结构非线性分析的有限单元法分解

第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。

非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。

1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。

它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。

例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。

2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。

例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。

随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。

3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。

例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。

这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。

9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。

以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。

1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。

与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。

它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。

以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。

在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。

2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。

钢结构非线性分析研究作者：黄镜成来源：《建材发展导向》2013年第04期摘要：论述了几何非线性和材料非线性的基本理论，介绍了非线性分析中运动与变形的关系，给出了运用有限元进行结构非线性分析时材料非线性的应力-应变关系，介绍了非线性方程的求解方法，通过对一个具体的框架结构工程实例进行分析，验证了对结构进行非线性分析的方法，可得，考虑材料的非线性时，结构的承载能力低于考虑材料弹性状态极限承载力，为实际工程提供了参考。

关键词：钢结构；非线性；有限元钢结构具有材料强度高、材质均匀、工业化生产程度高等优点，目前在国内外的工程建设中得到了越来越广泛的应用，但是，由于钢材强度高，构件一般板件较薄，长细比大，更容易出现失稳现象，因失稳导致的钢结构事故也是非常常见的。

目前，大跨度、大空间结构应用越来越多。

从用途单一的仓库、车站等工业建筑到多用途的大型交通枢纽、体育场馆、展览中心等结构，对于这些大型公共建筑，结构体系复杂，设计难度高，投资大，人员密集，因此对其安全性要求极高。

其结构设计若仅对构件进行强度、稳定性、刚度进行计算和验算，无法保证其可靠性，还必须对其进行整体稳定性计算。

1 结构非线性问题结构设计方法从传统的容许应力设计法发展到了基于概率统计的极限状态设计法。

传统的容许应力设计法是基于线弹性理论，依照经验选取一定的安全系数，以构件危险截面某一点的计算应力不超过材料的容许应力为准则，目前在某些领域仍在使用。

安全系数是一个单一的根据经验确定的数值，没有考虑不同结构之间的差异，不能保证不同结构具有同等的安全水平。

从本质上讲，工程中所有的力学问题都是非线性的，一般地，力学中的非线性问题包括三类：1.1 几何非线性。

在小变形假定下，通常是在未变形的结构上建立平衡。

当结构在荷载作用下产生较大的变形，小变形假定不成立，就必须考虑几何非线性的影响，平衡应建立在结构变形后的构形上，考虑内力的二阶效应，几何方程应包括位移的高阶项。

第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。

非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。

1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。

它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。

例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。

2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。

例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。

随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。

3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。

例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。

这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。

9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。

以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。

1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。

与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。

它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。

以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。

在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。

2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。

建筑结构的非线性分析建筑结构的非线性分析是对建筑结构进行分析时所面临的一种难题。

一方面，建筑结构本身复杂多变，在外力作用下会呈现出非线性响应；另一方面，建筑结构的分析不仅需要考虑结构的受力状态，还要考虑材料、几何、荷载等因素的影响。

因此，建筑结构的非线性分析是一项非常重要的任务，它可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并为结构的优化设计提供有力的支持。

建筑结构的非线性响应建筑结构的非线性响应是由于材料的非线性特性、几何的非线性特性、以及受力状态的非线性特性等因素导致的。

这些因素可以是单独的，也可以是相互作用的。

其中，材料的非线性特性是指材料的力学特性呈现出非线性的形态，例如材料在不同的荷载下呈现出不同的弹性模量和极限应变等；几何的非线性特性是指结构的形态或尺寸呈现出非线性的形态，例如结构由于荷载作用变形，导致结构的尺寸出现变化；而受力状态的非线性特性是指在不同荷载作用下，结构的刚度、强度等性质呈现出非线性的形态。

建筑结构的非线性分析方法建筑结构的非线性分析方法包括有限元法、分步分析法、极限荷载法等。

其中，有限元法是应用最为广泛的分析方法之一，它利用有限元离散化的方法来近似连续介质结构的行为和响应，可以进行非线性材料、几何和受力状态的分析，并能够准确地描述结构的弯曲、剪切、扭转、局部破坏及塑性行为等现象。

与有限元法不同的是，分步分析法是一种迭代计算方法，其基本思想是将整个分析过程分成若干个阶段，逐步引入不同的非线性因素，从而分析出每个阶段的响应结果。

而极限荷载法则是一种经验法，它忽略计算领域中不便考虑的因素，例如非线性响应的微小变化、材料的粘性和不均匀性等，而仅仅关注于结构在极限荷载下的反应，从而得出结构的破坏载荷。

建筑结构的非线性分析应用建筑结构的非线性分析应用非常广泛，可以用于结构的优化设计、结构的健康监测和结构的可靠性评估等方面。

首先，在结构的优化设计方面，非线性分析可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并根据所得到的结果对结构进行优化设计，从而提高结构的性能。

’２１６‘固体力学学报２００３年第２４卷｛ｓ｝。

＝｛ｓ｝一＋｛△８｝。

（１０ｂ）３数值算例算例ｌ计算受到外压作用的轴对称圆柱壳体的非线性屈曲问题．具体尺寸为：中面半径为１００ｍｍ，壳体壁厚为２ｒａｍ，柱长１５０ｍｍ；，材料参数为：弹性模量Ｅ＝２×１０５ＭＰａ，泊松比¨＝０．３，屈服极限ｏ，＝５５０ＭＰａ，材料采用双线性随动强化模式．图２与图３分别为结构屈曲前和屈曲时的等效应力分布图，图４和图５分别为屈曲模态与后屈曲模态的顶端视图．与特征值屈曲一样，结构在发生屈曲时变形方式会发生分叉，图５仅给出了其中的一种后屈曲模态，算例２则给出了两种后屈曲模态．图２屈曲前结构的等效应力分布图３屈曲时结构的等效应力分布图４屈曲模态顶端视图图５后屈曲模态顶端视图算例２计算受到轴向压力作用的轴对称截锥壳体的非线性屈曲问题，边界为简支．具体尺寸：底部中面半径分别为１５０ｍｍ．母线长为１００ｒａｍ，壳体的壁厚为１ｍｍ，锥度为２５。

；材料参数为：弹性模量Ｅ＝７．５×１０‘ＭＰａ，泊松比斗＝０．３，屈服极限口，＝４００ＭＰａ，材料采用双线性随动强化模式，进行有限元计算时在模型上施加了一定的小扰动．图６为小扰动与ｚ轴成不同角度的情况下截锥壳结构的后屈曲模态，由图可见失稳的形式基本相同，但是发生失稳的角度不同．表ｌ为施加不同小扰动时结构的Ｉ晦界载荷比较，由表可知与ｚ轴成不同角度的小扰动对结构的临界载荷的影响很小．表１小扰动在不同位置时的计算结果专辑嵇晓宇等：薄壳结构的非线性屈曲有限元分析－２１７【ａ）ｘ轴方向卜的小挠动（ｂ）与ｚ轴成４５’角方向上的小挠动图６小扰动在不同位置上的后屈曲模态４结论１把工程结构看成是理想弹性的特征值屈曲分析明显没有考虑初始缺陷和材料非线性、大变形等因素的非线性分析真实．非线性屈曲应用于工程分析，将更好地估计结构的临界载荷，为工程设计提供有价值的参考；２结构发生屈曲时．其变形方式会发生分叉．但是这对结构发生失稳时的临界载荷影响很小，在工程分析中若只需要计算结构的临界载荷，则不用过多地考虑这种分叉性．参考文献１王勘成，邵敏．有限单元法基本原理和数值方法．北京：清华大学出版社．１９９７２李建中等．轴对称壳体弹塑性屈曲的有限元分析．清华大学学报，１９９９，３９（２）：８２—８５ＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＡＮＡＬＹＳＩＳＯＦＮＯＮＬ玳ＥＡＲＢＵＣＫＬＩＮＧＦｏＲＴＨＤｉＳｌｉＥＬＬＸｕｂｉｎｇＪｉＸｉａｏｙｕＹｕＸｉａｎｇｄｏｎｇＹａｎｇＹｕｍｉｎｇ（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ＆ＭⅢＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＴｈｅＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆ凸讲ｎｅｅｒｉｎｇＰｈｙｓｉｃｓ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，６２１９００）ＡｂｓｔｒａｃｔＦｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｂｕｃｋｌｉｎｇｉｓｖｉｅｗｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｂｕｔｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｕｓｅｔｈｅｒｅａｒｅｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｏｆｉｎｉｔｉａｌｉｚａｔｉｏｎｄｉｓｆｉｇｕｒｅｍｅｎｔ，ｍａｔｅｒｉａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｌａｒｇｅｄｉｓ—ａｎｄＳＯｏｎ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｕｃｋｌｉｎｇｆｏｒｔｈｉｎｓｈｅｌｌｍａｙｉｎｃｌｕｄｅａｌｌｐｌａｃｅｍｅｎｔｔｈａｔａｒｅｐｏｉｎｔｅｄｂｅｆｏｒｅ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｈｅｌｌｅｌｅｍｅｎｔ．ｗｅＵＳｅｔｈｅｉｎｃｒｅｍｅｎｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｉｃｈｉｓｍｏｒｅａｖａｉｌａｂｌｅｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｂｕｃｋｌｉｎｇ，ｎｏｎ，ｎｅａｒｂｕｃｋｌｉｎｇ，ｂｕｃｋｌｉｎｇｍｏｄｅ，ｉｎｃｒｅｍｅｎｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅ－ｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ。

有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。

由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。

单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。

这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。

显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。

2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。

专题3 非线性问题的有限单元法第七章几何非线性问题一、非线性问题前面各章所讨论的都是属于弹性力学中的线性问题，它最后导出了如下一个关于各节点平衡的线性代数方程组：[]{}{}Rδ (7-1)K=其中[]K是一个和{}δ无关的常系数矩阵，仅和结构的离散情况，结构变形前的几何及物理特性有关。

当然，严格地说。

固体力学中的所有现象均是非线性。

然而，对于解决许多工程问题，近似地用线性理论来处理可以使计算简单切实可行，并能符合工程上的精度要求。

但是许多问题，用线性理论却是完全不适合的，它必须用非线性理论来解决。

1.分类非线性问题主要可以分成二大类。

第一类为几何非线性，第二类为材料非线性。

几何非线性问题指的是大位移问题。

对于几何非线性问题，由于问题本身的特征及解的精度，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置写出。

严格地说，所有问题都要用已变形位置写出它的平衡方程，但是若问题的基本特征不因变形而改变，精度也满足要求，它就可以用变形前的几何位置来描述。

这正是我们以前处理问题的方法。

然而，对于有些问题就不能这样处理；例如图7-1a所示结构中B点的平衡方程就要由变形后的几何位置写出，如图7-16所示。

又例如压杆失稳后的变形研究，平板大挠度问题均属于几何非线性问题。

图7-1 非线性桁架的问题在极大多数的大位移问题中，结构内部的应变是微小的，事实上，只有在材料出现塑性变形时，以及在工程上很少应用的类似于橡皮的材料中才会遇到大的应变。

本章所讨论的几何非线性问题将限于大位移小应变问题，这时材料的应力应变关系是线性，这将使问题得到一些简化。

至于材料非线性问题，则是指材料的本构关系，即应力应变关系的非线性问题，当结构采用非金属材料，或采用金属材料但发生塑性变形时，属于这类问题。

这类问题一般仅限于讨论小变形材料非线问题。

这将于下章讨论。

对于更加复杂的几何非线性及材料非线性复合问题，如金属的塑性加工等，也将于下一章作简单讨论。