解三角形卷一
一．选择题
1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为
A ．23
B ．－23
C ．14
D ．－14
2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为
A 、3
B 、2
C 、3
D 、2
3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C =
A 、1:2:3
B 、
C 、
D 、2
4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为
A 、14
B 、14-
C 、78
D 、1116
5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为
A 、3π
B 、6π
C 、4
π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c =
A 、610
B 、75
C 、55
D 、49
7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A =
A 、30
B 、60
C 、120
D 、150
8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是
A 、10,45,70b A C ===
B 、60,48,60a c B ===
C 、7,5,80a b A ===
D 、14,16,45a b A ===
二、填空题。
9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．
10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22
A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．
三、解答题。
12．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．
13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．
14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，
(Ⅰ)求∠B 的大小；
(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
(第13题)
11．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝C C sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a 2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝ab b c a c a 2＋－＋2
))((．∵ a ＋c ＝2b ， ∴ cos C ＝ab c a b c a b 22＋＋－2⋅
)(＝a c a c a 22＋＋－2)(，∴ c
a 2＝a c a c a 22＋＋－2)(． 整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0．解得a ＝c 或a ＝2
3c ． ∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝23c ∴ b ＝2c a +＝2
23c c +＝c 45， ∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 4
5∶c ＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4． 12．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知A a sin ＝B
b sin ⇒︒30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23，b ＝43． ∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°
⇒c ＝8或c ＝4． 13 解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米，∠ACB ＝45°－15°＝30°．
根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC ，∴ BC ＝︒
︒30sin 15sin 100． 又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝
︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ ， 根据正弦定理有︒45sin 50＝)
(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒
．解得cos θ ＝3－1，∴ θ ≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．
14．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，
∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin (B ＋C )．
又在三角形ABC 中，sin (B ＋C )＝sin A ≠0，
∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝21，B ＝3
π． (Ⅱ)∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ， 又 (a ＋c )2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝
21ac sin B ， 即S △ABC ＝21·3·23＝433． (第13题)
