＝1，y ＝1B ．x =12，y =12C ．x =12，y =1D ．x =1，y =123．“a ＝﹣2”是“直线ax +3y ﹣1＝0与直线6x +4y ﹣3＝0垂直”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）A ．√19米B ．√51米C ．2√19米D ．2√51米5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为（ ） A ．5√22B ．3√22C ．√2D ．√226．已知直线l ：x +y cos θ﹣3＝0，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0，π） B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]7．已知直线3x +2y ﹣6＝0分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若直线x +y ﹣1＝0上存在一点C ，使|CA |+|CB |最小，则点C 的坐标为（ ） A ．(23，13)B ．(65，−15)C ．(43，−13)D ．(45，15)8．如图，二面角α﹣l ﹣β的棱上有两点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ，若AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD =√41，则二面角α﹣l ﹣β的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．23πD ．5π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值为150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分) 【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给同的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，那么A. A ⊂≠BB. B ⊂≠AC.A=BD.A ∩B=∅ 2．在一组样本数据〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，…，〔x n ，y n 〕〔n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等〕的散点图中，假设所有样本点〔x i ，y i 〕(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，那么这组样本数据的样本相关系数为A.－1B. 0C.12D.13．正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 A. (1－3，2) B. (0，2) C. (3－1，2) D. (0，1+3)4．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕 A.12 B. 23 C.34 D.45 5.〝〞的含义是〔 〕A. a ，b 不全为0B. a ，b 全不为0C. a ，b 至少一个为0D. a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔 〕 A.6 B.9 C.12 D.187．ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，那么φ=( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π48．数列{}n a 满足11a =，21114n n a a ++=，记数列{}2n a 前n 项的和为S n ，假设2130n n tS S +-≤对任意的*n N ∈ 恒成立，那么正整数t 的最小值为 〔 〕 A 、10B 、9C 、8D 、7第二部分 非选择题(共110分)【二】填空题：本大题共6个小题，每题5分，共计30分。

2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ） A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣42．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．34．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣26．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√27．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN ＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或48．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x 2m 2−1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．若m ＝3，则曲线C 是圆B ．若曲线C 是椭圆，则m ＞3C ．若曲线C 是双曲线，则m ＜1且m ≠﹣1D ．若m ＜﹣1，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线10．已知点M （﹣1，2），N （2，3），直线l ：mx +y ﹣m +2＝0与线段MN 有交点，则m 可以为（ ） A ．﹣6B ．﹣2C ．1D ．311．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√5512．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 ． 14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 ．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 ． 16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A 关于直线y ＝x 对称，点M （1，3），N （3，5）在圆A 上． （1）求圆A 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2（l 1的倾斜角大于l 2的倾斜角）均与圆A 相切，且l 1，l 2相交于点P （1，0），求l 1，l 2的方程．18．（12分）已知点A （﹣2，0），B （0，﹣1），P （1，0），Q 是圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0上的动点． （Ⅰ）求△QAB 面积的最小值； （Ⅱ）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，A 是C 上在第一象限的一点，点B 在y 轴上，AB ⊥y 轴，|AB |＝2，|AF |＝3． （1）求C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线与C 交于M ，N 两点，△MON 的面积为√5（O 为坐标原点），求直线MN 的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ）A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣4解：直线x +3y +λ＝0可化为2x +6y +2λ＝0，由题意可得：√22+62=√102，解得λ=−92或λ=112．故选：A ． 2．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解：由题知，该双曲线的焦点在y 轴上，y 24−x 2−m=1，所以a 2＝4，b 2＝﹣m ，c 2=(√5)2=5， 由c 2＝a 2+b 2可得4﹣m ＝5，解得：m ＝﹣1， 所以b 2＝1，即双曲线的方程为y 24−x 2=1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故选：C ．3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3 解：根据题意可得，NM →=(1，1，2)，u→|u →|=√2=(−√22，−√22，0)， 所以M 到直线l 的距离为√|NM →|2−(NM →⋅u →|u →|)2=√6−(−22−22)2=2．故选：C ．4．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →解：∵AM →=AF →+FM →=−12BA →+13FE →=−12BA →+13(BE →−BF →)=−23BA →+13[12(BC →+BD →)]=16BC →+16BD →−23BA →=16a →+16b →−23c →． 故选：D ．5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2解：根据题意可知a ＜0，且−a2=1，所以a ＝﹣2，所以抛物线C 的方程为x 2＝﹣4y ． 将y ＝﹣x +b 代入x 2＝﹣4y ，整理得x 2﹣4x +4b ＝0． 因为C 与直线y ＝﹣x +b 相切，所以Δ＝（﹣4）2﹣4×4b ＝0，解得b ＝1． 故选：B ．6．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√2解：设点M （1，﹣2）关于直线l 的对称点为M '（x 0，y 0）， 则{2×x 0+12−y 0−22+1=0y 0+2x 0−1×2=−1，解得{x 0=−3y 0=0即M ′（﹣3，0），∴(|HM|+|NH|)min =(|HM′|+|NH|)min =|NM′|=√(4+3)2+(4−0)2=√65． 故选：C ．7．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或4解：以向量NM ，NH ，HG 为基底，由题知：|NM →|＝1，|NH →|＝3，|HG →|＝2，NM →⊥NH →，NH →⊥HG →，＜NM →，HG →＞=π3或2π3， ∴|MG →|2＝（−NM →+NH →+HG →）2＝|NM →|2+|NH →|2+|HG →|﹣2|NM →|•|HG →|•cos ＜NM →，HG →＞，当＜NM →，HG →＞=π3 时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×12=12，∴|MG →|=2√3，当＜NM →，HG →＞=2π3时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×（−12）＝16，∴|MG →|＝4． 故选：D ． 8．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32解：如图所示，设椭圆的右焦点为F 1，∵直线FP 与圆O 相切，∴FM ⊥OM ，又|OF |＝c ，∴|OM|=12c ，∴∠MFO =π6，又FM →=MP →，∴M 是FP 的中点，又O 是FF 1的中点，∴OM∥PF1，又FM⊥OM，∴PF⊥PF，∴|FF1||PF|+|PF1|=2c2a=√3+1=√3−1，即C的离心率为√3−1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x2m2−1+y22m+2=1(m≠±1)表示曲线C，则下列结论正确的是（）A．若m＝3，则曲线C是圆B．若曲线C是椭圆，则m＞3C．若曲线C是双曲线，则m＜1且m≠﹣1D．若m＜﹣1，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线解：对于A，若m＝3，则m2﹣1＝2m+2＝8，方程化为x2+y2＝8，故A正确；对于B，若曲线C是椭圆，则{m2−1＞0，2m+2＞0，m2−1≠2m+2，解得m＞1且m≠3，故B错误；对于C，若曲线C是双曲线，则（m2﹣1）（2m+2）＜0，解得m＜1且m≠﹣1，故C正确；对于D，若m＜﹣1，则m2﹣1＞0且2m+2＜0，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确．故选：ACD．10．已知点M（﹣1，2），N（2，3），直线l：mx+y﹣m+2＝0与线段MN有交点，则m可以为（）A．﹣6B．﹣2C．1D．3解：∵l：mx+y﹣m+2＝0，∴y+2＝﹣m（x﹣1），即直线l过定点Q（1，﹣2），斜率为﹣m，k QM=2+2−1−1=−2，k QN=3+22−1=5，由图知，﹣m ≤﹣2 或﹣m ≥5， ∴m ≥2或m ≤﹣5， ∴A ，D 正确，B ，C 错误． 故选：AD ．11．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√55解：∵AP →⋅BP →=0，∴P 在以AB 为直径的圆上， 由A （1，﹣1），B （1，﹣3），可知其圆心为C 1（1，﹣2），半径r 1=12|AB|=1，又圆C 的圆心为C （a ，﹣2a ），半径r 2＝2， 由题可知，圆C 1与圆C 有公共点， 则r 2﹣r 1≤|CC 1|≤r 1+r 2，即1≤√(a −1)2+(−2a +2)2≤3， 解得5−3√55≤a ≤5−√55或5+√55≤a ≤5+3√55．故选：BCD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），E （2，1，0），F （2，0，1），D （0，2，0），A 1（0，0，2），B 1（0，4，2），C 1（2，2，2），D 1（0，2，2），所以AC 1→=(2，2，2)，DA 1→=(0，−2，2)，EF →=(0，−1，1)， 设DM →=λDA 1→(0≤λ≤1)， 则DM →=(0，−2λ，2λ)， 所以M （0，2﹣2λ，2λ），对于A 选项，FM →=(−2，2−2λ，2λ−1)，所以FM →⋅AC 1→=−2×2+2(2−2λ)+2(2λ−1)=−2≠0， 即不存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1， 故A 选项错误；对于B 项，因为AD ⊥面AA 1B 1B ，所以面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=(0，1，0)， 又因为EM ∥面AA 1B 1B ，EM →=(−2，1−2λ，2λ)，所以EM →⋅n →=1−2λ=0，解得λ=12，即DM →=12DA 1→，所以存在点M 位于A 1D 的中点时，使得EM ∥面AA 1B 1B ， 故B 选项正确；对于C 选项，因为C 1D 1→=(−2，0，0)， 所以u →=C 1D 1→|C 1D 1→|=(−2，0，0)2=(−1，0，0)，设a →=C 1M →=(−2，−2λ，2λ−2)，则a →⋅u →=2，所以点M 到直线C 1D 1的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√4+4λ2+(2λ−2)2−4=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，（0≤λ≤1），所以当λ=12时，d min =√2，即点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2， 故C 选项正确；对于D 选项，因为A 1D ∥EF ，A 1D ⊄面EFC 1，EF ⊂面EFC 1， 所以A 1D ∥面EFC 1，所以V C 1−MEF =V M−C 1EF =V D−C 1EF ， 易得FC 1=EC 1=√5，EF =√2， 所以S △C 1EF =12EF ×√C 1F 2−(EF 2)2=32，所以V C 1−MEF =V D−C 1EF =13S △C 1EF ×CD =13×32×2=1，即三棱锥C 1﹣MEF 的体积为1， 故D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：由题意知，直线m 的斜率k m =−12，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又直线l 过点（2，3），所以直线l 的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 2或6 ． 解：由圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上， 设C （a ，2a +6），又圆C 与x 轴、y 轴均相切， 所以r ＝|a |＝|2a +6|， 解得a ＝﹣2或a ＝﹣6， 所以半径r ＝2或r ＝6， 故答案为：2或6．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 √2 ．解：由题知，MQ ⊥NQ ，以Q 为原点，QM ，QN 所在直线分别为x 轴、y 轴，该圆柱过Q 的母线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q （0，0，0），M （2，0，0），N （0，2，0），P （2，0，2）， ∴QN →=(0，2，0)，QP →=(2，0，2)，MP →=(0，0，2)， 设平面PNQ 的法向量为 m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅QN →=0m →⋅QP →=0，即{2x +2z =02y =0，令 x ＝1，则 z ＝﹣1，y ＝0，∴m →=（1，0，﹣1），∴点M 到平面PNQ 的距离d =|m →⋅MP →||m →|=√1+0+(−1)=√2．16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为32． 解：因为△MF 1F 2的周长为4a +2c ， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4a ，由双曲线定义知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝3a ，|MF 2|＝a ，此时S △F 1MF 2=12|MF 1||MF 2|sin∠F 1MF 2=12×3a ×asinθ=3√352a 2cosθ，所以sinθ=√35cosθ， 因为1＝sin 2θ+cos 2θ＝36cos 2θ， 所以cosθ=16，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=4c 2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|cosθ=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×16，则C的离心率e=ca=32．故答案为：3 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A关于直线y＝x对称，点M（1，3），N（3，5）在圆A上．（1）求圆A的标准方程；（2）若直线l1，l2（l1的倾斜角大于l2的倾斜角）均与圆A相切，且l1，l2相交于点P（1，0），求l1，l2的方程．解：（1）因为圆心A在直线y＝x上，所以设A（a，a），则设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以{(1−a)2+(3−a)2=r2(3−a)2+(5−a)2=r2，解得{a=3r=2，所以圆A的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．（2）由题意知，l1，l2是过点P（1，0）所作的圆A的两条切线，若切线斜率不存在，其方程为x＝1，与圆A相切，符合条件．若切线斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣1），由圆心A（3，3）到切线的距离为√1+k2=2，解得k=512，所以切线方程为y=512(x−1)，即5x﹣12y﹣5＝0，又l1的倾斜角大于l2的倾斜角，所以l1：x＝1，l2：5x﹣12y﹣5＝0．18．（12分）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣1），P（1，0），Q是圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0上的动点．（Ⅰ）求△QAB面积的最小值；（Ⅱ）求线段PQ的中点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题知，|AB|=√(0+2)2+(−1−0)2=√5，直线AB的方程为x+2y+2＝0．圆M的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，可得圆心为M（2，3），半径为r=√5，圆心M到直线AB的距离为d=√1+2=2√5，设点Q到直线AB的距离为d'，则d'min＝d﹣r=√5，可得△QAB面积的最小值为12|AB|d'min=12×√5×√5=52；（Ⅱ）设N （x ，y ），Q （x 0，y 0）， 由题意知x =x 0+12，y =y 0+02， 可得x 0＝2x ﹣1，y 0＝2y ，将（x 0，y 0）代入x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0，即为（2x ﹣1）2+（2y ）2﹣4（2x ﹣1）﹣6（2y ）+8＝0， 整理得x 2+y 2−3x −3y +134=0， 则点N 的轨迹方程为x 2+y 2−3x −3y +134=0，即 (x −32)2+(y −32)2=54． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．证明：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为矩形， 因为P ，M 分别为BB 1，CC 1的中点，所以BP ∥MC 1，BP ＝MC 1， 所以四边形BPC 1M 是平行四边形，所以PC 1∥BM ，因为C 1⊂平面P A 1C 1，MB ⊄平面P A 1C 1，所以BM ∥平面P A 1C 1， 同理可得BN ∥平面P A 1C 1，因为BM ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，BN ∩BM ＝B ，所以平面BMN ∥平面P A 1C 1； 解：（2）由题知，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示，则B （0，0，0），N （3，0，2），M （0，3，2），C （0，3，0），A 1（3，0，4）， 所以BN →=(3，0，2)，BM →=(0，3，2)，CA 1→=(3，−3，4)． 设平面BMN 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则m →⊥BM →，m →⊥BN →， 所以{m →⋅BM →=3y +2z =0，m →⋅BN →=3x +2z =0，解得{y =−23z x =−23z ，令z＝﹣3，得x＝y＝2，所以m→=(2，2，−3)，设直线CA1与平面BMN所成的角为θ，所以sinθ=|m⋅CA1→||m|⋅|CA1→|=√2+2+(−3)×√3+(−3)+4=6√217，所以直线CA1与平面BMN所成角的正弦值为6√2 17．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A是C上在第一象限的一点，点B在y轴上，AB⊥y轴，|AB|＝2，|AF|＝3．（1）求C的方程；（2）过F作斜率为k的直线与C交于M，N两点，△MON的面积为√5（O为坐标原点），求直线MN 的方程．解：（1）因为AB⊥y轴，|AB|＝2，所以x A＝2，此时|AF|=x A+p2=2+p2=3，解得p＝2，则C的方程为y2＝4x；（2）由（1）知F（1，0），不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），联立{y2=4xy=k(x−1)，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，因为k≠0，由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，所以|MN|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(2k2+4k2)2−4×1]=4(1+k2)k2，因为点O到直线MN的距离为d=√1+k，所以S △MON=12|MN|⋅d =12×4(1+k 2)k 2×|k|√1+k =2√1+k 2|k|=√5， 解得k ＝±2，故直线MN 的方程为2x ﹣y ﹣2＝0或﹣2x ﹣y +2＝0．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，设O 是AD 的中点，连接PO ，OB ，BD ． ∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．在菱形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD =π3∴△ABD 是等边三角形，∴BO ⊥AD ． ∵PO ∩BO ＝0， ∴AD ⊥平面POB ， ∴．AD ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB ＝3，PO ＝1，PO ⊥AD ，OB ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴．PO ⊥平面ABCD ，∵OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB ，∴以O 为原点，OB ，OA ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图，则D(0，−√3，0)，C(3，−2√3，0)，B （3，0，0），P （0，0，1）， ∴DC →=(3，−√3，0)，BC →=(0，−2√3，0)，CP →=(−3，2√3，1)，设平面PCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=3x 1−√3y 1=0m →⋅CP →=−3x 1+2√3y 1+z 1=0，令x 1＝1，则y 1=√3，z 1＝﹣3，∴m →=(1，√3，−3)，设平面PBC 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅BC →=−2√3y 2=0n →⋅CP →=−3x 2+2√3y 2+z 2=0，令x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝3，∴n →=（1，0，3）．|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|1×1+√3×0−3×3|√1+(√3)+(−3)×√1+0+3=4√13065，∴平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值为4√13065． 22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c （c ＞0），右焦点是 F '，连接 PF '，QF '； 由题知，四边形PFQF ′为平行四边形，|PF '|＝|QF |， 由椭圆定义知，2a ＝|PF |+|PF ′|＝|PF |+|QF |＝4，∴a ＝2． ∵|EF |＝a ﹣c ＝2﹣c ＝1，∴c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x +3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 将y ＝k （x +3）代入x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+24k 2x +36k 2﹣12＝0，∴Δ＝（24k 2）2﹣4×（3+4k 2）（36k 2﹣12）＞0 且x 1+x 2=−24k 23+4k 2，x 1x 2=36k 2−123+4k2，设M （﹣3，t ），t ≠0，则N （﹣3，﹣t ）， 则直线MA 的方程为y −t =y 1−tx 1+3(x +3)， 直线NB 的方程为y +t =y 2+tx 2+3(x +3)， 两式相减得2t =(y 2+t x 2+3−y 1−tx 1+3)(x +3)，∵y2+tx2+3−y1−tx1+3=k(x2+3)+tx2+3−k(x1+3)−tx1+3=t(x1+x2+6)x1x2+3(x1+x2)+9=t(−24k23+4k2+6)36k2−123+4k2−3×24k23+4k2+9=6t5，∴2=65(x+3)，∴x=−43，直线MA，BN的交点在定直线x=−43上．。