1.工整、清楚、均匀、整齐。 2.图形、实物。 3.尺寸数字、尺寸界线、尺寸线、尺寸线终端。 4.定形尺寸。 5.定位尺寸。 6.数值、无关。 7.豪米。 1.完工。2一次、清晰。3定形、定位。 4上方、中断、向上。5平行。6圆心。7顶、水平。8A0、A1、A2、A3、A4。9徒手。 10计算机。11圆规、分规、三角板、丁字尺。12相切。 1.x． 2.z． 3.x、z． 4.一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。 5.投影。 6.中心投影、平行投影。 二（2）1中心投影。2平行投影。3斜投影法、正投影法。4唯一、位置、形状。5实长、实行。6点。7直线。 二（3）1．直线、类似形。2．水平、正立、侧立。3．第一分角。4．主、俯、左。5．粗实线、虚线。6．长、高、长、宽、高、宽。 二（4）1铅垂、正垂、侧垂。2一般位置直线。 3投影面平行线、水平、正平、侧平。4平面。5该平面。6同面。7不变。 二（5）1平行、相交、交叉。2平行、平行。3交叉。4实长、倾角、平行、实长。5点、实长、垂直。 二(6)1一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面。2一般位置平面。3垂直面。4直线、倾角。5平行面。6实形、直线、平行。 1. 中心投影法和平行投影法。 2. 正投影法和斜投影法。 3．多面正投影图。 4.①正面投影与点的水平投影。 ②正面投影与点的侧面投影。 ③水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影。 5. 一般位置直线、投影面平行线和_ 投影面垂直线。 1 平行、相交、交叉三种。 2. 同面投影也一定平行。 3. 同面投影也一定相交，同面投影。 4.也反映直角。 5.一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。 1. 取点，取线，取线，取点。 2. _平行__、相交_和_垂直___。 3. 积聚性法和辅助线法。 4. _平行__、相交_和_垂直。 5. 积聚性法线面交点法和辅助平面法。 1.(1) 将已知的各投影联系起来阅读 (2) 运用形体分析读图 (3) 运用线面分析读图 第九章 3、装配图中所有零、部件均须编写序号,相同规格尺寸的零、部件应另编一个序号.编号时,在零、部件可见轮廓内画一小实心圆,用细实线引出到该视图最外端轮廓线的外面,终端画一横线或圆圈(采用细实线),序号填写在指引线的横线上或圆圈内,序号数字要比尺寸数字大一号,在较大幅面的图样中,编号的字高可比其尺寸数字高度大两号.若零件很薄(或已涂黑)不便画圆点时,可用箭头代替,另外也可以不画水平线和圆,在指引线另一端附近注写序号,序号字高比尺寸数字大两号；指引线尽量分布均匀,不要彼此相交,也不要过长.当通过有剖面线的区域时,指引
矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出2 3 ,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 1122111 11 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-?????? ??=+==?? ???????? n ∑。 2．设112 2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===???? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112 222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1 i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -?????? ===?????? --?????? 。 注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=
1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设
工程制图复习题及答案The final revision was on November 23, 2020
工程制图复习题参考答案 一、填空题： 1.根据投射线的类型，投影法可分为中心投影法和平行投影法。 2.根据投射线与投影面是否垂直，平行投影法又可分为正投影法和斜投影法。 3．多面正投影图是工程中应用最广泛的一种图示方法。 4..点的三面投影规律是：①点的正面投影与点的水平投影的连线垂直于OX轴。②点的正面投影与点的侧面投影的连线垂直于OZ轴。③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。 5. .在三投影面体系中直线与投影面的相对位置可分一般位置直线、投影面平行线和_ 投影面垂直线。 6空间两直线的相对位置可分为平行、相交、交叉和 垂直四种。 7. 空间两直线互相平行，则它们的同面投影也一定平行。 8. 空间两直线相交，则它们的同面投影也一定相交，而且各同 面投影的交点就是两直线空间交点的同面投影。 9.互相垂直的两直线中有一条平行某一投影面时，它们在该投影 面上的投影也反映直角。 10.在三投影面体系中平面与投影面的相对位置可分一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。
11.在平面内取点和取线的关系是：欲在平面内取点，须先在平 面内取线，而欲在平面内取线，又须先在平面内取点。 12.直线与平面的相对位置有_平行__、相交_和_垂直___。 13.直线与平面相交求交点的方法有积聚性法和辅助线法。 14.平面与平面的相对位置有_平行__、相交_和_垂直。 15.平面与平面相交求交线的方法有积聚性法线面交点法和辅助平面法。 16在换面法中，新投影面的设立要符合下面两个基本条件 ①新的投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置。 ②__新的投影面必须垂直于原有的一个投影面 __ 。 17将一般位置直线变换为投影面的垂直线要经过_二__ 次变换，先将一般位置直线变换为投影面平行线__，再将投影面平行线_ 变换为投影面垂直线。 18.将一般位置平面变换为投影面平行面要经过___二__ 次变换， 先将一般位置平面变换为_投影面垂直面__，再将投影面垂直面变换为投影面平行面。 19.在一般情况下，平面体的相贯线是封闭的空间折线。 20.相贯线可见性判定原则是：_当两立体的相交表面都可见时，交线才可见____。
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++=Λ10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ，
练习一： 1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是n n C B ?∈AB=BA 。2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。试证明：任意一个都n n C A ?∈A A H -=n n C B ?∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素n n C A ?∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B n n C B ?∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里AP P AP P H =-1（1）A=； （2）A=。??????????----10001i i i i ??????????-0010010i i 6. 设是Hermite 矩阵。证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在n n C A ?∈Hermite 正定矩阵B ，使得。2 B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：n n C A ?∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数； （3）存在矩阵，使得。n n C P ?∈P P A H =练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：（1） ； （2）；()???? ??+-=λλλλλλλ352223A ()??????????-+--=222211λλλλλλλλλλB （3） ；（4）()()220000 001C λλλλλ??+??=????+????。()()??????????????---=00000100000002222λλλλλλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子：
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?
n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1
1.图纸幅面的代号有哪几种？ 2.图纸格式分为哪两种？按标题栏的方位又可将图纸格式分为哪两种？ 3.一个完整的尺寸，一般应包括哪四个组成部分，它们分别有哪些规定？ 4.标注平面图形的尺寸应达到哪三个要求？这三个要求主要体现哪些内容？ 5.什么是平面图形的尺寸基准、定形尺寸和定位尺寸？通常按哪几个步骤标注平面图形的尺寸？ 6.圆弧连接指什么？在图样上的圆弧连接处，为何必须比较准确作出连接圆弧的圆心和切点？在平面图形圆弧连接处的线段可分为哪三类？它们是根据什么区分的？在作图时应按什么顺序画这三类线段？ 7.机械图样中的线宽分为哪两种？设粗实线的线宽为d,虚线、点画线、细实线、波浪线的线宽是多少？
参考答案： 1.A0/A1/A2/A3/A4 2.图纸格式分为需要装订和不需要装订两种。按标题栏的长边置于水平方向并与图纸的长边平行时，构成X型图纸；若标题栏的长边与图纸的长边垂直时，则构成Y型图纸。 3.包括尺寸线、尺寸界线、尺寸数字和尺寸终端（箭头）。尺寸数字注写在尺寸线上方；尺寸线用细实线绘制；尺寸界线用细实线绘制，一般应与尺寸线垂直，并超出尺寸线2mm;尺寸终端采用实心箭头。 4.正确、完整、清晰。正确是指尺寸数字不能写错；完整是指尺寸要注写完全，不遗漏各组成部分的定形尺寸和定位尺寸。清晰是指尺寸的位置要安排在图形的明显处，标注清楚，布局整齐。 5、尺寸基准是指尺寸的起点。定形尺寸指确定各部分形状大小的尺寸；定位尺寸指确定各部分之间相对位置大小的尺寸。先分析形状，确定尺寸基准；注出各部分定形尺寸；注出各部分所需的定位尺寸。 6.圆弧连接指直线与圆弧相切，圆弧与圆弧相切。为了得到光滑相切的图形，必须准确作出连接圆弧的圆心和切点。圆弧连接处的线段可
第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由
一，设311202113A -?? ?=- ? ?--?? （1）求矩阵e At . （2）求()At d e dt . 二，（15分）设矩阵1001200-1A ??????=?????? ， （1）求矩阵A 的奇异值。 （2）求矩阵A 的奇异值分解。 三、证明对任何方阵A 和B ，有 A B A B B A e =e e =e e ⊕??，其中A B=A I+I B ⊕??。 四、已知102011121A -?? ?= ? ?--?? （1） 写出A 的若当标准型 （2） 写出A 的最小多项式()A m λ （3）计算矩阵函数At e 五、设矩阵方程为AX XB D +=，其中111020,,02011A B D λ--??????=== ? ? ??????? （1） 当λ为何值时， 矩阵方阵有唯一解 （2） 当=1λ 时，求矩阵的解X 六、设 110021001A ?? ?= ? ??? ,求一个次数不超过3 的矩阵多项式 ()g x , 将矩阵函数 ()cos A 用矩阵多项式 ()g A 表示出来 七、对给定的矩阵5010,1253A B -????== ? ????? , 矩阵空间22 R ?上的线性变换 T 被定义为 : ()22 ,T X AX XB X R ?=+?∈ (a) 求变换 T 在空间 22 R ?的基 {}11211222,,, E E E E 下的变换矩阵P .
(b) 求矩阵P 的特征值 , 讨论P 是否可逆 八、叙述奇异值分解定理（即酉相抵标准形定理）并用其证明方阵的极分解定理： 九、设A 是n 阶不可约非负矩阵，证明：若A 恰有d 个对角元非零,则21n d A O --> . 十、证明分块上三角矩阵为酉矩阵当且仅当其为对角块均为酉矩阵的分块对角阵 十一、试证：如果A 是n 阶正规矩阵，则A 相应于不同特征值的特征向量复正交 十二、设矩阵U 是酉矩阵，()12diag ,, ,n A a a a = 证明UA 的所有特征值λ满足 不等式 {}{}min max i i i i a a λ≤≤ 十三、设A 是正定Hermite 矩阵，B 是斜Hermite 矩阵，证明A B +是可逆矩阵. 十四、证明若A 是Hermite 矩阵，则i A e 为酉矩阵 十五、设A 是正规矩阵，证明A 是酉矩阵的充要条件是A 的特征值的绝对值等于1。 十六、设,A B 均为n 阶半正定阵，证明A B 也是半正定阵. 十七、设,m m n n A C B C ??∈∈ 及m n F C ?∈ ，且,A B 无公共特征值， 证明： B O F A ?? ??? 与B O O A ?? ??? 相似 十八、设A 是n 阶复方阵，(){}12,,,n Spec A λλλ=，证明： ()(){} 1211k k i i i k Spec C A i i n λλλ=≤<<≤ 十九、陈述Perron-Frobenius 系列定理。 二十、陈述关于Hermite 方阵特征值的min-max 原理
|讪 而由a = 0时， 〔0 其中P 为任意满秩矩阵，而 注：A = -E 无实解，A n =E 的讨论雷同。 性方程AX -XA=0有n 2 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 习题 -cosnx sin nx[ 1-("因[L sinnxcosnx 丄sin C0SX sin x = COs(n 1)x sin(n 1)x ，故由归纳法知 x cosx f-sin(n 1)x cos(n 1)x A n cosnx sin nx '-sinnx cosnx (2)直接计算得 A 4 - -E ，故设 n =4k r(r =0,1,2,3)，则 A n = A 4k A r =(-1)k A r ，即 只需算出A 2, A 3即可。 (3 )记 J= ，则 a n C ：a n n i i n _i_ A =(aE J) = 6 C n a J i =0 n 』亠2 n _2 C n a C ；a nJ n a III c ：〕 III c^a C ： a n 」 n a 2?设 A =P F a 1 -0 /一 2 _ P’yo),则由 A 2 =E 得 冷0 1 〔0 1 一 ,B 2 = 【0 -0] ，艮 0] 。 -1 i 0 -k 0 1 2 _0 所以所求矩阵为PB i P’ , 3?设A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有AX=XA ，即把X 看作n 个未知数时线
通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。a n ? a n 1 ■ 11（ ? = 0 5.先证A 或B 是初等到阵时有 AB *=B *A * ，从而当A 或B 为可逆阵时有 AB 、B *A *。 考虑到初等变换 A 对B 的n 阶子行列式的影响及 A 二A‘即可得前面提到的结果。 下设PAQ = E r 0 ,（这里P , Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可: 〔0。」 6 .由 r(A)二 r(A —)及 AX 二 0= (AX)—AX = 0，即 AX = 0 与 A —AX = 0 同解，此即所 求证。 7.设其逆为 a j ，则当I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程 .i 1 . 1 2 . 1 n-1 ? a 矩阵理论2007年考试 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ， 如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ) 7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 8、0010140110620 118A ??????=?????? 至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1 1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==, 1 1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====, 第三章 1、 已知()ij A a =是 n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,, ,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ?-?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----???? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知 220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设 n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且 1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则 E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =， 只要()()1 1 ()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS矩阵理论试题
矩阵分析第章习题答案
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