2019版优化探究文数练习：第三章第三节三角函数的图像与性质含解析

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤. 所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k ∈Z. 由+2k π≤2x-≤+2k π,k ∈Z 得+k π≤x ≤+k π,k ∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k ∈Z.(3)由2x-=+k π,k ∈Z得x=+k π,k ∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为 x=+k π,k ∈Z.由2x-=k π,k ∈Z 得x=+k π,k ∈Z, 即对称中心为,k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。

y
1相邻两个交点之间距离为半个周期,从而可求出结
果.
【解析】因为函数
y
tanx
的最小正周期为 π ,由
tanx
1 x
可得
kπ
4
, kòZ
所以函数 y tanx 与直线 y 1相邻两个交点之间距离为函数 y tanx 的半个周期,即 2 .
10．（多选）对于函数 f x a sin x b tan x c （其中, a,b R, c Z ）,选取 a,b, c 的一组值计算 f 1
y＝sin
x
的定义域为[a,b],值域为
1,
1 2
,则
b－a
的最大值和最小值之和等于( )
4 A． 3
8 B． 3
C．2π
D．4π
【参考答案】C
【分析】作出
y＝sin
x
的图像,由其值域为
1,
1 2
,可得
b－a
的最大值和最小值,从而可得到结论.
【解析】解：如图,
13 5 4
3 5 2
可知 b－a 的最大值为 6 6 = 3 ,b－a 的最小值为 2 6 = 3 ,
即
2 cos2
x
cos
x
1
0
,解得
1 2
cos
x
1
．
2k 2 x 2k 2 , k Z
由余弦函数的图象,知
3
3
,
所以所求函数的定义域为
2k
2 3
,
2k
2 3
,
k
Z
．
19．利用“五点法”作出函数 y 2 sin x 1（ 0 x 2 ）的简图．
3 【分析】求出横坐标分别为 0 , 2 , , 2 , 2 时所对应的函数值,通过列表、描点、连线即可作出图象.

课时作业 A 组——基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图像关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图像关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图像不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，且图像关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1. 答案：A3．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B5．(2018·云南五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为1，则ω＝( )A.14B.13C.12D.32解析：因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间[0，π3]上单调递增，则f (x )max ＝f (π3)＝2sin ωπ3＝1，即sinωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C. 答案：C6．函数f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )A ．[0，5π6]B ．[0，2π3]C ．[5π6，π]D ．[2π3，π]解析：f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32＝32(2cos 2x 2－1)－12sin x ＝32cos x －12sin x ＝cos(x ＋π6)，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以当k ＝1时，f (x )的单调递增区间为[5π6，π]，故选C.答案：C7．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图像关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω 的取值范围为( ) A ．(0，43]B ．(43，73]C ．(73，103]D ．(103，133]解析：易得f (x )＝2sin(ωx －π3)，设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π＜ωπ－π3≤2π，解得43＜ω≤73，故选B.答案：B10.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，其中图像最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图像在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2； ③f ⎝⎛⎭⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎫x －π6为奇函数． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π， 则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确． 答案：D11．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________． 解析：令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图像如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)12．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________. 解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4. 答案：π413．当函数y ＝s in x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6. 答案：5π6B 组——能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，对比选项，可知选D.答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤5π8，9π8 C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π8解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎡⎦⎤π8，5π8. 答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B.答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B ．[6k －3,6k ]，k ∈Z C ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图像关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝( ) A.5π12B.π4C.π3D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．已知函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω 的取值范围是( ) A ．(0，512]B ．(0，512]∪[56，1112)C ．(0，56]D ．(0，512]∪[56，1112]解析：函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin(ωx ＋π6)，可得T ＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图像如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎨⎧ωπ＋π6≥02ωπ＋π6≤π或⎩⎨⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω∈(0，512]∪[56，1112)．答案：B7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B ．[－3,3] C.⎣⎡⎦⎤－32，32 D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：因为两个函数图像的对称轴完全相同，所以这两个函数的周期相同，即ω＝2，所以函数f (x )＝3sin(2x －π6)．当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，由正弦函数的图像及其性质知， f (x )min ＝f (0)＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝3，故选A.答案：A8．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．10 C ．8 D ．12解析：f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π6)＝sin x ，所以|f (x n －1)－f (x n )|≤2，又|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，所以要使n 取最小值，需x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，…，x 7＝11π2，x 8＝6π.故满足条件的最小整数n 为8. 答案：C9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k ∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确． 答案：B10．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图像关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，不是最值，故不满足图像关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，是最小值，故满足图像关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，不是最值，故不满足图像关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案：C11．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图像相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－ 3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－2. 答案：B12．已知函数f (x )＝2cos 22x －2.给出下列命题：①存在β∈R ，f (x ＋β)为奇函数；②存在α∈(0，3π4)，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立；③任意x 1，x 2∈R ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为π4；④任意x 1，x 2∈R ，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)．其中的真命题有( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：由题意，f (x )＝2cos 22x －2＝cos 4x －1.对于①，f (x )＝cos 4x －1的图像如图所示，函数f (x ＋β)的图像是f (x )的图像向左或向右平移|β|个单位长度得到的，它不会是奇函数，故①错误；对于②，f (x )＝f (x ＋2α)，所以cos 4x －1＝cos(4x ＋8α)－1，所以8α＝2k π，k ∈Z ，所以α＝k π4，k ∈Z.又α∈(0，3π4)，所以取α＝π4或π2时，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立，故②正确；对于③，|f (x 1)－f (x 2)|＝|cos 4x 1－cos 4x 2|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2π2×4＝π4，所以③正确；对于④，任意x 1，x 2∈R ，当f (x 1)＝f (x 2)＝0时，x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2，k ∈Z ，所以④错误．综上，真命题是②③，故选C.答案：C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是__________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________．解析：由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭⎫π3，0，由f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋23π＝712π. 记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T 4，解得T ＝π. 答案：π15．已知函数：①f (x )＝2sin(2x ＋π3)；②f (x )＝2sin(2x －π6)；③f (x )＝2sin(12x ＋π3)；④f (x )＝2sin (2x －π3)．其中，最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的函数序号是________．解析：对于①，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图像的对称轴为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，显然x＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)图像的对称轴，①错误；对于②，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图像的对称轴为2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，显然x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x －π6)图像的对称轴，②正确；对于③，其最小正周期T ＝2π12＝4π，③错误；对于④，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图像的对称轴为2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x －π3)图像的对称轴，④错误．答案：②。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的最小正周期为．【答案】π【解析】因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期2.已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为2B．函数在区间［0，］上是增函数C．函数的图象关于直线＝0对称D．函数是奇函数【答案】D.【解析】A：最小正周期，∴A正确；B：当时，，∴B正确；C：∵，∴C正确；D：∵，∴是偶函数，∴D错误.【考点】三角函数的图象和性质.3.已知函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈[－π，]时，求函数f(x)的取值范围．【答案】(1)π；(2)[－2，1]【解析】(1)先化简函数表达式，利用T＝求周期；(2)根据已知条件，先确定出整体变量(2x－)的范围，然后根据正弦函数的性质求出f(x)的取值范围．试题解析：(1)∵函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1＝4sinx(cosxcos＋sinxsin)－1＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，∴T＝，∴函数f(x)的最小正周期π；(2)∵x∈[－，]，∴2x∈[－，]，∴2x－∈[－π，]，∴f(x)∈[－2，1]．【考点】两角和与差的三角函数，正弦型函数的性质，最小正周期，值域4.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.【考点】三角函数的最小正周期.5.设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【答案】2【解析】f(x)＝3sin(x＋)的最小正周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2．6.已知函数(1)求的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）2 ；（2）.【解析】本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用倍角公式和两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，将代入解析式，用诱导公式化简得到数值；第二问，利用第一问化简的表达式，将代入，先得到角的范围，再利用数形结合得到函数的值域.（1） .2分4分6分（2）， 8分， 10分，即的值域是 12分【考点】倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域.7.江西高考设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.8.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，又，，所以.【考点】三角函数图像与性质9.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以，关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以，故应选A.10.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。