三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质

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五点法一3）（知（7 吩】）（2小

正弦函数的图像与性质

y y=sinx （XE R）

! i :

1 定义域:__________

2值域：当旷_______ 时，y取到最大僖 ______

当店______ 时，y取到最小星. _____

3奇偶性：團像关于_______ 对称.故为___________ 函数

4周期：

5单调性：单调增区间____________

单调减区阖___________

3>2 i?l_n

6对称轴：____________

7对称中心：____________

一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+ T)= f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

k Ssinx=-时,对应尤的值为多少？

2、X sin x＞丄时*对应*的取值为多少?

2

3、丄时，对亦的取值为多少?

余弦函数的图像与性质

由y = cosy =sin(A+ ^)知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移彳

1定义域: __________

2值域：当烂 _______ 时，y取到最大值_______

^x=_______ 时，y取到最小虫______

3奇偶性：图像关于 _____ 对称，故为____________ 亟数

4周期= ____________

5单调性’单调增区宜 ___________

单调[威区间_________

6 对称轴：_____________ 1、cos X =丄时’兀的取值为爭少? |半COSX3丄时，对应的Ma为多少?

J-r ] ’

氣11 - COS -r £ -Iht 讨应的芒収值为苓少？

例1•求下列函数的定义域：

1 y = lg sin x

2 y = 2 . cos3x

例2•求下列函数的周期：

1 y =3cosx (

2 A =s i r2x

函数p = A SUI（Z?\T +（p）Jiy = A cos（^r + gx E R

3, ©衲常数昇丰0.⑷＞0）的周卿丁=—

例4.下列函数是奇函数的为:

y 二.2sin x 1

1 兀

3 y = 2sin（：x ）,x R

2 6

A.X3 +COSX&sinx+cosx

y _ 2 *y- J

X -C05Z sinx ^cosx

C.y = 2Ba；

D.y = lg(amc+71+：

an3X).

例5禾U用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小

（1）皿-鲁）与曲卜盒）

解：丁一扌〜訴-養迟又尸沁在I-壬,号止是增函数

sin（诗）v 価（一缶

（2）cos（-警）与cosf 乎）

解土cos（-^）^cos =COS COS（-i^）=COS^ =cos

V 0<7

而€0S（^2i^ < COS（-i^）

例6求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合

⑴―血于XR（2） v=-3sm 2AS ,T e A

解:Q J 'max = h J'tnin 二厂1

易知，当= 2k^（k e z）时，函数取得最大值L此Etr = 6k~（k e s）

当~7~" +“忙估匕二）时.函数取得最小值亠此时x =权+ 6kj?（k t二）所

以使函数取得最小值的九集合为｛.r|.r-3-+67c -）■

最大值的x集合为｛丫| r = 6A-^A二｝

（2）令u=2x,使函数y=・3sitm# z^R

当柑二一二+ ］和■（无E二时才函数取得最大值3, = - —+ k~｛k s 5）

2 4

当rt=—+ lk7r（k e二）时、函数取得杲小值-3，得丫二二+加（2二）

2 4

二= 3,此时"的集合为｛x| x = -^- + k^,ke z｝

=-工此时：V的集合为（X |X = -^ + k^,ke 2｝

例7求函护二血(㊁工+ —Vx G ［—2兀2亓］的单调递增区间

解：令二二2丫+=,函数V=sillT的单调递增区间是

J i

宙一£+H;r二£工+：山寸+2#卞得一^ + 4上疔二即二；+4片监Rum

设且== {x| - —+ 4/<- - r _ —+ 4k?r,石亡二}

所以JAS -

故此函数的单调递増区间是［-¥・彳］

例B 求函数7二2sin(--x)的单调区沏

_ 4 _

解;y= 2 sin(^- -x) =-2 sin(x - ^-)

hint在-［十比打.［十2滋(Ar E z)上单调递减

贝収=-2 Kill

在—+ + ikn懐总？)上单调递增

…当-二-十2上打乞戈

—<—+2^

&P- — + Zt/T x _ — + ZErft e z)^i,函数为减函数

即—+2U

--函数的单调増区间为厂十处娥“)

单调减区间为

4

正切函数的图像与性质

当二 + 2剋T

址亢

1.定义域:

2•值域: 3.奇偶性: