工程结构非线性分析

R = r +u 写成分量形式：
ξi = xi + ui
第2章
16
4
¾Lagrange 描述－Green应变张量
x3
Q(xi + dxi )
ds0
P(xi ) O
Q '(ξi + dξi )
ds
P' (ξi )
x2
x1
第2章
17
ds02 = dxidxi
ds2 = dξidξi ∵ξi = xi + ui ∴ dξi = dxi + dui = dxi + ui, jdx j
∂u1 ∂ξ2
+
∂u2 ∂ξ1
∂u2 ∂ξ2
+
∂u3 ∂ξ1
∂u3 ) ∂ξ2
第2章
25
2.杆元的几何运动方程
y (v)
j’
l
u
i’ θ
i l0
v
j
x (u)
o
第2章
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• Almansi应变张量与工程应变的关系
以e11和e12为例进行说明：
相应的工程正应变和工程剪应变分别为ε1和γ
，
12
可以推得：
即约定：若某一项的同一个下标出现2次且仅出现2次时， 就表示将该下标轮换取1，2，3时所得各项之和，这种约定成为求和约定。 同一项中重复一次的标号成为求和标号或哑标； 同一项中不重复出现的标号称为自由标号，它表示一般项， 可取其为1，2，3中的任一值。
第2章
11
4. 根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k]
第2章
4
1
z全拉格朗日列式法（ T.L列式法－ Total Lagrangian Formulation）。选取to=0时刻 未变形物体的构形Ao作为参照构形进行分 析。
z修正的拉格朗日列式法（ U.L列式法－ Updated Lagrangian Formulation）。选取 tn时刻的物体构形An为参照构形。由于An随 计算而变化，因此其构形和坐标值也是变 化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增 量步的开始时刻。
第2章
6
2. 根据几何方程及位移函数确定应变矩阵[B]
{ε} = [B]{q} {ε} − 体内任一点应变； [B] − 应变矩阵； {q} − 节点位移列向量。
第2章
8
2
3. 求单元的总势能∏
Π =U −W
Π
=
1 2
{q}T
∫( [B]T v
[D][B]dV
){q}
−
{q}T
{P}
U
− 杆元的变形能，U
=
1 {q}T
2
∫( [B]T [D][B]dV v
){q}；
W－外力虚功，W = {q}T {P}；
{P} − 杆元杆端力列向量；
[D] − 材料的弹性矩阵。
第2章
9
四. 杆元非线性几何运动方程
1.变形体运动方程的一般描述
¾ 求和约定
3
∑ S = a1x1 + a2x2 + a3x3 = aixi = ai xi = amxm i=1
=
(1
+
2ε11
)ds
2
0
,
ds
=
1+ 2ε11ds0
第2章
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¾Euler 描述－Almansi应变张量
x3
Q(xi + dxi )
ds0
P(xi ) O
Q '(ξi + dξi )
ds
P' (ξi )
x2
x1
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6
ds2 − ds02 =（ui, j + u j,i + uk,iuk, j )dxidx j = 2eijdξidξ j 上式中的eij称为Euler应变张量或Almansi应 变张量，且有：
ε1 = 1− 1− 2e11
sin γ12 = −
2e12 1− 2e11 1− 2e22
可见当e11
,
e22和γ
均很小时，则同样有：
12
ε1 = e11，γ12 = 2e12
第2章
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ε = ∂u + 1 (∂u )2 + 1 (∂v )2
∂x 2 ∂x 2 ∂x
线性项
非线性项
第2章
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7
工程应变ε
第2章
2
¾图示一变形体在to=0时有构形Ao，物体中一 质点Po的坐标为（x10，x20，x30)，在t=tn时， 物体有运动构形An，质点Po运动至Pn，在时 间tn+1=tn+△tn时，物体运动有构形An+1，质 点运动至Pn+1，对于变形体及其上的质点运 动状态，可以随不同的坐标选取有以下几
种描述方法：
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ds2 − ds02 = (δij + ui, j )dx j (δik + ui,k )dxk − dxidxi 即有：
ds2 − ds02 = ⎡⎣(δij + ui, j )(δik + ui,k ) − δ jk ⎤⎦ dxidx j =（ui, j + u j,i + uk,iuk, j )dxidx j = 2εijdxidx j
可定义为：ε
=（
l
−
l
）
0
l
0
而在图示情形下：
l
=
[(l0
+
∂u ∂x
⋅ l0
+
u
−
u)2
+
( ∂v ∂x
⋅ l0
+
v
−
1
v)2 ]2
=
l0 [(1 +
∂u ∂x
)2
+
( ∂v ∂x
1
)2 ]2
第2章
29
3. 几何运动方程评述
¾基于工程应变定义，其内隐含着l与l0的方向 一致，因此其适用于转动可以忽略不计的 小转动情形。
第2章 结构几何非线性
1.概述
¾ 在线弹性力学分析中，假定位移与应变关系是线 性的，且应变为小量，由此而得到线性几何方程。 当考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理 论（有限变形理论）则都属于几何非线性问题， 亦即非线性问题包括了大位移、小应变以及大位 移、大应变等问题，此时均导致几何运动方程成 为非线性。但材料的本构关系还是符合虎克定 律，结构的弹性稳定问题是结构非线性分析的内 容之一。
i= j 时 i≠ j 时
或:
δij＝ei.ej = ei . ej .cosθij
第2章
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x3
.u
P(xi)
r
R
o x1
.
P’(ξi )
x2
第2章
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¾连续体变形的描述方法
z Lagrange法－用各质点在初始位置的坐标作为独立变量进 行描述。即以变形前的初始构形为基准，然后确定它与变形 构形间的相对变形，导出的应变张量称为Green应变张量。
第2章
23
• Green应变张量与工程应变的关系
以ε11和ε12为例进行说明：
假定微元PQ初始位置在x1轴上，且P点在原点，则有；
ds0 = (dx1, 0, 0),
ds2 = dx2
0
1
ds2
− ds02
=
2εijdxidx j
=
2ε11dx1dx1
=
2ε11dx1dx1
=
2ε11ds20源自∴ ds2ui, j
=
∂ui ∂x j
∵δijdx j = dxi
∴ dξi = dxi + ui, jdx j = (δij + ui, j )dx j
第2章
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• 图示两相邻点P和Q，变形前其坐标分别为xi和xi + dxi，
单元PQ的长度为ds0；变形后两点分别变位至P '和Q '， 其坐标分别为ξi和ξi + dξi，P 'Q '的长度变为ds。点P的 位移向量为ui。 很明显，若ds = ds0，则单元没有变形，仅发生刚体平 动和刚体转动，因此可取 ds2 − ds02 作为单元变形的度 量。
≠ ε1
+ε2
仅当变形很小、l0
≈ l1时，ε
=
l2 − l0 l0
≈ ε1 + ε2
第2章
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8
¾对数应变－hanchi应变具有可加性
dε = dl l
∫ ε =
l2 l0
dl l
= ln l2
− ln l0
则有：
ε1
=
ln( l1 l0
)
=
ln
l1
−
ln
l0
,
ε2
=
ln(
l2 l1
)
=
ln
l2
ε1
=
ds − ds0 ds0
=
1+ 2ε11 −1
仅当ε11很小时，ε1 = 1+ 2ε11 −1 ≈ 1＋ε11－1＝ε11
故ε11描述了微元在平行于x1轴方向的伸长量。
同样可以推得：
ε12描述了平面（x1，x2）上的工程剪应变γ，且：
sin γ =
2ε12
1+ 2ε11 1+ 2ε22
仅当γ，ε11，ε22很小时，有：γ ≈ 2ε12
−
ln
l1
ε = ε1 + ε2
第2章
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• 线性应变公式