研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题-72页精选文档

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研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题

习题3 习题3-14
#3-14: =E,则存在则存在U #3-14:若A∈Hm×n,A2=E,则存在U∈Un×n使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 存在U 证:存在U∈Un×n使得 A=Udiag(λ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, , (*) 其中λ 的特征值的任意排列任意排列. 其中λ1,…,λn是A的特征值的任意排列. , ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 =E=Udiag(1, ,1)U =Udiag(λ Udiag(λ A2=Udiag(λ1,…,λn)U*Udiag(λ1,…,λn)U* , , =Udiag(λ =Udiag(λ12,…,λn2)U* , =1,即 1,i=1,…,n,. ∴ λi2=1,即λi=±1,i=1, ,n,. 1(设共有取λ1,…,λn的排列使特征值1(设共有r个)全排在 , 的排列使特征值1(设共有r 前面, (*)式即给出所需答案式即给出所需答案. 前面,则(*)式即给出所需答案.
(α + β, γ ) = (α + β ) Aγ * = α Aγ * + β Aγ * = (α, γ ) + (β, γ );
(α,α) ≥ 0; (α,α) =α A > 0, ∀α ≠ 0 (因A正定). α
*
Cauchy-Schwarz不等式不等式： ②:Cauchy-Schwarz不等式： |(α, β)|≤ α β
−1 0 3 5 −1 3 6 1 1 0 = 0 − 1 − 10 W A1 W1* 1 0 0 −1 0
习题3 习题83-3(1) 0 3
6 −1 3 6 −1 3 8 3 0 3 8 = 0 , A1 = − 2 − 5 A1 0 − 2 − 5 0

矩阵分析报告课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

研究生矩阵论课后答案

|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知

矩阵论课后习题答案

第一章线性空间与线性映射习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ；（4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ，则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

矩阵分析所有习题及标准答案

于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

任取该集合中的三个元素，设为 α = (a, b), β = (c, d ), γ = ( f , g ) ,以及任意实数 k , l ,则有 ① α ⊕ β = ( a + c, b + d + ac ) = β + α ; ② (α ⊕ β ) ⊕ γ = (a + c, b + d + ac) ⊕ γ
全体反对称矩阵所构成的线性空间的一1) . 2
③ 对任意 n 阶上三角矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = 0(i > j ) ，有
A = ∑∑ aij Eij ，又 E11 ,L , E1n , E22 ,L , E2 n ,L , Enn 均为上三角矩阵且线性无
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
l 1 sin t + l2 sin 2t + L + lk sin kt = 0 ，

矩阵分析报告课后习题解答(整理版)

1.10.证明同1.9。

矩阵分析课后习题答案

矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。

通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。

然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。

在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。

1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。

下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。

- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。

- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。

2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。

以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。

- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。

- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。

3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。

以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。

- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。

- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。

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其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n
∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn
必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.
习题3-13
#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=A 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0.
但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
子是矩V1=阵*A(V-A=21的/ 0 01特5,3 3征21/8 6 值55仍) 0 0 T1是,3 作A -1612,,阶A 对1 酉应3矩2的阵85单位特征向量
W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则
1 0
10 1
习题3-23设A*=A.试证:总存在t>0,使得 A+tE是正定;A-tE是负定
证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集合的任意排列.
必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn
即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 ∴ A+B是半正定Hermite矩阵.
0xCn,x*Ax0,x*Bx>0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx>0
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
为上三角矩阵.U AU= *
1
W 10 01
3A161
1 W 1*0 0
0 1 0
3 5
10 1
0 1 01 U=VW=1 0 0 0 0 1
2 5 1 5
2
1 5Biblioteka 2 5 5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
∴ i2=i,即i{0,1},i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)
式即给出所需答案.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A=
3 3
0 1
8 6
,试求UUnn使U*AU=R为
上三角矩阵.
2 0 5
解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值.
显然V=,(1=1,(0,2,1,03)),T是2A=的(1一,0个,0特)T,征向3=(量0,.0作,1酉)T矩,则阵
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是
A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.
又
A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即BA相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数.
证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数.
=(E+T+iS)(E-T-iS)
习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同
证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在 U,VUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…,n是A,B的特征值集合.于是
B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS))(E+(T+iS))=(E+(T+iS))(E-(T+iS))

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