正弦函数、余弦函数的单调性与最值(20200416222240)

第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去． 综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。

在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。

1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。

这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。

正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。

这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。

所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。

我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。

在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。

这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。

所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。

正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。

由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。

正弦函数和余弦函数的单调区间正弦函数和余弦函数是微积分中普遍存在的重要函数，它们描述了实际生活中许多运动和变化现象，也给科学技术提供了重要的理论基础。

本文从数学角度对正弦函数和余弦函数的单调区间展开探讨，以期深入理解这两个函数的特性。

首先，从数学定义上来看，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的参数都是角度，用弧度表示，表达式分别为：$sin(theta)=y$,$cos(theta)=x$其中，$theta$为角度，y,x均为实数。

当变量角度$theta 从小到大变化时，正弦函数和余弦函数在单调区间上也有一定的变化规律。

正弦函数变化的单调区间为：$(k pi + frac{pi}{2}, k pi + frac{3pi}{2}), k in Z$，此时正弦函数从小到大为不减的，从大到小也不增的；而余弦函数的变区间为$(k pi, (k+1) pi), k in Z$，此时余弦函数从小到大为不增的，从大到小也不减的。

有了上述定义，正弦函数和余弦函数的单调区间就可以明确表示出来，其示意图如下：图1弦函数和余弦函数的单调区间从上图可以看出，正弦函数和余弦函数的变化规律也可以用“山状图”来表达，由此可以得出各自的“最大值点”、“最小值点”等。

正弦函数的最大值点为$(k pi + frac{3pi}{2},1)$,最小值点为$(k pi + frac{pi}{2}, -1)$，而余弦函数的最大值点为$(k pi + frac{pi}{2},1)$,最小值点为$((k+1) pi, -1)$。

得出最大值和最小值的原因是，在正弦函数和余弦函数的单调区间内，正弦函数和余弦函数的函数值均达到最大值和最小值，其两个函数值都不会再变化。

在实际应用中，正弦函数和余弦函数的单调区间也需要进行重点研究。

比如，电磁学中，电磁矢量的变化方式符合波动定律，它的变化过程也与正弦函数有着密切的关系，其变化幅度也可以由正弦函数来表示；而噪声抑制件的设计也基于正弦函数的单调区间特性，来抑制干扰噪声。

第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。