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浙江师范大学2005年研究生一（每小题8分，共48分）计算题1、求极限 )11(sin lim3220x x x x x x --+-→.解 原式3000sin sin limlim lim 11x x x x x x x xx x x x→→→+-=+-- 3分 211lim3cos 1lim202xx x x x x -++-=→→ 5分316sin lim20==→xx x 8分 2、求级数∑∞=12n n x n 的和.解 作()=x f ∑∞=-112n n x n ，则()d xf t t =⎰∑∞=1n n nx 2分 作()=x g∑∞=-11n n nx ，则()d xg t t =⎰∑∞=1n n x xx-=1 因此()=x g2)1(1x - 5分()d xf t t =⎰2)1(x x-()=x f 223d 12d (1)(1)(1)x xx x x x =+---3)1(1x x -+=于是 ，原式()x xf=32)1(x x x -+=8分3、求级数 ()()111211k k k k k ∞=⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭∑的和.解 因()111111+-=+∑=n k k nk ，故()∑∞==+1111k k k 2分 为了求()1121kk k ∞=-+∑，作()=x f ()211121kk k x k +∞=-+∑， 4分则()='x f ()2222111111kkk x x x x ∞=--==-++∑ 5分 ()=x f 2011d [arctan ]01xx t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭⎰arctan x x =-+ 6分 π(1)14f =-+因此，原式π(1)14f =+=8分 4、求211d e d x y y x ⎰⎰的值.解 原式21d e d xx x y =⎰⎰4分21e d xx x =⎰21e e 122x ⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8分 5、求极限 ()lim lim cos !πnm n m x →∞→∞解 因cos !πm x 的周期为!2m ， 2分故当x为有理数时，存在正整数p 和整数q使得pq x =，这时当p m ≥时，cos !π1m x =，()lim cos !π1nn m x →∞=， 4分而当x 为无理数时，cos !π1m x <，()lim cos !π0nn m x →∞= 6分因此，原式1,0x x ⎧=⎨⎩当为有理数时，当为无理数时8分6、求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim解 原式n nk n k n 111lim1∑=∞→+=4分 1d 1xx =+⎰()[]2ln 011ln =+=x 8分二（14分）已知实数列}{n a 收敛于a ，且na a a S nn +++=21，用定义证明}{n S 也收敛于a .证记i i b a a =-，12k K b b b =+++，则0>∀ε，k 正整数∃，使得2ε<-a a n )(k n >, 3分因01→n ，故1k 正整数∃，使得2ε<n K ， 8分 令},max{12k k k =，则当2k n >时，有1212k k nnb b b a a a K a nn n+++++++-≤+εε<-+≤2n k n n K 14分 三（20分）设()t ϕ和()t ψ为二次可微函数，()()()y x y y x x y x u +++=ψϕ,证明0222222=∂∂+∂∂∂-∂∂y u y x u xu证ψϕϕ'+'+=y x u x ，ψψϕ'++'=y x u y 5分 ψϕϕ''+''+'=y x u xx 2 ，ψψϕϕ''+'+''+'=y x u xyψψϕ''+'+''=y x u yy 2 15分因此，左)(22ψψϕϕψϕϕ''+'+''+'-''+''+'=y x y x==''+'+''+02ψψϕy x 右 20分四（20分）设()x f 在[]0,π上连续，证明⑴()()πππsin d sin d 2xf x x f x x =⎰⎰⑵若()0≥x f ，[]0,πx ∈，且()π0d 0f x x =⎰，则()0≡x f ，[]0,πx ∈，证 记()πsin d I xf x x =⎰(1) 令πx t =-，则()πsin d I xf x x =⎰()π(π)sin d t f t t =-⎰()ππsin d f t t I =-⎰因此，左()ππsin d 2I f t t ===⎰右 10分（2）（用反证法）若不然，则[]00,πx ∃∈使得()00>x f ，由极限的保号性，存在开区间),(b a 使得[][]0,0,πx a b ∈⊂，且当),(b a x ∈时，有2)()(0x f x f >， 16分这与()πd 0f x x =⎰矛盾. 20分五（16分）若不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式，则c b a ,,应满足什么条件？解 因()2221(1)ax bx c c ax b c x x x x x ++++=-+--，故 当且仅当⎩⎨⎧=+=00c b a 时，不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式. 16分六（16分）若()x f 在()+∞,0上可微，0)(lim =∞→xx f x ，求证()+∞,0内存在一个数列}{n ξ，使得}{n ξ单调，+∞=∞→n n ξlim ，且0)(lim ='∞→n n f ξ.证法1 因()x f 在()+∞,0上可微，故n +∀∈Z ，()x f 在12,2n n-⎡⎤⎣⎦上连续，在()12,2n n -内可导，从而由拉格朗日中值定理知，n ξ∃∈ ()12,2n n -使11(2)(2)()22n n n n n f f f ξ---'=-，即1111(2)(2)(2)(2)()2222n n n n n n n n f f f f f ξ-----'==- 9分 因0)(lim =∞→xx f x ，lim 2nn →∞=+∞，故由海涅归结原则知，(2)lim 02n n n f →∞=，从而0)(lim ='∞→n n f ξ. 16分证法2 由0)(lim=∞→xx f x 知，0>∀ε，0K ∃>，使得当K x ≥时， ε<xx f )( 2分 01>∃K ，使当1K x ≥时，1)(<xx f ，122K K >∃，使当2K x ≥时，21)(<x x f ，12->∃n n K K ，使得当n K x ≥时，nx x f 1)(< 6分 用数学归纳法，得到一个数列}{n K ，在闭区间]2,[n n K K 上应用拉格朗日中值定理，()n n n K K 2,∈∃ξ，使得nn n n n K K K f K f f --='2)()2()(ξ 10分由12n n n K ξξ+<<知，数列}{n ξ单调增，由数列}{n K 满足11122n n n K K K -->>和10K >知+∞=∞→n n ξlim 13分由(2)()(2)()213()2n n n n n n n n n f K f K f K f K f K K K K n n nξ-'=≤+<+=-知0)(lim ='∞→n n f ξ 16分七（16分）设kn n k k n x x x u --=-=∑)1()(11，证明)(x u n 在[]1,0上一致收敛. 证法1106ε∀<<，当[]0,x ε∈时，11()211n n kn k x x u x x x εεε-=-≤=≤<--∑ 当[]1,1x ε∈-时，由对称性知 11()(1)2n kn k u x x ε-=≤-<∑ 当[],1x εε∈-时，1111()(1)(1)(1)n n k n kk n k n k k u x x x εε----===-≤--∑∑(1)(1)n n ε=-- 6分因lim(1)(1)0nn n ε→∞--=，故对上述的ε，∃正整数K 使得当n K >时，(1)(1)2n n εε--< 14分综上，当n K >时，kn n k k n x x x u --=-=∑)1()(112ε<，对[]1,0中的一切x 成立，这表明)(x u n 在[]1,0上一致收敛. 16分证法2当12x ≠时 220()(1)(1)n k n k n k u x x x x x ---==--∑()11(1)112n n x x x x x ---⎡⎤=--⎣⎦- 3分 由Dini 定理，要证)(x u n 在[]1,0上一致收敛.只需证明)(x u n 在[0,1]上下面分102x <<，112x <<，0x =，1x =这四种情形来证明 0)(lim =∞→x u n n即知极限函数一定连续. 7分 而当1(0,)2x ∈时，)()(1x u x u n n +-()[]0121)1(2222≥----=--n n x x xx x 当1(,1)2x ∈时，)()(1x u x u n n +-()[]0121)1(2222≥----=--n n x x xx x 当0x =或1x =时，()0n u x =，而当12x =时， 111111()2222n n k n k n k n u --=-==∑1111112()()022222n n n n n n n n u u +++---=-=> 10分于是，[0,1]x ∀∈，有)()(1x u x u n n +≥， 即)(x u n 关于n 单调， 16分。
浙江省2005年高考数学(文科）一．选择题（共10题，每题5分，共50分)1．设集合A 、B,则“A ∪B=∅"是“A ∩B=∅”的（A) 充分但不必要条件 (B ） 必要但不充分条件 (C) 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 2．已知20个样本：12 8 15 12 13 10 12 10 14 9 10 13 14 12 14 12 11 12 13 14 那么频率为0.1的范围是（A ）7。
5~9.5 （B ）9。
5~11。
5 (C)11。
5～13.5 （D ）13。
5～15.5 3．函数log 错误!(1－2x +x 2)的大致图像是下列各图中的，则此函数f (x )= （4．一个等差数列的项数为n ，若它的前3项与最后3项之和等于123，所有项之和为328,则n =(A) 14 (B)15 (C ）16 (D)175．已知（x －y ）n 展开式中第6项系数与第13项系数之和这0,若第k 项的系数最小,则k = (A ）8 (B)9 （C ）10 (D ）116．关于x 的不等式错误!≥0的解集｛x ｜－1≤x <2，或x ≥3},则点（a ＋b ，c )位于(A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 （D ） 第四象限7．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,则B 1C 1与平面A 1C 1D 所成的角为（A) 错误! （B) 错误! (A) arccos 错误! （D) arccos 错误!8．设F 1, F 2是椭圆错误!=1的焦点，P 2｜=5，则cos ∠F 1PF 2=(A ） －错误! （B ） －错误! （D) 错误! 9．(错误!＋cot110°)cos50°=(A ） 1 (B ） 错误! （C ） 2 (D) 错误! 10．下列四个函数中，满足｜f (x ）｜≤｜x ｜的是(A ） f （x ）=tan x (B) f （x )=1－cos x （C ） f (x )=x (sin x ＋cos x) (D) f (x )= cos x 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11．设错误!=(2, cos α), 错误!=( sin α,错误!） ，若错误!⊥错误!，则tan α= _________． 12．直线l 经过抛物线y 2=8x 的焦点的与抛物线交于点A 、B ，若|AB ｜=16，则AB 中点的横坐标为_____．13．已知OA 、OB 、OC 两两垂直，OA =OC =1，O 到平面ABC 的距离为错误!，则体积V 0—ABC =______．14．现有八盏灯排成2行,每行4盏，每盏灯显示红、绿颜色中的一种，则恰有两列上下颜A C 1色相同的排法共有__________种（用数字作答)． 三．解答题（共6小题，每小题14分，共84分)15． 已知函数f （x ）=（k －1)x 3＋x 2＋2（k －1)x 是偶函数(Ⅰ)求实数k 的值；(Ⅱ)解不等式f (x ） ＋2 x <3(｜x ＋1｜－1）． 16．已知函数f (x ）= 错误!sin2 x ＋sin 2 x －错误!， x 为实数．(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ)求函数f (x )在［0，错误!π］上的最大值和最小值．17．如图直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，AC =BC =CC 1=1，点D ,E 分别是AC 1、A 1B 1的中点．(Ⅰ)求异面直线AE 与BD 所成的角; (Ⅱ）求二面角E —AD —B 的大小． 18．在一次游戏中，甲乙两组向一个气球射击，每给两人，甲组每人的命中率为0.75,乙组每人的命中率为0。
绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 2．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则P ICUQ=A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 3．点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )A ．21 B ． 32C ．22D ．3224．设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A ． 12-B ．0C ．12D ．1 5．在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．-6B ．6C ．－10D ．106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数138576131810119则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.377．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题8．已知向量(5,3)a x =-r ，(2,)b x =r ，且a b ⊥r r，则由x 的值构成的集合是A ．{}2,3B ．{}1,6-C ．{}2D ．{}69．函数y=ax 2+1的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．110．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )121112oyx121112oyx121112oyx121112oyxA ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2005数学分析解答D解：112022000111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y yDdxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydyy y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、计算第二类曲线积分：22C ydx xdyI x y--=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。
解：22220022222tan 2222cos ,[0,2)2sin cos cos 222113cos 22cos 2213(2)(1)12arctan 421(2)(1)2311421C x x y ydx xdy I d x y x x x x d x dx x x x x ππθθθπθθθθθθθθ+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪∈⎨=⎪⎩---=−−−→=+++-+-++−−−−−→=--++++=-⎰⎰⎰换元万能公式代换226426212dx d x ππ+∞+∞-∞-∞+=-+++⎰6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。
证明：1111()1111(1)111()'()1[ln(1)]0()()()b bxb b bbxa a ab f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫=++-> ⎪+-⎝⎭，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证一、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。
证明：反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
浙江师范大学05级《近世代数》考试卷(2007～2008学年第二学期)考试类别考试使用学生数理学院数学05级初阳综合理科05级考试时间150分钟出卷时间2008年6月10日说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、选择题( 每小题2分，共20分)1．设A＝{a，b，c}，在下列运算表所给出的A的代数运算中，不满足结合律的是( )。
A BD2．设A，B是两个集合，且|A |＝4，|B |＝3，那么，| 2A×B |＝( )。
A．12 B．48 C．64 D．813．设S是一个半群，那么，在下列关于半群S的叙述中，正确的是( )。
A．S必定有左单位元e L或者有右单位元e RB．S中消去律必定成立C．如果S是一个交换半群，那么，S一定存在单位元D．如果S至少有两个不同的左单位元，那么，S必定没有右单位元4．设G1，G2是两个循环群，且G1＝(a)，G2＝(b)，那么，下列结论成立的是( )。
A．必存在G1到G2的同态映射f B．必存在G1到G2的同态满射f C．必存在G1到G2的同态单射f D．必存在G1到G2的同构映射f5．设G是一个群，H1，H2是G的两个子群，在下列各式中一定成立的是( )。
A．H1H2＝H1B．H1H2＝H1∪H2C．H1H2＝H1∩H2D．H1H1＝H16．设G是一个有限群，H是G的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是( )。
A．∀a，b∈G，有aba－1∈HB．∀a∈H，∀b∈G，有aba－1∈HC．∀a∈G，∀b∈H，有aba－1∈HD．如果aH＝bH，则ab－1＝b－1a7．设R是一个环，a，b∈R，n∈Z，在下列等式恒成立的是( )。
A．n(ab)＝(na)b＝a(nb) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(ab)2＝a2b2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b28．设Z15是以15为模的剩余类环，那么，Z15的子环共有( ) 个。
