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专题限时集训(六)A[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．sin15°＋cos165°的值为( A.22 B ．－22 C.62 D ．－622．设0≤x <2π，且1－sin2x ＝sin x －cos x ，则( )A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4C.π4≤x ≤5π4D.π2≤x ≤3π23．设cos(x ＋y )sin x －sin(x ＋y )cos x ＝1213，且y 是第四象限的角，则tan y2的值是( )A ．±23B ．±32C ．－32D ．－234．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位5．若sin θ＋cos θ＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3的值是( ) A ．－2－ 3 B ．2－ 3C ．2＋ 3D ．－2＋ 36．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x －π2≤x <0，sin x （0≤x <π），则f－15π4等于( )A ．0B ．1 C.22 D ．－227．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f π7，b ＝f π6，c ＝f π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a8．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图6－1所示，则f (0)＝( )图6－1A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 39．设函数f (x )＝cos x ，把f (x )的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为y ＝f ′(x )的图象，则m 可以为( )A.π2B.3π4 C ．π D.3π210．已知sin x ＝13，sin(x ＋y )＝1，则sin(2y ＋x )＝________．11．若将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．12．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．(把你认为正确的答案都填上)13．已知三点：A (4，0)，B (0，4)，C (3cos α，3sin α)．(1)若α∈(－π，0)，且|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝0，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．14．已知函数f (x )＝sin x ＋π6＋sin x －π6＋cos x ＋a (a ∈R ，a 为常数)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在－π2，π2上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值．15．设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在如图6－2所示的坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围．专题限时集训(六)A【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°·cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sin x －cos x ）2＝|sin x －cos x |，又1－sin2x ＝sin x －cos x ，所以|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，则sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x .又0≤x <2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y )sin x －sin(x ＋y )cos x ＝1213得sin[x －(x ＋y )]＝－sin y ＝1213，所以sin y ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cos y ＝513，于是tan y 2＝1－cos y sin y ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2×3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C. 7．B [解析] 依题意得f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin x ＋π3，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f π7，所以c <a <b .8．B [解析] 不妨设A >0，由图象可知，A ＝2，又函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z )．故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.故选B.9．D [解析] f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－sin x ，又f (x －m )＝cos(x －m )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －π2，由题意，－sin x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －π2，所以－m －π2＝2k π，得m ＝－2k π－π2(k ∈Z )．则m 可以为3π2.故选D.10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y )＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以y ＝2k π＋π2－x (k ∈Z )．于是sin(2y ＋x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cos y ＝cos2k π＋π2－x ＝cosπ2－x ＝sin x ＝13.故填13.11.74 [解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ωmin＝74.故填74. 12．③④ [解析] 对f (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，画出函数的图象，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)由题得AC →＝(3cos α－4，3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4)． 由|AC →|＝|BC →|，得(3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α. 因为α∈(－π，0)， 所以α＝－3π4.(2)由AC →·BC →＝0，得3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716，所以2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.14．解：(1)依题意，得f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin x ＋π6＋a .所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f (x )min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝f π3＝2＋a .由题意，有(－3＋a )＋(2＋a )＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos2x －π3，列表如下：(3)∵f (x )>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x <2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .。
2024届新高考数学复习：专项（正弦定理、余弦定理及解三角形）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3 ，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23 ，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．66．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( ) A ．5 B ．5 C ．2 D ．18．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522 m9．在△ABC 中，cos C 2 ＝5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13 ，则cos (π＋B )＝________．12．[2023ꞏ全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．[提升练习]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ꞏcos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 14．[2023ꞏ全国甲卷(理)]已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．6215．[2022ꞏ全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于________．参考答案1．C 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×33＝2，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4 .2．C 由正弦定理bsin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin C c ＝40×320 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．C 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12 ，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 . 4．C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12，∴sin A ＝1－cos 2A ＝3 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×3 ＝3 . 5．D ∵b sin A ＝3c sinB ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ꞏcos B ＝9＋1－2×3×23 ＝6，∴b ＝6 .6．B ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．B ∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22 ，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC ꞏcos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ꞏBC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22 ＝5，∴AC ＝5 .8．A 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ，∴AB ＝AC ꞏsin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 . 9．A ∵cos C 2 ＝5 ，∴cos C ＝2cos 2C 2 －1＝2×⎝⎛⎭⎫55 2－1＝－35 .在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC ꞏcos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35 ＝32，所以AB ＝42 ，故选A.10.23 π答案解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23 π.11．①90° ②－13答案解析：①∵c ＝a ꞏcos B ，∴c ＝a ꞏa 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cosB ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．2答案解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC ＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×ADsin 30°，所以AD ＝23ACAC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6ACAC ＋2.由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC （AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.13．AB ∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×3 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7 <0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．C如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ꞏAC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ꞏBC＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ꞏBC sin ∠PCB ＝42 ，故选C.15.3 －1答案解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4 ，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2 ＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16.125答案解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125 .。
专题限时集训([第7讲 解三角形](时间：45分钟) 1．在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC4，则角B的大小为( )°或135在△ABC中，已知AB＝2BC＝4，A＝30，则△ABC的面积为( ) C．2 D．2 3．已知向量p＝(，)，q＝(－，)，若A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则p与q的夹角为( )锐角 ．直角．钝角 ．以上都不对如图7－1，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 ，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以计算出A，B两点的距离为( ) 图7－1 m B．50 m C．25 m D. m 5．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于( )＋ C．2＋ 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30，则此三角形( )一定是锐角三角形一定是直角三角形一定是钝角三角形可能是直角三角形，也可能是锐角三角形在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则角A＝( ). B. C. D. 8．如图7－2，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝，BC＝2BD，则的值为( ) 图7－2 B. C. D. 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b＋c－bc＝a，且＝－4，则△ABC的面积等于________如图7－3，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30 ，并在C测得A的仰角为60，则塔的高度AB＝________ 图7－3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知－＝，且c＝，则△ABC的面积的最大值为________在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，A＋C＝(1)求AC的长；(2)求四边形ABCD的面积．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足＝，b＋c＝6.＝3.(1)求a2)求的值．已知在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知向量m＝(＋，－)，n＝(－，)，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若a＝b＋，试求(A－B)的值．专题限时集训(七)【基础演练】 [解析] 在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC＝4，由正弦定理得：＝，代入解得＝又AC<BC，所以B＝45D [解析]由＝＝＝，得C＝90所以AC＝＝2，所以△ABC的面积为S＝＝2 [解析] 设p，q的夹角为θ，则＝－AcosB＋＝－(A＋B)＝，所以p，q的夹角为锐角． [解析] 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝ m. 【提升训练】 [解析] 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用三角形面积公式和余弦定理得：b＝，＝，3＝a＋c－2ac×，所以3＝(a＋c)－3ac得a＋c＝3，即△ABC的周长等于3＋ [解析] 由正弦定理，得＝，即＝，解得＝，所以B∈或B∈当B∈时，A＋B∈，则C∈，故△ABC是钝角三角形；当B∈时，△ABC也是钝角三角形．综上，△ABC一定是钝角三角形．故选. 7．B [解析] ∵＝＝－2，＝，－2＝，∵△ABC为斜三角形，∴，∴＝1，∵A∈(0，)，∴2A＝，A＝ [解析] 设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，ABAD＝，在△DAB中，由余弦定理得：＝＝＝，所以＝＝在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得＝，故选 [解析] 根据余弦定理可得＝＝，故A＝由＝－4，可得bc＝－4，得bc＝8.所以S＝＝2 [解析] 在△BCD中，根据正弦定理得＝＝＝15在中，AB＝BC·＝15＝15 [解析] 因为4－＝，所以2[1－(A＋B)]－2＋1＝，＋2－2＋1＝，即－＋＝0，解得＝由余弦定理得＝＝，＝a＋b－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝时，“＝”成立)从而S＝·7·＝，即S的最大值为 解：(1)如图，连接AC，依题意可知，B＋D＝，在△ABC中，由余弦定理得AC＝2＋4－2×2×4sB＝20－16，在△ACD中，由余弦定理得AC＝6＋4－2×6×4＝52－48＝52＋48由20－16＝52＋48，解得＝－，从而AC＝20－16＝28，即AC＝2(2)由(1)可知＝＝，所以S四边形ABCD＝S＋S＝＋＝2＋6＝8解：(1)∵＝，∴＝2－1＝又∵＝3，即bc＝3，∴bc＝5，又b＋c＝6，∴或由余弦定理得a＝b＋c－2bc＝20，∴a＝2(2) ＝＝＝－＝，∴＝2－1＝－，原式＝－＝解：1)由题意得m·n＝(－)＋(－)＝0，即＝＋－由正弦定理得c＝a＋b－ab，再由余弦定理得＝＝，∴C＝(2)方a2＝b＋，∴＝＋，即－＝，从而－＝，即－＝＋B＋＝，∴－＝，即－－＝，从而＝－，(A－B)＝＝＝－＝－＋＝方法二：设R为△ABC外接圆半径，所以(A－B)＝－＝＝＝＝＝方法三：＝＝＝＝，＝＝＝，＝，＝，∴(A－B)＝－＝C＝ 高考学习网： 高考学习网：。
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟) 1．已知＝，α是第二象限的角，且(α＋β)＝1，则的值为( )－7 ．－. 2．若函数y＝＋f(x)在上单调递增，则函数f(x)可以是( )－把函数y＝图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个长度单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )＝－＝－＝＝函数y＝1－2－是( )最小正周期为的偶函数 最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数 最小正周期为的奇函数 5．已知＝，且－，则＝( )－－－ 6．设函数y3sin(2x＋φ)(0<φ0，|φ|0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为(1)求函数f(x)的最大值，并求出此时的x值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再沿y轴对称后得到的，求y＝g(x)的单调减区间．已知函数f(x)＝2＋＋－＋.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)若对任意x∈，m＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围．专题限时集训(六)【基础演练】 [解析] 因为＝，α是第二象限的角，所以＝－又因为(α＋β)＝＝1，所以＝1，求得＝7.故选 [解析] 因为y＝－＝－，令－－，得－，满足题意，所以f(x)可以是－ [解析] 把y＝图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数为y＝，再将图象向右平移个长度单位，那么所得函数为y＝＝－，结合各选项可知其对称轴方程为x＝－故选 [解析] 由已知得y＝2x－＝－2x＝，因此函数y＝1－2－是最小正周期为的奇函数．故选【提升训练】 [解析] 依题意得＝±又因为－，所以＝－，于是＝2＝2×－＝－ [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×＋φ＝k＋(k∈Z)，得φ＝k－又φ∈(0，)，所以φ＝故选 [解析] 设(x，y)为x)的图象上任意一点，则其关于点，0对称的点为－x，－y，由题意知该点必在f(x)的图象上，所以－y＝－x，即(x)＝－－x＝－依题意得－，即＋＝＋又x∈[0，2]，解得.故选 [解析] 依题意，得f(x)＝(ωx＋φ)＋(ωx＋φ)＝＋φ＋，由T＝＝(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋＝k＋(k∈Z)，即φ＝k＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝于是f(x)＝，它在0，上单调递减． [解析] 由图可知，A＝10，函数I＝A(ωt＋φ)的最小正周期T＝2＝，所以＝，解得ω＝100又函数图象过点，代入得＝1，所以＋φ＝＋2k(k∈Z)，解得φ＝＋2k(k∈Z)．又0<φ70(0≤t≤12)，解得4<t0)，∴ω的值为，函数f(x)＝＋2，函数f(x)的最大值为＋2，此时3x＋＝2k＋，即x＝＋(k∈Z)．(2)y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得h(x)＝＋2＝＋2，再沿y轴对称后得到g(x)＝＋2＝－＋2，函数g(x)的单调减区间，即y＝单调递增区间．由2k－＋＋，解得－kπ＋(k∈Z)．故y＝g(x)的单调减区间为(k∈Z)．解：(1)f(x)＝2＋＋－2＋＝＋－＝＋－＋－＝2＋－－1≤＋，－2－＋－－，又T＝＝，f(x)的值域为[－2－，2－]，最小正周期为(2)当x∈时，2x＋，＋， 此时f(x)＋＝2＋[，2]．由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－，≤－，即解得－－1.即实数m的取值范围是 高考学习网： 高考学习网：。
专题限时集训(二)B[第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图象与性质](时间：30分钟)1．函数y ＝log 13(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，122．函数y ＝|x |ax x (a >1)的图象大致形状是( )图2－53．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的() A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），x 2（x <0），则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2)B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只能是( )图2－6A ．①B ．②C ．③D ．④6．定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)7．函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是图2－7中的( )图2－78．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sin πx 的对称中心，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 012＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0222 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0232 012＝( ) A ．4 023 B ．－4 023C ．8 046D ．－8 0469．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 013)))＝________． 10．函数y ＝x 2－2ax ，若x ∈[2，4]，则其最小值g (a )的表达式g (a )＝________________．专题限时集训(二)B【基础演练】1．A [解析] 必须是满足2x 2－3x ＋1>0的函数y ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间，即(1，＋∞)．2．B [解析] 当x >0时，y ＝a x ；当x <0时，y ＝－a x .根据指数函数图象可知为选项B 中图象．3．A [解析] y ＝log 2x －1＝12log 2(x －1)，因此只要把函数y ＝log 2x 纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度即可． 4．D [解析] 当x ≥0时，f [f (x )]＝x 4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.【提升训练】5．C [解析] 由f (x )·g (x )为偶函数排除①④，当x →＋∞时，f (x )·g (x )→－∞，排除②，故为③.6．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移、a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数在(a ，＋∞)上是减函数，由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1离对称轴的距离比x 2离对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．7．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x →0时，x sin x →1，当x →π时，x sin x →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．8．D [解析] 如果x 1＋x 2＝2，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sin πx 1＋x 32－3x 22－sin πx 2 ＝x 31－3x 21－sin πx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sin π(2－x 1)＝－4.所以S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 012＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0232 012， 又S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0232 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0222 012＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012， 两式相加得2S ＝－4×4 023，所以S ＝－8 046.9.12 013 [解析] f 1(f 2(f 3(2 013)))＝f 1(f 2(2 0132))＝f 1((2 0132)－1)＝((2 0132)－1)12＝2 013－1.10.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 [解析] f (－x )＋f (x )＝lg 1－ax 1－2x ＋lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1－a 2x 21－4x 2＝0，∴1－a 2x 21－4x 2＝1，∴(a 2－4)x 2＝0，∵x 2不恒为0，∴a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2，∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x， 由1－2x 1＋2x >0，得：－12<x <12，由题意：(－b ，b )⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0<b ≤12，故－2<a ＋b ≤－32. 11.⎩⎪⎨⎪⎧4－4a （a <2），－a 2 （2≤a ≤4），16－8a （a >4）[解析] ∵函数y ＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2开口方向向上，对称轴为动直线x ＝a ，由对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：当a <2时，函数在[2，4]上单调递增，则当x ＝2时，g (a )＝y min ＝4－4a .当2≤a ≤4时，函数在[2，a ]上单调递减；在[a ，4]上单调递增，则当x ＝a 时， g (a )＝y min ＝－a 2.当a >4时，函数在[2，4]上单调递减，则当x ＝4时，g (a )＝y min ＝16－8a .综上所述，有g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－4a （a <2），－a 2 （2≤a ≤4），16－8a （a >4）.12．(－∞，2)∪(3，5) [解析] ∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)等价于函数f (x )不能在整个定义域上单调递增，显然当a 2<1，即a <2时满足要求，此时a ＝0也符合要求．当a 2≥1时，函数f (x )在x ＝1时，两端的端点值分别为－1＋a 和a 2－7a ＋14，只要a 2－7a ＋14<－1＋a 即可，即a 2－8a ＋15<0，解得3<a <5.故a ∈(－∞，2)∪(3，5)．。
专题限时集训(七)B[第7讲 解三角形](时间：45分钟)1．在△ABC 中，a ，b 分别是角A ，B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．满足A ＝30°，BC ＝10的△ABC 恰好有不同两个，则边AB 的长的取值范围为( ) A ．(0，10) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，2033C ．(10，20)D ．[10，20]3．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.224．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．5 n mile/hB ．5 3 n mile/hC ．10 n mile/hD ．10 3 n mile/h5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6 D.π3或2π36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为( )A ．1B ．3C ．5D ．98．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________．9．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且cos C ＝13，则△ABC周长的最小值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，2sin A ＋15sin B ＝25sin C ，且△ABC 的面积S △ABC ＝BA →·BC →，则b ＝________．11．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足4sin 2B ＋C2－cos2A＝72. (1)求角A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求△ABC 的面积．12．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若|AC →－AB →|＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．专题限时集训(七)B【基础演练】1．C [解析] a <b ⇔A <B ⇔cos A >cosB.2．C [解析] 如图过B 作BD ⊥AC 于D ，若△ABC 恰好有不同两个，则须BD <BC <AB ，即AB ·sin30°<10<AB ，得10<AB <20.3．C [解析] ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.4．C [解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(n mile/h)．【提升训练】5．D [解析] ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴∠B ＝π3或2π3. 6．A [解析] 由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，b 2＋ab －a 2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a－1＝0，得b a ＝－1＋52<1，故b <a . 7．B [解析] 由AC →·AB →|AB →|＝1得|AC →|cos A ＝1，由BC →·BA →BA →得|BC →|cos B ＝2.如图过C 作CD ⊥AB于D ，则AD ＝|AC →|cos A ＝1，BD ＝|BC →|cos B ＝2，所以AB ＝AD ＋BD ＝3.8．2 3 [解析] ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.又S △ABC＝43，即12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.9.6＋ 2 [解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4得a 2＋b 2－c 2＝4－2ab ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4－2ab 2ab ＝13，所以ab ＝32.又由基本不等式有a ＋b ≥2ab ＝6，当且仅当a ＝b ＝62时等号成立，此时c 2＝(a ＋b )2－4＝2，c ＝2，所以△ABC 周长的最小值为6＋2.10．4 [解析] S △ABC ＝BA →·BC →＝|BA →|·BC →|·cos B ＝12·|BA →|·|BC →|·sin B ，可得cos B ＝55，sin B ＝255.又由2sin A ＋15sin B ＝25sin C 得2sin A ＋15sin B ＝25(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得cos A ＝32，所以sin A ＝12.由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 即512＝b 255，得b ＝4. 11．解：(1)2－2cos(B ＋C )－2cos 2A ＋1＝72，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，则cos A ＝12，所以A ＝60°.(2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，∴3＝(b ＋c )2－3bc .又∵b ＋c ＝3，∴bc ＝2， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝32.12．解：由题意得：f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.(1)若f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由a cos C ＋12c ＝b 及余弦定理可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，得A ＝π3，B ＋C ＝23π.故0<B <23π⇒0<B 2<π3⇒π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 13．解：(1)在△ABC 中，∵(2b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理有 (2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，即2sin B cos A ＝sin B ， ∵sin B >0，∴cos A ＝12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)法一：由已知|AC →－AB →|＝1，∴|BC →|＝1，即a ＝1，由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C ，l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，故△ABC 的周长l 的取值范围是(2，3]．法二：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c ，由(1)及余弦定理得： 1＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2，3]， 即△ABC 的周长l 的取值范围是(2，3]．。
专题限时集训(七)A[第7讲 导数在研究函数性质中的应用](时间：45分钟)1．过曲线y ＝x 3＋x －2上一点P 0y ＝4x ，则点P 0的一个坐标是( ) A ．(0，－2) B ．(1，1) C ．(1，4) D ．(－1，－4)2．若f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a<2 B ．a>2或a<－1C ．a ≤2或a ≤－1D ．a>1或a<－23．现有四个函数：①y ＝xsin x ，②y ＝xcos x ，③y ＝x|cos x|，④y ＝x·2x .它们的部分图像如图X7－1所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是( )图X7－1A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 4．若函数y ＝f(x)的导函数．．．在区间[a ，b]上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图像可能是( )图X7－5．函数f(x)＝x ＋sin x(x ∈R )( )A ．是偶函数且为减函数B ．是偶函数且为增函数C ．是奇函数且为减函数D ．是奇函数且为增函数6．函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，5)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[4，5]B ．[3，5]C ．[5，6]7．定义在R 上的函数f(x)满足R 都有f′(x)<4，则不等式f(x)>4x －3的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)8．已知函数f(x)＝ax －x 3，对区间(0，1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f(x 2)－f(x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，1)B ．[4，＋∞)C ．(0，4]D ．(1，4]9．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x ∈R 都有f′(x)>f(x)成立，则( ) A ．3f(ln 2)>2f(ln 3) B ．3f(ln 2)＝2f(ln 3)C ．3f(ln 2)<2f(ln 3)D ．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定 10．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x 0，使得f(x 0)＝f′(x 0)，则称x 0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )①f(x)＝x 2；②f(x)＝e －x ；③f(x)＝ln x ；④f(x)＝tan x ；⑤f(x)＝1x.A ．①③⑤B ．③④C ．②③④D ．②⑤11．若函数g(x)＝x 3－ax 2＋1在区间[1，2]上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．12．若函数f(x)＝－13x 3＋x 在区间(a ，10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．13．已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝13，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上不存在极值点，求a 的取值范围．14．已知函数f(x)＝axx 2＋1＋a ，g(x)＝aln x －x(a ≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a>0时，对于任意x 1，x 2∈(]0，e ，总有g(x 1)<f(x 2)成立．15．已知函数f(x)＝ln x ＋kx，k ∈R .(1)若k ＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥2＋1－ex恒成立，求实数k 的取值范围；(3)设g(x)＝xf(x)－k ，若对任意的两个实数x 1，x 2满足0<x 1<x 2，总存在x 0>0，使得g′(x 0)＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2成立，证明：x 0>x 1.专题限时集训(七)A1．D [解析] y′＝3x 2＋1，设P 0(x 0，x 30＋x 0－2)，则3x 20＋1＝4，x 0＝±1.验证得其中的一个坐标为(－1，－4)．2．B [解析] 因为f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，所以f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0有两个不相等实根，所以(6a)2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a>2或a<－1，选B.3．C [解析] ①y ＝xsin x 为偶函数，对应第一个图像；②y ＝xcos x 为奇函数，y ′＝cos x －xsin x ，满足cos x －xsin x ＝0的极值点有无数多个，且在原点右侧的两个极值为一正一负，因此②对应第三个图像，选C.4．A [解析] 对于A ，函数f(x)单调递增，且f(x)的导数值逐渐增大，成立；对于B ，由于函数f(x)递增，导数值逐渐减小，不符合题意；对于C ，导数值不变；对于D ，导数值先增大再减小．故选A.5．D [解析] 满足f(－x)＝－f(x)，故函数是奇函数；f′(x)＝1＋cos x ≥0，故函数f(x)是增函数．6．D [解析] f′(x)＝x 2－ax ＋a －1，易得⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）≤0，f ′（5）≤0，且⎩⎪⎨⎪⎧f′（6）≥0，a 2≤6，所以6≤a ≤7.7．C [解析] 令g(x)＝f(x)－4x ＋3，则g′(x)＝f′(x)－4，因为f′(x)<4，所以g′(x)＝f′(x)－4<0，所以函数g(x)＝f(x)－4x ＋3在R 上单调递减．又f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－4＋3＝0，所以g(x)＝f(x)－4x ＋3>0的解集为(－∞，1)，即不等式f(x)>4x －3的解集为(－∞，1)．8．B [解析] 问题等价于函数g(x)＝f(x)－x 在(0，1)上为增函数，即g′(x)＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0，1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．9．C [解析] 构造函数g(x)＝f （x ）e x，则g′(x)＝f′（x ）e x －f （x ）e x（e x ）2＝f′（x ）－f （x ）e x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(ln 2)<g(ln 3)，即f （ln 2）e ln 2<f （ln 3）e ln 3，即3f(ln 2)<2f(ln 3)．10．A [解析] ①即x 2＝2x ，这个方程显然有解，故①符合要求；②即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；③即ln x ＝1x ，数形结合可知这个方程也存在实数解，符合要求；④中，f ′(x)＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，若f(x)＝f′(x)，即1cos 2x＝tan x ，化简得sin xcos x ＝1，即sin 2x ＝2，方程无解，④不符合要求；⑤中，f ′(x)＝－1x 2，－1x 2＝1x，可得x ＝－1为该方程的解，故⑤符合要求．11．[3，＋∞) [解析] 因为g(x)＝x 3－ax 2＋1，所以g′(x)＝3x 2－2ax.又因为函数g(x)＝x 3－ax 2＋1在区间[1，2]上是单调递减函数，所以g′(x)＝3x 2－2ax 在[1，2]不大于0，所以g′(1)≤0，g ′(2)≤0，解得a ≥3.12．(－3，1) [解析] 已知函数f(x)＝－13x 3＋x ，所以f′(x)＝－x 2＋1＝(1＋x)(1－x)．可知函数f(x)在(－1，1)上递增，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减．由题意可知a<1<10－a 2，所以－3<a<1，所以实数a 的取值范围是(－3，1)．13．解：(1)当a ＝1时，f ′(x)＝x 2＋2x ＋b. ①若Δ＝4－4b ≤0，即b ≥1时，f ′(x)≥0， 所以f(x)为(－∞，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；②若Δ＝4－4b>0，即b<1时，f ′(x)＝(x ＋1＋1－b)(x ＋1－1－b)，所以f(x)在(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1－1－b ，－1＋1－b)上为减函数．所以f(x)的增区间为(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)，减区间为(－1－1－b ，－1＋1－b)．综上，当b ≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－1－b)，(－1＋1－b ，＋∞)；减区间为(－1－1－b ，－1＋1－b)．(2)由f(1)＝13，得b ＝－a ，即f(x)＝13x 3＋ax 2－ax ，f ′(x)＝x 2＋2ax －a.令f′(x)＝0，即x 2＋2ax －a ＝0，变形得(1－2x)a ＝x 2，因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以a ＝x 21－2x .令1－2x ＝t ，则t ∈(0，1)，x 21－2x ＝14⎝⎛⎭⎫t ＋1t －2. 因为h(t)＝t ＋1t －2在t ∈(0，1)上单调递减，故h(t)∈(0，＋∞)．由y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上不存在极值点，得a ＝x 21－2x 在⎝⎛⎭⎫0，12上无解，所以，a ∈(－∞，0]．综上，a 的取值范围为(－∞，0]． 14．解：(1)函数f(x)的定义域为R ， f ′(x)＝a （1－x 2）（x 2＋1）2＝a （1－x ）（1＋x ）（x 2＋1）2. 当a>0时，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：1)，(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)． (2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，f(x)在(1，e]上单调递减，且f(e)＝aee 2＋1＋a>a ＝f(0)．所以x ∈(0，e]时，f(x)>f(0)＝a.因为g(x)＝aln x －x ，所以g′(x)＝ax－1，令g′(x)＝0，得x ＝a.①当0<a<e 时，由g′(x)>0，得0<x<a ；由g′(x)<0，得x>a ，所以函数g(x)在(0，a)上单调递增，在(a ，e]上单调递减，所以g(x)max ＝g(a)＝aln a －a.因为a －(aln a －a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0， 所以对于任意x 1，x 2∈(0，e]，总有g(x 1)<f(x 2)．②当a ≥e 时，g ′(x)≥0在(0，e]上恒成立，所以函数g(x)在(0，e]上单调递增，g(x)max ＝g(e)＝a －e<a ， 所以对于任意x 1，x 2∈(0，e]，仍有g(x 1)<f(x 2)．综上所述，对于任意x 1，x 2∈(0，e]，总有g(x 1)<f(x 2)．15．解：(1)当k ＝1时，函数f(x)＝ln x ＋1x (x>0)，则f ′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2.当f′(x)<0时，0<x<1，当f′(x)>0时，x>1，则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)f(x)≥2＋1－e x 恒成立，即ln x ＋kx ≥2＋1－e x恒成立，整理得k ≥2x －xln x ＋1－e 恒成立．设h(x)＝2x －xln x ＋1－e ，则h′(x)＝1－ln x ，令h′(x)＝0，得x ＝e.当x ∈(0，e)时，h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，因此当x ＝e 时，h(x)取得最大值1，因而k ≥1.(3)证明：g(x)＝xf(x)－k ＝xln x ，g ′(x)＝ln x ＋1.因为对任意的x 1，x 2(0<x 1<x 2)，总存在x 0>0，使得g ′(x 0)＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2成立，所以ln x 0＋1＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，即ln x 0＋1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2x 1－x 2，即ln x 0－ln x 1＝x 1lnx 1－x 2ln x 2x 1－x 2－1－ln x 1＝x 2ln x 1－x 2ln x 2＋x 2－x 1x 1－x 2＝ln x 1x 2＋1－x 1x 2x 1x 2－1.设φ(t)＝ln t ＋1－t ，其中0<t<1，则φ′(t)＝1t－1>0，因而φ(t)在区间(0，1)上单调递增，φ(t)<φ(1)＝0.又x 1x 2－1<0，所以ln x 0－ln x 1>0，即x 0>x 1.。
决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。
专题限时集训(七) [第7讲 解三角形] (时间：45分钟) 1．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( ) A. B.C.或D.或 2．在ABC，已知A＝45°，AB＝，BC＝2，则C＝( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 3．ABC的外接圆半径R和ABC的面积的大小都等于1，则sinAsinBsinC的值为( ) A. B. C. D. 图7－1 4．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 5．在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 6．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的ABC有两个，那么a的取值范围是( ) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1,2) 7．ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( ) A. B. C. D. 8．在ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则ABC的面积等于( ) A. B.C.或D.或 9．在ABC中，已知sinAsinB∶sinC＝23∶4，则cosC＝________. 10．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km. 11．在ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上的一点，CD＝，BCD的面积为1，则AC的长为________． 12．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC. (1)求角C的大小； (2)求sinA－cosB＋的最大值，并求取得最大值时A，B的大小． 13．设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－c)cosA＝acosC. (1)求角A的大小； (2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积． 14．如图7－2所示，AB是南北方向道路，P为观光岛屿，Q为停车场，PQ＝5.2 km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q.已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，且sinθ＝.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与游客团会合，决定立即租用小船先到达道路M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达道路M后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角α，出租汽车的速度为66 km/h. (1)设sinα＝，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达Q地？ (2)设小船速度为10 km/h，请你替游客甲设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达Q地？ 图7－2 专题限时集训(七) 【基础演练】 1．A [解析] ＝cosB＝，又0<B<π，B＝. 2．A [解析] 根据正弦定理得，＝，所以sinC＝，因为C(0，π)，所以C＝30°或150°.又因为A＝45°，且AB<BC，所以C＝30°. 3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S＝absinC＝2RsinA·2RsinB·sinC＝2R2sinAsinBsinC，将R＝1和S＝1代入得，sinAsinBsinC＝. 4．D [解析] 设电视塔的高度为x，则BC＝x，BD＝x.在BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)，或者x＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】 5．D [解析] 根据余弦定理得b＝＝7，根据正弦定理＝，解得sinA＝. 6．C [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝2sinA.而C＝60°，所以0°<CAB<120°.又因为ABC有两个，所以asin60°时，t′<0， 又y＝cosα在α0，上是减函数， 当方位角α满足cosα＝时，t取最小值， 即游客甲能按计划以最短时间到达Q地． 高考学习网： 高考学习网：。
专题限时集训(六)B[第6讲 三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．已知sin α＝35，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值为( )A ．－7B ．7C ．－34 D.342．若函数y ＝sin x ＋f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π44．函数y ＝1－2sin 2x －π4是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数5．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.24256．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π67．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点π4，0对称，则在区间[0，2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 8．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在0，π2上单调递减B ．f (x )在π4，3π4上单调递减C ．f (x )在0，π2上单调递增D ．f (x )在π4，3π4上单调递增9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图6－3所示，则当t ＝150时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安10．已知θ是第三象限角，若cos θ＝－35，则cos θsin θ－1的值为________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α＝________．12．如图6－4，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 开始，经过t min 后，点P 的高度h ＝40 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，则在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________ min.13．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x (其中m ，n 为常数，且mn ≠0)，且f π4是它的最大值，给出下列命题：①fx ＋π4为偶函数；②函数f (x )的图象关于点7π4，0对称；③f －3π4是函数f (x )的最小值；④函数f (x )的图象在y 轴右侧与直线y ＝m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；⑤m n＝1.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)14．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．15．设函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx (ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3.(1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再沿y 轴对称后得到的，求y ＝g (x )的单调减区间．16．已知函数f (x )＝2cos x ＋π3sin x ＋π3－3cos x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，m []f （x ）＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sin x －cos x ＝2sin x －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f (x )可以是－cos x .3．A [解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个长度单位，那么所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－cos2x ，结合各选项可知其对称轴方程为x ＝－π2.故选A. 4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin 2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×－35＝－2425.6．D [解析] 本题考查三角函数的对称性．由题意，有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－π6()k ∈Z .又φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.故选D. 7．B [解析] 设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g (x )＝－sin π2－x ＝－cos x .依题意得sin x ≤－cos x ，即sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f (－x )＝f (x )，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f (x )＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．B [解析] 由图可知，A ＝10，函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，所以2πω＝150，解得ω＝100π.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π6.故函数I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.所以当t ＝150时，电流强度I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5. 10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13. 11.36565 [解析] 由已知sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)·sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．4 [解析] 由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50知其最小正周期为T ＝2ππ6＝12，即摩天轮转动一周的时间为12 min.由h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50>70(0≤t ≤12)，解得4<t <8.所以持续时间为4 min.13．①②③⑤ [解析] 由题意得f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)其中tan φ＝n m .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．所以f (x )＝m 2＋n 2sin x ＋2k π＋π4＝m 2＋n 2sin x ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即n m＝1，故f (x )＝2|m |sin x＋π4. ①fx ＋π4＝2|m |sin x ＋π4＋π4＝2|m |cos x 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m |sin 7π4＋π4＝2|m |sin2π＝0，所以函数f (x )的图象关于点7π4，0对称，②正确； ③f －3π4＝2|m |sin π4－3π4＝－2|m |sin π2＝－2|m |，f (x )取得最小值，所以③正确；④根据f (x )＝2|m |sin x ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，所以④错误；⑤由n m ＝1知，m n＝1成立，所以⑤正确． 故填①②③⑤.14．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形ABC 区域)如图所示， 其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.15．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋2cos 2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f (x )的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f (x )的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32， ∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋2，∴函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z )．(2)y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π8＋2，函数g (x )的单调减区间，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z )．故y ＝g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z )．16．解：(1)f (x )＝2sin x ＋π3cos x ＋π3－23cos 2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2x ＋2π3＋1 ＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f (x )＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.。
