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量子力学第三章-1

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量子力学课件第三章

量子力学课件第三章

第三章形式理论3.1希耳伯特（Hilbert ）空间在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。

其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。

本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。

从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。

波函数和算符是量子理论的两块基石。

体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。

数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。

因此，量子力学的自然语言是线性代数。

1但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。

在N 维空间中，可以简单地用对应于N 个正交归一基矢的分量，{}n a ，的一个N 行列矩阵表示一个矢量α，即：12.N a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭a [3.1]两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）αβ是一个复数，***1122.N N a b a b a b αβ=++ [3.2]线性变换T 用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：11112121222212.N N N N NN N a t t t t t t a T t t t a βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b Ta [3.3] 但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维空间中，对于它们，用N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。

（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。

）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。

所有x 的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。

量子力学第三章3.1_1

量子力学第三章3.1_1


∂2 ∂ ∂2 ∂ ˆ F = a 0 + a1 + b2 2 + … + a 2 2 + … + b1 ∂y ∂x ∂x ∂y
∂ ∂2 + c1 + c 2 2 + … ∂z ∂z
其中 a 0 , a 1 , a 2 ,…, b1 , b 2 ,…, c1 , c 2 … 是 x , y, z 的函数。 ˆ ˆ ˆ ˆ 如 x , p , H ，还有要讲的角动量算符 L 等…。
F( x ) =
∑
∞
F
(n )
n =0
(0) n x n!
∂n F ( n ) (0) = F( x ) n ∂x x =0
∞
ˆ F(A ) =
i ˆ − Ht h ∞
∑
n =0
F ( n ) (0) ˆ n A n!
例如：e
=∑
n =0
1 i ˆ n [− Ht ] 。 n! h
9. 算符的本征值与本征函数
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 电子在库仑场中的运动 §3.4 氢原子 §3.5 厄米算符本征函数正交性 §3.6 算符与力学量的关系 §3.7 算符对易关系，两力学量同时有确定值 的条件，测不准关系 §3.8 力学量平均值随时间的变化，守恒定律
一、算符的一般性质 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符 号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符
ˆˆ 易。并且有性质：FG
( )
−1
ˆ −1F −1 。 = G ˆ
6. 算符的复共轭、转置和厄米共轭
ˆ ˆ ˆ （1）算符 F 的复共轭算符 F* ，由 F 表示中复量换
量子力学第三章

量子力学第三章


当 x a 或x 0，方程中含有 x 项
因 (x) 及 E 有限
( x) 0
（3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁
13
一维无限深势阱 方程（1）
当 0 xa
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
束缚态：0<E<V0
0, V ( x) V0
d 2 k 2 0 dx 2 2mE k
General Solution
V(x)
x a/2 x a/2
I
V 定理3：设 V x 具有空间反演不变性， x V x 。
4
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
宇称
空间反射：空间矢量反向的操作。
r r
(r , t ) (r , t )
归一化条件
A 2
a
17
一维无限深势阱
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
推导:



| n x | dx
2
a 2
0

| n | dx | n | dx | n | dx
2 2 2 0 a
ˆ 定义：空间反射算符，又称宇称算符 P ：
ˆ (r , t ) (r , t ) P
5
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
量子力学导论第3章答案

量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

[理学]第三章量子力学中的力学量1

[理学]第三章量子力学中的力学量1


能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件

第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件


1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
量子力学讲义第3章

量子力学讲义第3章

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。

3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。

以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

量子力学 第三章

量子力学 第三章


−ρ / 2
[s(s −1) − l(l + 1)]b0 ρ
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s−2
+ ∑[(ν + s)(ν + s − 1) − l(l + 1)]bν ρν +s−2
ν =1
∞
∑ bν ρ ν
s+ν −1
:
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
即
b ≠ 0 0 s ≥ 1
对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。
个取值。 ˆ 对给定的 l ， m 有 ( 2l + 1) 个取值。 L2 的本征值是 ( 2l + 1) 度 简并的。 简并的。
∑[(ν + s)(ν + s −1) − l(l +1)]bν ρ ν
=0
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为： 把第一个求和号中ν= 项单独写出，则上式改为：
u αf (ρ )e R= = r ρ =e
−ρ / 2 =0
四、讨论： 讨论：
ˆ ˆ a. Ylm 是 L z , L2 得共同本征函数 .
ˆ L2 Ylm = l(l + 1)h 2 Ylm
ˆ = −ih ∂ 作用于 Ylm 上，有： 而让 L z ∂ϕ ∂ m ˆ L z Ylm (θ, ϕ) = − ih [(−1) m N lm Pl (cos θ)e imϕ ] ∂ϕ
量子力学 第三章 课件

量子力学 第三章 课件


可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即
量子力学3-1

量子力学3-1

ˆB ˆ A
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： ˆB ˆ B ˆ ) A ˆ (A 这是算符最基本的运算。
5
交换律和结合律：
ˆB ˆ ˆB ˆA A ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆ C ˆ) C A
（3）算符乘积：
ˆ (B ˆB ˆ ) ( A ˆ ) A
运算依次从右向左进行
注意算符的乘积一般不对易：
ˆB ˆ ˆB ˆA A
6
（4）算符对易
ˆ 、B ˆ 满足关系 如果算符A
即 A ˆB ˆ 0 ˆB ˆ ˆB ˆA ˆ B ˆA A ˆ ，B ˆ] 0 ˆ 、B ˆ 对易， 并记作 [ A 则称算符A
d2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 d
x
18
( ) e
2 / 2
u( )
求解厄米方程，得到厄米多项式解 u ( )
最终得到一维谐振子哈密顿算符的本征能量
1 E n (n )，n 0,1,2, 2 及相应的本征波函数
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理 1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示； 2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程； 这里介绍量子力学的另一个基本原理 3）量子力学中的力学量可以用算符来表示
ˆ 即 F ( p, r ) ~ F (i, r )
对易关系的一般运算法则
ˆ, B ˆ] B ˆ, C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ [A ˆ ]C 最常用的运算法则 [ A
ˆB ˆ] A ˆ [B ˆ][A ˆ, C ˆ ]B ˆ, C ˆ, C ˆ [A
(完整)曾谨言量子力学第3章ppt

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n
例，若 Aˆ d dx
则
Aˆ n dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
[Aˆ m, Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ ,φ ) dτψ φ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ ,φ ) dτψ φ
φ arctan(y / x)
lˆx
isin φ
θ
cotθ cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
sin φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sin θ
θ
sin θ
θ
1
sin 2 θ
2
φ
2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγ ixγ
εαβγ ε βαγ εαγβ
即 (Aˆ A)ψ 0
或写成 Aˆn Ann
( 3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态， 方程(3)称为算符A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现 的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的 本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
~ 0 x x
练习 证明： (1) pˆ x pˆ x , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为
Aˆψ (Aˆψ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 如 pˆ (i) i pˆ

量子力学 第三章知识点


= − n p a (n(p−1))n2e−xp( p(−ai)p2a ) −1
因此，最后得到：
C( p) 2
= −
( np
p a3n2
)2 − ( pa
)2
2
(−1)n exp (−ipa
) −12
=−
(
np
p a3n2
)2 − ( pa
)2
2
(−1)n cos ( pa
) −1 − i sin ( pa
i
nap − p p i na
+
p
x
a 0
= − 2 p1 a exp i nnap p −− pp a −1p p + exp −i nna ++pp
a
−1
a
a
= − 1 2nap (−1)n exp (−ipa ) −1
2 p a
nap − pp na
+
p
时粒子处于动量取值在 p − p + dp 内的几率，以及粒子波函数ψ (x, t) 的表达式。
[解] 由于阱壁突然崩塌，粒子变为自由粒子。此时哈密顿量为 Hˆ = pˆ 2 ，能量本征值以及本征函数 2µ
分别= 为 E p2 (−∞ < p < +∞),
2µ
ϕ= p (x)
1 2p
exp
i
px
∫ ∫ ∞
= ψ (x, 0) = C( p)ϕ p (x)dp
−∞
1 2p
∞ −∞
C
(
p)
exp
i pxBiblioteka dp由此可得：∫ = C( p) 21p −∞∞ψ (x, 0) exp p = − i px dx 21

量子力学第三章算符及量子力学主要知识点复习资料

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv =（3.1-1）ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =，3v =(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==，从而由ˆFv af =得：1ˆF af υ-=。

量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第3章-1


2 2 α ⋅ e − α x 2 ⋅ H n+ 1 (α x ) n π ⋅ 2 ⋅ n!
α π ⋅2
n− 1
⋅ ( n − 1) !
⋅ ⋅
n − α 2x2 2 ⋅e ⋅ H n− 1 (α x ) 2 n + 1 − α 2x2 2 ⋅e ⋅ H n+ 1 (α x ) 2
n+ 1
π ⋅ 2 n+ 1 ⋅ ( n + 1) !
（1）
其中，归一化常数
α , π ⋅ 2 n ⋅ n!
α =
mω
（2）
H n (α x) 的递推关系为 ∴ xψ n ( x ) = An e − α = = = + =
2 2
H n + 1 (α x) − 2α xH n (α x) + 2nH n − 1 (α x) = 0. ⋅ xH n (α x ) =
1 mω 2 x 2 − qε x 2
（ 1）
p2 1 H= + mω 2 x 2 − qε x = H 0 − qε x 2m 2 = An e − α
2 2
（2）
H 0 的本征函数为ψ
x 2
n
1 ( 0) H n (α x) ，本征值 E n = n + ω 2
现将 H 的本征值记为 E n ，本症函数记为 ϕ n ( x) 。 式（1）的势能项可以写成 其中 如作坐标平移，令 由于
3 2
sin
π ny y π nx x πn y sin sin z a a a
n x = n y = n z 时，能级不简并； n x , n y , n z 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 n x , n y , n z 三者皆不相等时，能级一般为 6 度简并的。

北京大学量子力学教材 第三章

第三章一维定态问题第三章 目 录§3.1一般性质 (3)（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的 (3)（2）不同的分立能级的波函数是正交的。

(4)（3）振荡定理 (5)（4）在无穷大位势处的边条件 (5)§3.2阶梯位势 (6)§3.3位垒穿透 (9)（1） E<V 0 (9)（2） 0V E > (11)（3）结果讨论 (11)§3.4方位阱穿透 (11)§3.5一维无限深方位阱 (12)（1）能量本征值和本征函数 (12)（2）结果讨论 .................................. 13 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 .. (14)（1）宇称 (14)（2）有限对称方位阱 (15)（3） 求粒子在双δ位阱中运动 (18)§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 (21)（1） 半壁δ位阱的散射 (21)（2）有限深方位阱 (23)§3.8 一维谐振子的代数解法 (23)（1）能量本征值 (24)（2） 能量本征函数 (26)（3）讨论和结论 (28)§3.9 相干态 (30)（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 .................... 30 （2） 相干态的性质 .. (31)第三章 一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。

当 )r (V )t ,r (V =则薛定谔方程 )t ,r ()p ˆ,r (H ˆ)t ,r (ti ψ=ψ∂∂ 有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ϕ而 )r (u E 满足 )r (Eu )r (u )p ˆ,r (HˆE E = 事实上，当)r (V 有一定性质时，如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。

量子力学第三章


2
a ( n
1 2
( n )

2
2 a
所以
E
n


2

2
于是波 函数：
1 2 ( n ) 2 2 a

( 2 n1)
2 2
2
8 a
2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 n A sin(x ) A cos x A cos x A cos x 2 a 2a

d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2


2
I
0 0 0
V(x)
II

2
II
I -a
II 0 a
III
III

2
III

V(x)

1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ，
I
II
III
-a

类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m
2
2

2
2
8a
I
对应 m = 2 n

III

m

0 m 2a x m 0 的偶数
I II
0
C 1e
x
a
C 2e
x
ψ 有限条件要求 C2=0。

x
I

d dx d dx d dx

量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点


所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
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1、 力学量算符本征函数组成完全系（完备系） 2、 力学量的可能值和相应几率 3、 力学量有确定值的条件
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
组成正交归一系 ∫0 ∫0 组成正交归一系
∞
Hale Waihona Puke 2π* Ylm (θ , ϕ )Yl ′m′ (θ , ϕ )sin θ dθ dϕ = δ ll ′δ mm′
4、氢原子波函数 ψ nlm ( r,θ ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm (θ ,ϕ )
∫ ∫ ∫ Y (θ ,ϕ )Y ′(θ ,ϕ )r sin θ drdθ dϕ = δ 5、一维无限深方势阱（宽a）的能量本征函数
' 〈ϕ1 |ψ 3 〉 = 0 = 〈ϕ1 |ψ 3 〉 + C31 ' 〈ϕ 2 |ψ 3 〉 = 0 = 〈ϕ 2 |ψ 3 〉 + C32
得
C31 = −〈ϕ1 |ψ 3 〉 C32 = −〈ϕ 2 |ψ 3 〉
于是 ψ ' = ψ + C ϕ + C ϕ 3 3 32 2 31 1
ψ 3' ϕ3 =
1 imφ e 2π
ˆ 无穷深势阱 H ˆ 线性谐振子 H
1 nπ sin[ ( x + a )] 2a a
−
ψ n ( x) = N ne
α 2 x2
2
H n (α x )
但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一 般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点 分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。 2、 力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态 ψ(x) 中测量力学量 F，将会得到 哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。
二式相减，得
( Fm − Fn )∫ φm *φndτ = 0
若 Fm≠Fn，则必有：
∫φ
证毕。
m
* φn d τ = 0
…（2）
3、分立谱、连续谱正交归一表示式 分立谱、 （1）分立谱正交归一条件为： ）分立谱正交归一条件为：
φn *φndτ = 1 归一 ∫ ∫ φm *φndτ = 0 正交
ˆ 根据3.1节的基本假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F 的本征值λn （n = 1,2,…)之一,该本征值由本征方程
ˆ Fφn ( x) = λnφn ( x)
n = 1,2,L
确定。而每一本征值λn各以一定几率出现。那么这些几率究竟是多少呢？下 面我们讨论这个问题。 由于ϕn(x)组成完备系，所以体系任一状态 ψ(x)可按其展开：
' ' 〈ψ 3 |ψ 3 〉
对于 n>3 重简并态，同样可以正交化。
三、实例
1、线性谐振子能量本征函数 ψ n ( x ) = N n e
−∞
−
α 2 x2
2
H n (α x )
组成正交归一系 N N ∞ e −α 2 x 2 H (α x )H (α x )dx = δ n n′ ∫ n n′ nn′
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n
展开系数 cn与x无关。为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得：
∫
∗ ∗ φ m ( x )ψ ( x )dx = ∫ φ m ( x )∑ c nφ n ( x )dx n
= ∑ cn ∫ φm * ( x )φn ( x )dx
= ∑ cnδ mn = cm
∫ψ
nj
*ψnj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
正交条件有f(f f(f方程的归一化条件有 f 个，正交条件有f(f-1)/2 个，所以共有独立 方程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。 因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， ， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来 ˆ 确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数 ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化本征函数。
ψ ( x) = ∑ cnφn ( x)
n
相应几率是：|c1|2,|c2|2,...,|cm|2,... 现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。于
ˆ 是得 ψ(x)= φm(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。
二、施密特正交化方法 例1. 能级 E 有3个简并态ψ1 ，ψ2和ψ3，彼此线性独立，但不正交。试把它 们构成正交归一的波函数。 解： 第 1 步，把ψ1归一化 ϕ =ψ1
1
〈ψ 1 |ψ 1 〉
为了简化书写，记
〈ψ i |ψ j 〉 = ∫ ψ i*ψ j dτ
第 2 步，利用 ϕ1 和 ψ2 构成 ψ 2 ，
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
一、厄米算符本征函数的正交性 二、施密特正交化方法 三、实例
一、正交性
1、定义：如果两函数 ψ1 和ψ2 满足关系式
ψ 1*ψ 2 dτ = 0 ∫
…（1）
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则我们称函数 ψ1 和ψ2 相互正交。 2、定理：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 、定理：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
'
' ψ 2 = ψ 2 + C21ϕ1
使 故
' 〈ϕ1 |ψ 2 〉 = 0 = 〈ϕ1 |ψ 2 〉 + C 21
C 21 = −〈ϕ1 |ψ 2 〉
' ψ 2 = ψ 2 − 〈ϕ1 |ψ 2 〉ϕ1 于是 ' ' 再将 ψ 2 归一化 ψ2 ϕ2 = ' ' 〈ψ 2 |ψ 2 〉
第3步，令 ψ 3' = ψ 3 + C32ϕ 2 + C31ϕ1 由正交性
∫φ
m
*φndτ = δmn
…（3）
（2）连续谱正交归一条件为： ）连续谱正交归一条件为：
∫φλ *φλ dτ = δ (λ − λ′)
′
…（4）
（3） 正交归一系 ） 满足（3）或（4）式的函数系φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
4、简并情况
上面证明厄米算符本征函数的正交性时， 上面证明厄米算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本 征值，即非简并情况。 征值，即非简并情况。
证： 1. 必要性 若 F 具有确定值 λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。
[确定值的意思就是每次测量都为λ 。]
ˆ 根据3.1节基本假定，测量值必为本征值之一，令λ=λm 是 F 的 一个本征值，满足本征方程
ˆ Fφn ( x) = λnφn ( x)
n = 1,2,L, m,L
且测得可能值是：λ1,λ2,...,λm … 又根据本节基本假定，φn(x) 组成完备系，
证： 设
ˆ Fφn = Fφn n
ˆ Fφm = F φm m
存在
并设积分
∫φ
m
* φn dτ
对
ˆ Fφm = Fmφm 两边取复共轭，并注意到 Fm 为实数。有
ˆ (Fφm )* = Fmφm * 两边右乘 φn 后积分 ˆ ∫ (Fφm )*φndτ = Fm ∫φm *φndτ ˆ ˆ ∫ (Fφm )*φndτ = ∫φm * Fφndτ = Fn ∫φm *φndτ
ˆ 如果 F 的本征值 Fn 是 φn1 满足本征方程： 满足本征方程：
f 度简并的，则对应 Fn 有 f 个本征函数： 度简并的， 个本征函数： ,φn2 , ..., φnf
ˆ Fφni = Fnφni
i = 1,2,L, f
一般说来，这些函数并不一定正交。 一般说来，这些函数并不一定正交。 但是， 但是，可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新 函数， 且满足正交归一化条件。 函数，它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。 证明： 证明：由这 f 个φni 线性组合成 f 个新函数 ψnj