正弦函数、余弦函数的单调性与最值.pdf

栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
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第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
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第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]

正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(

) – sin( 18



10
)
解： 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2

3 2

________ T＝2π
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．

23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]

x 内的任意一个 ，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。

3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2


y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y
1
y=sinx (xR)
2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-
o
-1
y=cosx (xR) 单调性（单调区间）
x
函数
奇偶性 [

2
+2k, +2k],kZ 单调递增 +2k,
3 2 2

y=sinx
奇函数

余弦函数的单调性
y
1
-3

5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…


2
…
0
1
…

2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ 减区间为 [2k, 2k + ], kZ ， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
k


k

4
x k

4
,k Z
y为减函数
函数
奇偶性 [

2
单调性（单调区间） +2k, +2k],kZ 单调递增

正弦函数 奇函数
[

2
+2k,
3 2
2
+2k],kZ 单调递减
单调递增

令−
2

则−
3

即−
6

)的单调区间和函数
6


+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3

+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3


所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3


3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到 ；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =

−
2
+ 2，得 =

−
4

−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的

4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的


[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1

2

+
3

3
≤≤ .
所以，函数 =

k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：

y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦函数y＝sin x在R 上是增函数． (2)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]． (3)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2. (4)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z . 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
函数单调递减，故函数的单调递减区间是
4kπ－23π，4kπ＋43π
(k∈Z )．
(2)∵y＝2sinπ4 －x＝－2sinx－π4 ，
∴函数y＝－2sinx－π4 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋π2 ≤x－π4 ≤2kπ＋3π2 (k∈Z )，
①
ππ
π
2kπ－ 2 ≤x－ 4 ≤2kπ＋ 2 (k∈Z )．
知识点 正、余弦函数的单调性与最值 正弦函数
图象
值域
_[－__1_，__1_]
ห้องสมุดไป่ตู้
余弦函数 _[－__1_，__1_]
正弦函数
余弦函数
单
增区间 __－_π_2_＋__2_k_π__，___π2__＋_2_k_π___， [_π__＋__2k_π__，__2_π__＋__2_kπ__]_，_
调
__k_∈_Z____
所以sinπ5 <sin2π 5 ，
所以sin215π<425π.
答案：<
4．求函数f(x)＝sin2x－π4 在0，π2 上的单调递增区间．
π
π
π
解：令2kπ－ 2 ≤2x－ 4 ≤2kπ＋ 2 ，k∈Z ，
解得kπ－π8 ≤x≤kπ＋3π8 ，k∈Z ，又0≤x≤π2 ，
所以f(x)在0，π2 上的单调递增区间是0，3π 8 .

上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

+ ( ∈ ) 时取得最大值1，


当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；

①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +




+ ，所以自变量增加 ，函数值




+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.


单调性


−
−



−



同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

函数 名称
图象与 性质
性质分类
定义域 相
同
值域
处 周期性
y＝sinx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
y＝cosx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
正、余弦函数的所有性质都是针对自变量x本身而言 的．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于原点成中心对称， 其图象在对称中心和对称轴处对应的分别为函数的零点和 最值点．正弦函数有单调区间，但并不是定义域上的单调 函数，即：它在整个定义域内并不单调．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
【名师点拨】
(1)对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx类型的函数求 值域时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时一定 要注意函数的定义域．
(2)对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx ＋C类型的函数求值域时，可采用换元法求解．
已知函数 y＝2acos2x－3π＋b 的定义域是 0，π2，值域是[－5,1]，求 a，b 的值．
【名师点拨】
求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)的单调区间，一定要注意到函数中A与ω的符 号．如果ω<0，一般利用诱导公式将x的系数化为正数， 再求解．

易错提醒:求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把 ωx+φ 看作一个整体,借助 y=sin x 的单调区间来解决.当 A<0 或 ω<0 时,要注意原函数的单调性与函数 y=sin x 的单调性的关系.
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
解析:当 sin x=-1,即 x=- +2kπ,k∈Z 时, 函数 y=2-sin x 取得最大值 3.
4.函数 y=3-2cos( x+ )的最大值为 5 , 此时自变量 x 的 取值是 3kπ+π,k∈Z .
解析:当 cos( x+ )=-1 时,ymax=3-2×(-1)=5.此时自变量 x=3kπ+π,k∈Z.
所以 ≤ω≤ ,故选 C. 答案:C
探索点二 比较三角函数值大小问题 【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)cos(- )与 cos(- );(2)sin 194°与 cos 160°.
【解题模型示范】
【跟踪训练】 4.cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是cos 1>cos 2>cos 3.(用 “>”连接)
课堂建构
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)由 y=cos(x+ ),x∈[0, ],得 x+ ∈[ , ].