浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题试题2011、2012年

科目代码: 科目代码: 881 科目名称: 科目名称: 高等代数
适用专业: 适用专业: 基础数学、 基础数学、计算数学、 计算数学、应用数学、 应用数学、运筹学与控制论、 运筹学与控制论、系统理论
提示： 1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分； 2、请填写准考证号后 6 位：____________。 一、填空题 填空题：(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．已知多项式 f(x)＝x3＋27, 则 f(x)在复数域 C 上的三个根是 .
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六、(20 分) 设 ε1, ε2, ε3, ε4 是四维空间 V 的一组基, 已知 V 的线性变换 A 在这组 基下的矩阵为:
A＝
3 −1 − 3 1 −1 3 1 −3 3 −1 −1 − 3 3 1 1 −3
,
五、(20 分) 记 Mn×s (P)＝{数域 P 上的所有 n×s 矩阵}, 则关于矩阵的加法与数 乘构成一个数域 P 上的线性空间. 设 A 是一个已知的 n 级方阵, 0 为 n×s 的 零矩阵. (1) 证明: 矩阵方程 AX＝0 的解集合 V 是的 Mn×s (P)一个线性子空间; (2) 如果矩阵 A 的秩为 r, 求子空间 V 的维数 dim (V).
2． 设 A*是 n 阶可逆矩阵 A 的伴随矩阵, 如果矩阵 A 的行列式 | A |＝d≠0, 那 么 A*的逆矩阵的行列式 | (A*)－1 |＝ . 3．设 B, C, D 都是 6×2 矩阵, 记分块矩阵 A＝( B, C, D ), 如果矩阵 A 的行 列式 | A |＝a, 那么, 分块矩阵 ( B, 2C, 3D ) 的行列式等于 4．已知 n 维实向量 α1, α2, α3 线性无关, 且 β1＝α1＋α2－α3, β2＝α1－kα2＋α3, β3＝3α1＋α2＋kα3, . (k∈R) .

浙江师范大学《数学分析B （二）》考试卷（A 卷） (2010-2011学年第2学期)考试形式 笔试（闭卷） 使用学生 数101，103 考试时间 150分钟 出卷时间 2011年6月1日 说明： 考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。

一、选择题（每小题2分，共12分）1. 设⎰+=C x F x x f )(d )(，则+=--⎰C x e f e x x d )(( )．A ．)(x e F -B ．)(x e FC ．)(x e F -D ．)(x e F -- 2. 设0>a 且⎰+-a kx x22)2(d 收敛，则 ( ) ． A ．1k > B ．1=k C ．10<<k D ．k 与a 有关 3. 已知函数⎰+=xt ty 02)1(d , 则='')1(y ( )．A ．41-B ．21- C ．41 D ．214. 已知正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数收敛的是 ( )．A ．∑∞=11n n u B ．∑∞=11n n u C ．n n nu ∑∞=-1)1( D ．∑∞=1n n u n5. 下列反常积分中，收敛的积分是( )．A ．⎰10d x xB ．⎰∞+1d xx C ．⎰∞+1sin d x x D ．⎰-113d x x 6. 函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是( )． A ．连续 B ．有界 C ．无间断点 D ．有原函数 二、填空题（每小题2分，共8分） 1. 极限=++++++∞→)21(lim 222222nn nn n n n n ① ． 2. =⎰→320d sin limx t t x x ① ② ．3. 若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则)13(+x f 的一个原函数为 ① ②③ ．4. 幂级数n n nx n )1()1(0--∑∞=的收敛域是 ① ②③ ④ ．三、计算积分（每小题6分，共24分） 1.⎰-+x x e e xd ． 2. ⎰+x x x xd sin cos cos .3.⎰+-)1()1(d 222x x x． 4.x xx d 1)1ln(102⎰++． 四、解答题（每小题6分，共42分）1. 求函数x x x f -=1)(2的极值点、极值和单调区间．2. 求曲线t t ty xd 102⎰-=的拐点和凹凸区间．3. 求由2y x =与22y x =-所围图形的面积．4. 判别积分x xx d 1)sgn(sin 12⎰∞++敛散性． 5. 判别级数∑∞=+-1321)1(n nn 绝对收敛还是条件收敛．6. 判别级数∑∞=12n nn x 在]1,0[上一致收敛性．7. 求级数∑∞=+-+0)!12()1)(1(n nn n 的和．五、证明题（任选两题，每小题7分，共14分） 1. 证明xxx f sin )(=在),0(+∞上一致连续． 2. 若0d )(102=⎰x x f ，)(x f 在]1,0[上连续，证明在]1,0[上0)(=x f ．3. 证明∑∞==13sin )(n n nxx f 在),(+∞-∞有连续的导函数． 4. 证明级数∑∞=1sin n n nx在)2,0(π内闭一致收敛． 5. 证明当1>x 时，级数∑∞=+++1)()2)(1(!n n x x x n 收敛．浙江师范大学《数学分析B （二）》A 卷答案与评分参考(数101班 和 数103班)六、选择题（每小题2分，共12分）1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 七、填空题（每小题2分，共8分）①4π ②31 ③)13(31+x F ④]2,0(八、计算积分（每小题6分，共24分） 1.⎰-+x x e e xd ．解 原式C e e e e x e xx x x x +=+=+=⎰⎰arctan )(1d 1d 22． 2. ⎰+x x x xd sin cos cos .解 原式⎰+-+=x x x xx d )sin cos sin cos 1(21 C x x x x x x x x +++=+++=⎰)sin ln(cos 2121sin cos )sin d(cos 2121． 4.⎰+-)1()1(d 222x x x．解 因2222111)1(1)1()1(2x xx x x x ++---=+-，故原式C x x x +++-+--=)1ln(211ln 112． 5.x x x d 1)1ln(102⎰++．解 令t u -=4π，则t t u u t t d cos ln d cos ln d )4cos(ln 400440⎰⎰⎰=-=-ππππ，令t x tan =，则 原式t t x x d )tan 1ln(arctan d )1ln(4010⎰⎰+=+=πt t t t t d cos ln d )sin ln(cos 404⎰⎰-+=ππt t t t d cos ln d )4cos(2ln 4040⎰⎰--=πππ2ln 4π=． 九、解答题（每小题6分，共42分）8. 求函数x x x f -=1)(2的极值点、极值和单调区间．解 因)32(322x x x x -=-，⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-=1,1,)(2332x x x x x x x f ，故⎩⎨⎧>-<-='1,)23(1),32()(x x x x x x x f ，由0)(='x f 得两个稳定点0和32，因)1(f '不存在，故利用0，32和1将),(∞-∞分成4个区间，并列表如下：由上表知，极小值点为0和1，极大值点为32，极小值为0，极大值为274，单调增区间为)32,0(和),1(+∞，单调减区间为)0,(-∞和)1,32(． 9. 求曲线t t t y x d 102⎰-=的拐点和凹凸区间．解 因⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-='1,1,2332x x x x x x y ，故⎩⎨⎧>-<-=''1,)23(1),32(x x x x x x y ，由0=''y 解得32,0=x ．利用0，32和1，将),(∞-∞分成4个区间，并列表如下：由上表知，拐点：)0,0(、)274,32(和)0,1(，凹凸区间：)32,0(、),1(+∞、)0,(-∞和)1,32(． 10. 求由2y x =与22y x =-所围图形的面积． 解 面积为23423824344d )22(2d )22(203202222=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-⎰⎰-x x x x x x11. 判别积分x x x d 1)sgn(sin 12⎰∞++敛散性．解 绝对收敛．因22111)sgn(sin x x x +≤+，而⎰∞++121d x x 收敛，故由比较判别法即知．12. 判别级数∑∞=+-1321)1(n nn 绝对收敛还是条件收敛．解 条件收敛．因为（1）由01132↓+n 知，∑∞=+-1321)1(n nn 是Leibniz 级数，故收敛．（2）因11/1)1(lim3232=+-∞→nn nn ，而∑∞=1321n n发散知，故由比较判别法即知∑∞=+-1321)1(n nn 发散．13. 判别级数∑∞=12n nnx 在]1,0[上一致收敛性．解 因221n n x n ≤，而∑∞=121n n 收敛，故由M 判别法知，级数∑∞=12n n nx 在]1,0[上一致收敛．14. 求级数∑∞=+-+0)!12()1)(1(n nn n 的和．解 原式∑∑∞=∞=+-++-+=00)!12()1(21)!12()1)(21(n n n nn n n 21sin 1cos 1sin 21)!2()1(210+=+-=∑∞=n n n 十、证明题（任选两题，每小题7分，共14分） 6. 证明xxx f sin )(=在),0(+∞上一致连续． 证 0>∀ε，因⎪⎩⎪⎨⎧>==0,s i n 0,1)(x xxx x g 在]2,0[上连续，故由康托定理知，)(x g 在]2,0[上一致连续，因此存在与x 无关的)1,0(1∈δ，使得当1δ<-y x 且]2,0[,∈y x 时，有ε<-)()(y g x g ．取}2,m i n {1εδδ=，则01>>δ且δ与x 无关，当δ<-y x 且+∞<<<y x 0时，必有2≤y 或2>y ．情形1 若2≤y ，则因1<-y x ，故]2,0(,∈y x ，从而ε<-=-)()()()(y g x g y f x f ．情形2 若2>y ，则因1<-y x ，故),1[,+∞∈y x ，因此xyy x x y y yx x y f x f sin sin sin sin )()(-=-=-y x y y xyy y x y xy sin sin 1sin sin 1-+-≤x y xyy y x x -+-=sin sin sin 1x y y x -+-≤sin sin εδ≤<-≤22x y综上xxx f sin )(=在),0(+∞上一致连续．证完 7. 若0d )(102=⎰x x f ，)(x f 在]1,0[上连续，证明在]1,0[上0)(=x f ．证 因)(x f 在]1,0[上连续，若0)0(2≠f ，则0)0()(lim 22>=+→f x f x 知，必有 )1,0(0∈x ，使得0)(02>x f ．同理，若0)1(2≠f ，则由0)1()(lim 221>=-→f x f x 知，必有)1,0(0∈x ，使得0)(02>x f ．因此，若在]1,0[上0)(=x f 不成立，则不妨设)1,0(0∈x ，使得0)(02>x f ，因此0)()(lim 0220>=→x f x f x x ，由极限的保号性知，存在0>δ，使得)1,0(),(00∈+-δδx x ，且当δ<-0x x 时，0)(21)(022>>x f x f ，从而 ⎰⎰⎰⎰++--++=122021020000d )(d )(d )(d )(δδδδx x x x x x f x x f x x f x x f0)()(212d )(21d )(020********>=≥≥≥⎰⎰+-+-x f x f x x f x x f x x x x δδδδδδ这与0d )(102=⎰x x f 矛盾． 证完8. 证明∑∞==13sin )(n n nxx f 在),(+∞-∞有连续的导函数． 证 （1）233cos sin n nx n nx dx d =连续，（2）因 2213cos n n nx ≤，而∑∞=121n n 收敛，故由M 判别法知，级数∑∞=123cos n n nx在),(+∞-∞上一致收敛，（3）∑∞=13sin n n nx 在0=x 处收敛．因此，∑∞=123cos n n nx连续．而且∑∞=13sin n n nx 在),(+∞-∞可以逐项求导，即∑∞==13sin )(n n nx x f 在),(+∞-∞有连续的导函数．证完9. 证明级数∑∞=1sin n n nx在)2,0(π内闭一致收敛．证 设)2,0(],[π⊂b a ，则π20<<<b a ，记2sin 12sin 1b a M +=，则因M x xnx x x kx x x kx nk n k ≤≤---==∑∑==2sin12sin 2)2cos()2cos(sin 2sin 22sin 21sin 11， 对],[b a x ∈和1≥n 一致成立．而01↓n，故由级数一致收敛的Dirichlet 判别法知，级数∑∞=1sin n n nx 在],[b a 上一致收敛，这表明级数∑∞=1sin n n nx在)2,0(π内闭一致收敛．证完 10. 证明当1>x 时，级数∑∞=+++1)()2)(1(!n n x x x n 收敛．证 记)()2)(1(!n x x x n a n +++=，则因])()2)(1(!/)1()2)(1()!1(1[)1(1n x x x n n x x x n n a a n n n ++++++++-=-+ 11)111(>→++=+++-=x n x nxn x n n ，故由拉贝判别法的极限形式知，原级数收敛．证完。

。
A．编钟 B．竽 C．琵琶
D．箜篌
10．S.H.E演唱过一首采用了饶舌（Rap）风格的歌曲叫
，歌词主要是汉语的绕口令。
A．《中国话》 B．《Superstar》 C．《中国
人》 D．《龙的传人》
11．元杂剧中被誉为“天下夺魁”的是王实甫所作的 。
A．《牡丹亭》 B．《金瓶梅》 C．《窦娥
分）
一、填空题（共30小题，每小题1分，共30分）
1．中国古代编年体史书的代表作是《
》。
2．西汉时期在思想上施行“罢黜百家，独尊儒术”的帝王是
。
3．“金文”是商周时代刻在
上的文字。
4．《蒙娜丽莎的微笑》是画家
最著名的绘画作品之
一。
5．中国的四大发明中，在郑和下西洋时起了重要作用的是
。
6．“焚书坑儒”实际上遵循的是 家的思想。
A．哲学家黑格尔 B．作曲家肖邦 C．作家托尔斯
泰 D．诗人拜伦
4．“而立”指的是 。
A．20岁 B．30岁 C．40岁
D．50岁
5．“丝绸之路”的开辟者是 。
A．李广 B．郑和 C．张
骞 D．苏武
6．北京地区的宫廷菜源自四大菜系中的
。
A．鲁 B．川 C．
是
。
A．马可波罗
B．利玛窦 C．金尼
阁 D．汤若望
35．第二语言学习者在跨文化交际中对目的语文化不宜持有
的态度是 。
A．尊重 B．理解适应 C．求同存
异 D．全盘接受
贰 教育学、心理学及语言教学基础知识
（共30分）
四、填空题（共10小题，每小题1分，共10分）
1．在青春期以前，大脑语言功能侧化尚未完成，因此这是

5 3 −1 2 0 1 7 2 52 7、（14 分）求行列式 0 − 2 3 1 0 的值 0 −4 −1 4 0 0 2 3 50
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0 8、（14 分）已知 A = 1
1 1
2 4
，求
A
−1
。
2 −1 0
9、（20 分）如果矩阵 A满足Ak = 0, 试证： (E − A)−1 = E + A + A2 + A3 + Λ Ak−1.
0 1 2 −1 4 2 01 2 1 7、（14 分）求行列式 −1 3 5 1 2 的值。 3 31 2 1 2 10 3 5
8、（14
分）已知
A
=
2 1
2 −1
3 0
，求
A
−1
。
−1 2 1
9、（20 分）设α1,α 2 ,α3 线性无关，证明α1 + α 2 ,α 2 + α3 ,α3 + α1 也线性无关。
（1） lim sin x ； x→π π − x
（2） lim ( 1 n n→∞ 3
+
1+ 2 n3
+
Λ
+
1
+
2
+
3 n
+
3
Λ
+ n)
。
2、（12 分）试证：对于任意的实数 a 和 b 成立不等式
a+b 1+ a +b
a ≤ 1+ a
+
b 1+ b
.
3、（12 分）求 f (x) = x2 + 432 的极值点与极值。 x