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二次函数第二讲1

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二次函数 第二讲一、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 二次函数图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a-=-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二、二次函数的应用：1.二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； 二次函数常见题型：①利润最大化问题②面积最大化问题2.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．典型例题（一）用函数的观点看一元二次方程题型一：抛物线与坐标轴交点问题1.抛物线5322--=x x y 与y 轴交于点＿＿＿＿,与x 轴交于点---------- .2.一元二次方程1032-+x x =0的两个根是1x = -2 ,2x =5/3, 那么二次函数1032-+=x x y 与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.2x 3.若抛物线cbx x y ++=2的顶点在第一象限,则方程02=++c bx x 的根的情况是＿＿＿＿＿.4.关于x 的方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第------象限。

题型二：抛物线与直线交点问题5.直线 y=2x+1 与抛物线 342++=x x y 有＿＿＿＿个交点.6.函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么关于x 的方程032=-++c bx ax 的根的情况是（）A 有两个不相等的实数根B 、有两个异号实数根C 有两个相等的实数根D 、无实数根7.已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么关于x 的方程022=+++c bx ax 的根的情况 （）A 、无实根B 、有两个相等的实数根C 、有两个异号实数根D 、有两个同号不相等实数根题型三：二次函数图像和坐标轴交点的证明8、已知二次函数22mmx x y --=（1）求证：对于任意实数m ，该二次函数的图像与x 轴总有公共点;（2）该二次函数的图像与x 轴有两个公共点A 、B ，且A 点坐标为（1、0），求B 点坐标。

9、m 为何值时，抛物线12)1(2-++-=m mx x m y 与x 轴没有交点？10、已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围； （3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于y x=-的对称点恰好是点M ，求m 的值.11、已知关于x 的方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0有两个正整数根. (1) 确定整数m 值；(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程(m-1)x2-(2m-1)x+2+x m=0的实数根的个数.（二）二次函数的实际应用题型一：二次函数利润问题[例1]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=xyxO1（备图）当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？[例2]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．[练习]：1.市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．2.青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克） … 25 242322…销售量y （千克）… 2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？ⅱ、二次函数面积最大值问题⑴．围成图形面积的最值①、只围二边的矩形面积最值问题例1、如图1用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？图1②、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面考墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？图2③、围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm,的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于172cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少（2）两个正方形的面积之和可能等于122cm吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

④、围成扇形的面积最值例4.用长为30米的铁丝围成一个扇形，问如何围扇形的面积最大？图3R⑵．截出图形面积的最值问题例5.如图4，△ABC是一块锐角三角形的余料，边BC=120cm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN,使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两点P,N在AB,AC上（1）问如何截才能使长方形零件PQMN的面积S最大？（2）在这个长方形零件PQMN的面积最大时，能否将余下的材料△APN,△BPQ,△MNC剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。

E如图4MN DAB CP例6.如图6，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4.(1)求四边形CGEF的面积S与x之间的函数关系式(2)求四边形CGEF的面积S是否存在着最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由。

D CBAGE F⑶，采光面积的最值例7.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。

（1） 求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米）之间的函数关系式； （2） 求自变量x 的取值范围；（3） 问如何设计才能使窗框的透光的面积最大？最大的透光面积是多少？图70.5米DF A ECBGH例8、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？例9、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．x(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n(n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x⑷，动态图形面积的最值[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？[例2]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．例3：如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ⅲ、建立二次函数模型例1、某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB是( )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ． 5 mABMO例2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）A ．4.6mB ．4.5mC ．4mD ．3.5m例3、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为------米例4、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．（第1题）课后自我检测 A 组1. （2011年北京四中中考全真模拟15）某兴趣小组做实验，将一个装满水的酒瓶倒 置，并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么该倒置酒瓶内水面高度h 随水流出时。

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第二讲 二次函数的图象

第二讲 二次函数的图象

第二讲：二次函数的图像教学设计者：黄 勇 教学接受者：一、考点梳理：考点一：1、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

2、二次函数图像的画法： 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数图象的平移：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22y ax = ()2y a x h =- ()2y a x h k =-+的图像。

2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴、c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵、c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）考点三、二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般：一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根（两点式）：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y--=。

《二次函数》课件

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3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数的课件ppt课件ppt课件

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二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
22.2第二讲 二次函数与方程和不等式及最值

22.2第二讲 二次函数与方程和不等式及最值

二次函数与方程、不等式关系及二次函数最值【要点梳理】要点一：二次函数与一元二次方程的关系要点二：二次函数与一元二次不等式的关系的图象的解方程有两个相等实数解要点三：二次函数求最值1.对于二次函数的最值问题我们一般转化为其顶点式来解决。

2.对于自变量x 取值范围没有要求的情况，函数的最值在抛物线的顶点处取得；3.对于自变量x 取值范围有特殊要求的，函数的最值需要根据函数此区间的单调性情况来判断；4.抛物线的对称性也是解决函数最值问题的关键。

要点四：二次函数线段、面积最值1. 二次函数与一次函数相结合2. 有线段最值，求面积最值【金题精讲】例1.二次函数的图像与x 轴有2个交点，则k 的取值范围为【变式1】若函数的图像与x 轴有且只有一个交点，在a 的值为_____。

【变式2】二次函数的图像与坐标轴只有两个交点，则c 的值为________。

【变式3】关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于_______点，此时________。

【变式4】直线1+=x y 与抛物线232++=x x y 的交点的个数为__________ 【变式5】如图，抛物线与直线y=bx+c 的两个交点分别为A(-2,4),B(1,1)，则关于x 的方程的解为___________.)0()a(2≠+-=a k h x y 362+-=x kx y a x x a y 24)1(2+--=32+++=c cx x y x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =2ax y =02=--c bx ax【变式6】已知函数 ，若使y=k 成立的x 的值恰好有3个,则k 的值为_____。

例2.二次函数，当x 满足什么条件时，函数值y 大于0？小于0？【变式1】如图二次函数的图像经过点（-1，0）、（3,0），当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A.x ≤-1或x ≥3B.x ＜-1或x ＞3C.-1＜x ＜3D.-1≤x ≤3【变式2】如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式 ＜0的解集是（ ）A.-1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜-1且x ＞5D.x ＜-1或x ＞5【变式3】二次函数的函数值大于一次函数y=x -1的数值时，求x 的取值范围。