第三章 量子力学中的算符12

第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。

3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。

[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。

第三章算符与力学量算符3、1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为:(3、1-1)称为算符。

u与v中得变量可能相同,也可能不同。

例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。

1.算符得一般运算(1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。

(2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。

算符得相加满足交换律。

(3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。

算符得相乘一般不满足交换律。

如果,则称与对易。

2.几种特殊算符(1)单位算符对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。

与1就是等价得。

(2)线性算符对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。

(3)逆算符对于任意函数u,若则称与互为逆算符。

即,。

并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。

其解u可表示为对应齐次方程得通解u。

与非齐次方程得特解之与,即。

因,所以不存在使。

一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。

从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。

(4)转置算符令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。

若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。

定义波函数与得标积为:(3、1-2)与得标积以及与得标积为:若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。

下面考虑在任意标积中得性质。

波函数与在无限远点也应满足连续性条件:[可都等于零],,所以得:可见在任意标积中,。

(5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。

以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。

即厄密算符得定义为:或写为(3、1-3)可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。

量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。

算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。

本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。

一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。

算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。

1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。

2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。

一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。

二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。

1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。

对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。

2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。

在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。

3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。

设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。

本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

物理学中的量子力学算符量子力学算符是描述量子体系中物理量的数学符号。

它们起到了连接数学和物理的桥梁作用，在量子力学的研究中扮演着至关重要的角色。

本文将介绍量子力学算符的定义、性质和应用。

一、算符的定义在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象。

它们表示了对某一物理量的测量操作，可以通过对量子态作用，得到相应的测量结果。

量子力学中的算符是一个线性操作，它作用在量子态上，将其变换为另一个量子态。

一个算符可以用一个矩阵表示，这个矩阵被称为算符的矩阵表示。

算符的定义可以通过其对量子态的作用来描述。

一个算符作用在一个量子态上，可以得到另一个量子态或者一个实数/复数，表示了对相应物理量的测量结果。

二、算符的性质1. 线性性质：算符是一个线性操作，满足线性组合的性质。

即对于任意两个量子态A和B，以及标量α、β，有F(αA + βB) = αF(A) + βF(B)其中F表示算符。

2. Hermite性质：算符的矩阵表示通常是一个厄米矩阵，即满足Hermitian条件F† = F其中†表示共轭转置。

3. 幺正性质：算符的矩阵表示通常是一个幺正矩阵，即满足Unitary 条件F†F = FF† = I其中I表示单位矩阵。

4. 对易性质：两个算符F和G的对易子为0，即[F, G] = 0，当且仅当F和G的矩阵表示是可交换的。

三、算符的应用1. 算符的本征值和本征态：算符可以在量子体系中寻找本征值和本征态，本征值表示对应物理量的测量结果，本征态表示对应的量子态。

2. 算符的测量：算符作用在量子态上，得到相应物理量的测量结果。

在进行实验测量时，可以通过算符的本征值和本征态来进行计算和预测。

3. 算符的演化：算符可以描述量子体系的演化。

根据量子力学的演化方程，我们可以通过将时间演化算符作用在初始量子态上，得到不同时间的量子态。

4. 算符的代数：算符之间满足代数运算的规律。

通过对算符的代数性质进行研究，可以得到更多有关量子体系的信息和性质。