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2.2 传输线波动方程及其解

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电磁波第二章 传输线的基本理论

电磁波第二章 传输线的基本理论

1 短线分布参数等效电路
短线分布参数可以用其集总的等效电路 表示。
z
iz, t
iz z, t
u z, t
L0 z R0 z
C 0 z G0 z
z
z
u z z, t
z z
一段传输线实际上就是由无穷多部分网络 链接的系统。
z
为什么高频条件下要考虑电路分布参数





1 2 L0 C 0 R0 G0 2 1 R0 G0 2 L0 C 0 2
解的具体形式
1 e l z 1 U Z I e l z U ( z ) U L Z 0 I L L 0 L 2 2 1 U L l z 1 U L ( z ) e l z I IL e Z0 I L 2 Z0 2 Z0
Z R 0 j L 0 Y G 0 jC 0
ZY (R0 jL0 )(G0 jC0 )
2
2 方程的通解
典型波动方程的解
U ( z ) A1e z A2 e z z z I ( z ) B1e B2 e 传播常数和波阻抗
f 0 50Hz
X L 2f 0 L0 2 50 0.99910
9
31410 / mm
3
BC 2f 0 C0 2 50 0.01111012 3.491012 S / mm
f 0 5000MHz
X L 2f 0 L0 2 5000106 0.999109 31.4 / mm
BC 2f 0 C0 2 5000106 0.01111012 3.49104 S / mm

传输线方程及解

传输线方程及解

k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V

0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。

第二章传输线理论

第二章传输线理论

第一部分表示由信号源向负载方向传播的行波，称之为入射波。 第二部分表示由负载向信号源方向传播的行波，称之为反射波。
习题：
2-1
2-2
入射波和反射波沿线
2-4
的瞬时分布图如图
第二章 传输线理论
2-3 传输线的特性参量
传输线的特性参量主要包括：相位常数、特性阻抗、 相速和相波长、输入阻抗、反射系数、驻波比(行波系数) 和传输功率等。
jZ0tgβ
z
=
jZ0tg
2πz λ
=
沿线电压电流的瞬时分布和振幅分布，如上图 jXin
第二章 传输线理论
2. 终端开路
由于负载阻抗 ZL = ∞ 因而终端电流 I2 = 0
U (0) = A1 + A2 = Ui2 +Ur2 = 2Ui2 ⇒Ui2 = Ur2
第二章 传输线理论
微波传输线大致可分三种类型
（1）TEM波 （2）TE、TM波 （3）表面波
第二章 传输线理论
二、分布参数及分布参数电路
传输线有长线和短线之分。所谓长线是指传输线的 几何长度与线上传输电磁波的波长比值(电长度)大于或 接近1，反之称为短线。
长线
分布参数电路
(Long Line)
考虑分布参数效应
u(z,t) = Re[U (z)e jωt ] = A1 cos(ω t + β z)+ A2 cos(ω t - β z) =ui (z,t ) + ur (z,t )
i(z,t) = Re[I (z)e jωt ]
=
A1 Z0
cos(ω
t+
β
z)-
A2 Z0
cos(ω
t-

传输线理论基础知识

传输线理论基础知识
入射电压与入射电流之比或反射电压与反射电流之比为特性阻抗（即波阻抗）。它的表示 式为（2-８），即：
一般情况下，Z0 为复数，其摸和幅角分别为：
特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5：
2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示：
一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。
1.2 传输线分布参数及其等效电路 长线的含义
长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1；反之，则 称为短线。可见二者是相对概念，取决于传输线的电长度而不是几何长度。
长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中 常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集 中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电 路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随 之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间 很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传 输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电 磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1、 L1、C1、G1分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、电导。

第二讲 传输线方程及解

第二讲 传输线方程及解

复习要点

将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔 霍夫定理仍适用。

传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与
特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
无耗解的初步解释
讨论电压波情况： 传播常数
入射波 入射波的相速：vi = dz/dt = /k
反射波 (+z方向)
反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向） 传播速度就是填充介质中的光速 无损耗传输线上波的传播速度为：
v p 1/ L'C ' 1 /
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解 注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为 方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II



传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。 传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。 从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲
传输线方程及解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V ( z, t ) z

V (z z, t) V (z, t) z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程

(优选)第二讲传输线方程及解

(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc

传输线理论ppt课件


i(z,t) z
Gl v(z,t) Cl
v(z,t) t
15
2）时谐均匀传输线方程
精选ppt课件
a）时谐传输线方程 电压和电流随时间作正弦变化或时谐变化，则 电压电流的瞬时值可用复数来表示：
v (z,t) V 0c o s(t v(z)) R eV 0 ejtejv(z) R eV (z)ejt i(z,t) I0c o s(t I(z)) R eI0 ejtejI(z) R eI(z)ejt
如传输线上无损耗，则为无耗传输线。即R=0, G=0。
有耗线
无耗线
11
精选ppt课件
对于铜材料的同轴线（0.8cm—2cm），其所填充介质为
r 2 .5 ,
则其各分布参数为：
1 8 0 S/m
Rl 0.32 10 2 / m Ll 1.83 10 7 H / m C l 0.15 10 9 F / m G l 6.8 10 8 S / m
第二章 传输线理论
精选ppt课件
§2.1 传输线方程 §2.2 传输线上的基本传输特性 §2.3 无耗线工作状态分析 §2.4 有耗线 §2.5 史密斯圆图 §2.6 阻抗匹配
1
§2.1 传输线方程
精选ppt课件
传输线 传输高频或微波能量的装置
(Transmission line)
天线
源
传输线
源
终端
2Z0
2Z0
23
精选ppt课件
令d = l - z，d为由终点算起的坐标，则线上任一点上有
V(d) VL Z0IL ed VL Z0IL ed
2
2
I(d) VL Z0IL ed VL Z0IL ed
2Z0

2_传输线理论(2)

V ( z + Δz ) − V ( z ) ⎧ = −( R + jω L) I ( z ) ⎪lim Δz ⎪ Δz →0 ⎨ I ( z + Δz ) − I ( z ) ⎪ = −(G + jωC )V ( z ) lim z Δ ⎪ Δz →0 ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩

射频电路理论与设计第1章 传输线理论


（1.20）
式（1.20）为已知始端电压和始端电 流时传输线上各点的电压和电流分布。
1.4 传输线的基本特性参数
在1.3节中，得到了传输线上任意一点 电压和电流的通解式（1.13），此式至关 重要，通过对式（1.13）的分析可以得到 传输线的基本特性参数。
由式（1.13）可知传输线上任意一点 jz jz jz 的电压V(z)为 A1e 与 A2 e 之和，其中A1e 表示沿+ z方向传播的电磁波，称为入射电 压; A2 e jz 表示沿- z方向传播的电磁波，称 为反射电压，入射电压与反射电压均为行 波。
图 1.1 平行双导线
图 1.2 同轴线
图1.3 带状线
图1.4 微带线
1.2 传输线等效电路表示法
1.2.1 长线
传输线理论是长线理论。传输线是长 线还是短线，取决于传输线的电长度而不 是它的几何长度。
电长度定义为传输线的几何长度l与其 上工作波长λ的比值。当传输线的几何长度 l比其上所传输信号的工作波长λ还长或者 可以相比拟时，传输线称为长线；反之则 可称为短线。
1. 反射系数Γ的定义及表示式
反射系数是指传输线上某点的反射电 压与入射电压之比，也等于传输线上某点 反射电流与入射电流之比的负值。反射系 数为
V z I z z V z I z
（1.24）
图1.8 传输线上的入射电压、反射电压和反射系数
V z V2 cos z jI 2 Z 0 sin z V2 I z j sin z I 2 cos z Z0
（1.18）
2. 已知传输线始端电压V1和始端 电流I1
V1 I 1 Z 0 jz V1 I 1 Z 0 jz V z e e 2 2 V1 I 1 Z 0 jz V1 I 1 Z 0 jz I z e e 2Z 0 2Z 0

第2讲 传输线方程及其解


如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u ( z, t ) Re U ( z )e jt jt i ( z, t ) Re I ( z )e
式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处的电 压或电流的复值。
dU ( R j L) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
当典型Δz→0时，有 i( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Ri ( z , t ) L t z i ( z z , t ) i ( z , t ) Gu ( z , t ) C u ( z , t ) z t 式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
二 长线与分布参数电路
1. 长线与短线 L 时，传输线为长线 L 时，传输线为短线
例： 电源与负载间的铜导线长1.5CM L 1 短线 若 f1 1MHZ，则 1 94.86m 若 f 2 10GHZ，则 2 0.949cm L 1.52 长线
Z 0 Zl j 2 l A1 e A2 0 Z 0 Zl
构成线性方程组
A1 A2 g Eg Z 0 Z0 0
其中 g 最后得到
Z g Z0 Z g Z0
, l
很易得到
C j z j z I ( z) ( A1e A2e ) ( A1e j z A2e j z ) L L
1 j z j z ( A1e A2e ) z0
其中，特性阻抗 Z
0
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2.2.1 传输线波动方程
i(z,t) i(z+Δi,t)
+ u(z,t) -
+ u(z+Δz,t) -
z
z
双导线传输线
i(z,t) +
u(z,t) -
i(z z,t) +
Rz
Lz
u(z z,t)
Gz
Cz
z
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m）
L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
——均匀无耗传输线的特性阻抗 Zc
描述均匀无耗传输线
2.2.3 传输线的特性阻抗
将式(2-23)和式(2-24)重写如下
U (z) U 1 ejz U 2 ejz
(2-23)
将上两式代入I式(z) dI1 de ( U zjz )z I 2 ( e Rj z jL0) I(z)
(2-24)
(25)
（这里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e jz 分别表示相应的相位： e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
2.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
/ ——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
2.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐 jt ]
d (e jt ) / dt je jt
i(z,t) Re[ I (z)e jt ]
带入方程 (2-3) 和 (2-4)(电报方程）:
(2-1)
t
由Kirchhoff’s 电流定律
i(z,t) Gzu(z z,t) Cz u(z z,t) i(z z,t) 0 (2-2) t
图示
2.2.1 传输线波动方程
lim (1.1a) : z 0 z
lim (1.1b) : z 0 z
u( z z, t) R( zi , t) L i( z t, t) ( 2 3 ) i( z z, t) G( zu , t) C u( z t, t)( 2 4 )
I(z)U 1ejzU 2ejzI(z)I(z)
Z c
Z c
(2-12) (2-13)
返回
2.2.3 传输线的特性阻抗
U1是正向行波电压U+(z)的复振幅，I1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，U1/I1的值具有阻抗的量纲；
U2是反向行波电压U-(z)的复振幅，I2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。U2/I2的值也具有阻抗的量纲。
2.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1 U2 LI2
即：
U1 I1
L ；
L C
U2 L L
I2
C
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。
因此式(2-23)和式(2-24)可写为：
U ( z ) U 1 e j z U 2 e j z U ( z ) U ( z )
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, ez 为相位项 项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度, ez 为相位项
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数； β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
因此定义一个阻抗： Zc C LU I((zz))U I((zz))
(2-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
dd( Uzz) (RjL) I(z) (25)
E j H
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
H j E
2.2.1 传输线波动方程
计算d(Edq2z5),并 dd2U( 代 2zz)公 入 式2U（(z2) － 6）0得：(27)
计算
d(Eq1 dz
6) , 并代入
2.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
U (z) U1e jz U 2e jz
(2-23)
I (z) I1e jz I2e jz
(2-24)
其中U1U2I1I2为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件
2.2.3 传输线的特性阻抗
举例：双导线特性阻抗的计算
将表2.2-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(2-26）中，得：
Z c 1 l n D D d 2 d 2 1 l n D D d 2 d 2 (2-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离，/ 是电磁波在均 匀、线性、各项同性无界介质 (,中)的波阻抗。
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
得到： U 1 je jz U 2 je jz jL ( I 1 e jz I 2 e jz )
即： jU 1 e j z jU 2 e j z jL 1 e j z I jL 2 e j zI
导体损耗
介质损耗 返回
2.2.1 传输线波动方程
i(z,t) u(z,t)
传输线l的集总元件电路等效
i(z l,t) +
u(z l,t)
-
2.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效:
由Kirchhoff’s 电压定律
u(z,t) Rzi(z,t) Lz i(z,t) u(z z,t) 0
公式（1
5)
得：
dd2I(2 zz)2I(z)0 (28)
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
2.2.2 传输线波动方程的解
U1ez
U 2ez
U( z) U1 e z U2 ez ( 2 1)0
IzIe Ie ( ) 1 z 2 z ( 2 1 )1