矩阵论复习题
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
k x x k =⊗
问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
),(112211y x y x y x y x +++=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2
)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S
的一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,
)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=
证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5. 设33:R R T →是线性变换，
()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+=
求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数.
6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有
k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的像空间的基与维数.
7. 在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
到
基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭
41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 并求矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2102A 在基(I)下的坐标.
8. 在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
⎰=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.
9. 在2[]P x 中，内积定义为：1
20,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ 1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；
2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()6
12+
-=x x x f . 10. 已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的最大秩分解。
11. 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭
的奇异值分解.
12. 设m n A C ⨯∈，1）证明：()()H rank A A rank A =;
2) 证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。
13. 设A 是n n C ⨯上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：
22||||||||||||F Ax A x ≤⋅.
14. 证明n 阶实方阵A 可表示为一实对称矩阵与一反实对称矩阵之和.
15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=73487612i A , ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞
16. 设a ||||•是n n C ⨯的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,证明对任意的n n C A ⨯∈，a b BAD A ||||||||=也是n n C ⨯的一种矩阵范数.
17. 已知a ||||•是n n C ⨯上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n x C ∀∈设
0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||•相容。
18.设n n C A ⨯∈，k 为正整数，证明：()()k k A A ρρ=.
19.设n n C A ⨯∈，且是Hermite 矩阵，证明：()2A A ρ=.
20.设函数矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 21.证明 1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d ---⋅⋅-= 2)A
e Ae e dt
d At At At == 22. 已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2.05.05.02.0A ，判断矩阵级数 +++++k A A A A 32是否收敛，若收敛求其和.
23. 已知111111012A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，判断矩阵级数03k k k k A ∞=∑是否收敛. 24. 求矩阵210420210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
的最小多项式.
25. 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 26.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00a a A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 27.已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 28. 设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时det()1A e =.
