例谈特殊法在解主观题中的启思导向作用
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证明 ： 构造 函数 ）： ２ １ 眦＋ ， ∈［ １ ，＋ 。 。 ） ， 年湖北卷理科 ２ １ 题第 （ ３ ） 问中也起到 了关键性 的作 用． 魔术是 能够产生特殊幻影 的戏法 ，以迅 速敏捷 的技 巧或
则 ／ Ｔ （ ） ＝ ２ — １ － ｌ － ≠一
所 以 眦 ２ ＋ ≤ ｏ ， 令 ： 、 ／
所
１ － ｎ（ ｎ ＋ １ ） ２ …
≥ ，
立
’
些基本 的方法技能 ， 只要有一些 目标 意识 ，积累一定的解题 经验 ，把所学 的知识 融会 贯通 ，运用 一些逆 向思 维 ，抓住问
题的本质 ，就可 以使一些复杂问题迎 刃而解．
例， （ ｘ ） ＝ ｋ ｘ ， 再 由 １ ） ＝ ２ ， 从而得 出－ 厂 （ ） ＝ （ Ｑ） ．
有些数学问题 ， 题 意含 蓄 ， 目标隐晦 ， 特别是一些探索性 问 题或是解题 目标不 明显 的问题 ， 借助对特殊情形或取特殊值 的 分析 ． 往往能迅速锁定解题的 目标 ， 找到解题 的“ 切入 口” ． 例 １ ． 已知定 义在有理数集 Ｑ上的函数． 厂 （ ） 满足 ； 厂 （ １ ） ＝ ２ ， Ｖ ， Ｙ ∈Ｑ， 都有 卅ｙ ） ） ＋ ， （ ｙ ） ． 求函数 ｆ （ ｘ ） 的解析式．
以为我们解答复杂 的数学问题 提供启示和借鉴． ” 当解题 的思路 受阻或是思路不够明朗时 ， 如果取特例 ， 通过分析特例 ， 从特例 中得到启发 ． 为顺利解题提供强有力的保 障．
， ． （ － ｘ ） ＝ ２ （ － ｘ ） ＝ － ２ ｘ ， 又， （ － ｘ ） ＝ － ｆ （ ） ， ． ‘ ， ． （ ｘ ） ＝ ２ ｘ ，
【 目标 】 通过分 析特例 ， 于是我们 的 目 标 就是证 明， （ ｘ ） ＝ ２ ｘ
（ ∈Ｑ ） ， 所 以下面 的证明需要分 为整数 和分数两种情形 ．
【 解析 Ｖｘ ， Ｙ ∈Ｑ， 都有 令ｘ ＝ ｙ ＝ ０ ， 得， （ ０ ） ＝ ０ ，
） 气 ） 七 ｙ ） ，
数 学有 数
例谈特殊法在解 主观题 中的启思导 向作 用
■马 进
一
般 问题特殊化 ， 常常用来解 决选择题 和填 空题 ． 当选择
【 分析一】 乍一看， 根本就无从下手， 如果先通过特殊值，
如 ２ ） １ ） １ ） ＝ ４ ， ， （ ３ ） － ， （ １ ） ＋ ， （ ２ ） ＝ ６ ，
故函数 ） ＝ 在区间 ［ １ ，＋ 。 。 ）内单调递减，所 以， （ ）
＝ ｜ Ｄ ．
特殊装 置把实在 的动作掩 盖起来 ，用极敏 捷 、使人不 易觉察 １ ）
的手法和特殊的装置将变化的真相掩盖住． 数学 中的一些难题 ，
譬如 数列 不等式 的证 明与它差不多 ，其 实所考查 的仍 然是一
２ ≤ｏ’Fra bibliotek元 的方法就将原不等 式化繁 为 简．这样便 于构造 函数 ．构造 函数 时要尽 可能使得 函数 的解析式 比较 简单 。函数 的导数 容
● ＇
姘
枷 珂
龃
２ ＋
・
易 求 出 并且 容 易 定 号 ． 本 题 中证 明 的 不 等 式 ｌ 眦ｚ ＋
≤０ 甘
ｌ ｎ ｘ ≤ １（ —ｌ ＿） 在［ １ ， ＋ ） 上 恒成 立 ，这 个不等式在证 明 ２ ０ １ ０
由叠 加 法 ， 得， （ ） ＝ ；
体会从特殊到一般的数学思想在 解题 中的巧妙应 用．
三、 研 究 特例 ， 归 纳 问题 规 律
２ 。 当ｘ ＜ Ｏ且 ∈Ｚ时 ， ． ’ ． ∈Ｎ ，
‘ ．
苏谆教 授曾说 ： “ 简单 情形 正像 是一 把钥匙 、一 面镜子 ， 可
题 和填空题 的结论唯一或其值为“ 定值 ” 时， 可 以恰 当选取一个 （ 或一些） 特殊数值 （ 或特殊位置 、 特殊 函数 、 特殊点 、 特殊方程 、 特殊图形等等 ） 来确定其结果 ， 从而节省推理 、 论证、 演 算的过
程， 加快解题速度． 然 而对 于解答题 ， 如果在解答过程 中“ 进” 有 困难或是“ 无路” 可走路或是失去“ 目标 ” 时等等 。 我们可 以从一
（ ∈Ｑ ） ．
口， 锁定思维方 向， 迅速实现问题解决． 下面笔者就谈谈特例法 在解解答题中的启思导 向作用 。 不 当之处 ， 敬请批评指正．
一
、
研 究特 例 。 寻找 问题 的 “ 切 入 口”
【 分析二 】 由， （ ＋ ｙ ） ＿ ， （ ） ＋ ， （ ， ， ） ， 我们联想 到满足条件 的特
所 以 ＝ Ｉ ｎ
（ 作者单位 ：广 州市第 －ｑ ａ 学） （ ） 一 十
＝
＝ 翌 二
一 ≤０
．
责任编校
徐 国坚
、 ／ ２ （ ｎ ＋ １ ）
ＧＵＡＮＧ ＤＯＮＧ Ｊ ｜ ＡＯ ＹＵ ＧＡ０ ＺＨ０ＮＧ
１ 。 当 ∈ Ｎ 时， 令ｙ ＝ ｌ ， 得 卅１ ） ） １ ） ， 即 时 １ ） ） ＋ ２ ，
般性 的问题退 到特殊性 的问题上来 ， 将 问题转化或是构造满足 题设条件 的特殊情形 ， 进行 归纳 或否定其结论或找到问题的入
１ ） 争 ） ＋ ， （ 争 ） ） ＝ １ ， ， （ ｝ ） － ， （ ｝ ） ＋ ， （ ｝ ） ｝ ） ＝ ，
于是 ， 通过分析上面的特殊值 ， 便可作如下的猜想 ｉ 厂 （ ） ＝ ２ ｘ
令ｙ ＝ ， ． ， ． （ ０ ） ） 一） ， 即， （ － ｘ ） ＝ － ｆ （ ） ， 所以函数 厂 （ ） 为奇 函数 ，
点评 ：本题 中的不等 式合 有一个基本量 ｎ （ ｎ ＋ １ ） ．通过换
简 化问 题， 我 们 把不 ． ｇ － － 式 进 一 步变 形为１ ｎ 芋 ＋
３ ｏ 当 为分数时 ， 设 ＝ （ ｎ ∈Ｚ ， ｍ∈Ｎ ） 并且 ｍ， ｎ 互质 ，
则 ／ Ｔ （ ） ＝ ２ — １ － ｌ － ≠一
所 以 眦 ２ ＋ ≤ ｏ ， 令 ： 、 ／
所
１ － ｎ（ ｎ ＋ １ ） ２ …
≥ ，
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题的本质 ，就可 以使一些复杂问题迎 刃而解．
例， （ ｘ ） ＝ ｋ ｘ ， 再 由 １ ） ＝ ２ ， 从而得 出－ 厂 （ ） ＝ （ Ｑ） ．
有些数学问题 ， 题 意含 蓄 ， 目标隐晦 ， 特别是一些探索性 问 题或是解题 目标不 明显 的问题 ， 借助对特殊情形或取特殊值 的 分析 ． 往往能迅速锁定解题的 目标 ， 找到解题 的“ 切入 口” ． 例 １ ． 已知定 义在有理数集 Ｑ上的函数． 厂 （ ） 满足 ； 厂 （ １ ） ＝ ２ ， Ｖ ， Ｙ ∈Ｑ， 都有 卅ｙ ） ） ＋ ， （ ｙ ） ． 求函数 ｆ （ ｘ ） 的解析式．
以为我们解答复杂 的数学问题 提供启示和借鉴． ” 当解题 的思路 受阻或是思路不够明朗时 ， 如果取特例 ， 通过分析特例 ， 从特例 中得到启发 ． 为顺利解题提供强有力的保 障．
， ． （ － ｘ ） ＝ ２ （ － ｘ ） ＝ － ２ ｘ ， 又， （ － ｘ ） ＝ － ｆ （ ） ， ． ‘ ， ． （ ｘ ） ＝ ２ ｘ ，
【 目标 】 通过分 析特例 ， 于是我们 的 目 标 就是证 明， （ ｘ ） ＝ ２ ｘ
（ ∈Ｑ ） ， 所 以下面 的证明需要分 为整数 和分数两种情形 ．
【 解析 Ｖｘ ， Ｙ ∈Ｑ， 都有 令ｘ ＝ ｙ ＝ ０ ， 得， （ ０ ） ＝ ０ ，
） 气 ） 七 ｙ ） ，
数 学有 数
例谈特殊法在解 主观题 中的启思导 向作 用
■马 进
一
般 问题特殊化 ， 常常用来解 决选择题 和填 空题 ． 当选择
【 分析一】 乍一看， 根本就无从下手， 如果先通过特殊值，
如 ２ ） １ ） １ ） ＝ ４ ， ， （ ３ ） － ， （ １ ） ＋ ， （ ２ ） ＝ ６ ，
故函数 ） ＝ 在区间 ［ １ ，＋ 。 。 ）内单调递减，所 以， （ ）
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特殊装 置把实在 的动作掩 盖起来 ，用极敏 捷 、使人不 易觉察 １ ）
的手法和特殊的装置将变化的真相掩盖住． 数学 中的一些难题 ，
譬如 数列 不等式 的证 明与它差不多 ，其 实所考查 的仍 然是一
２ ≤ｏ’Fra bibliotek元 的方法就将原不等 式化繁 为 简．这样便 于构造 函数 ．构造 函数 时要尽 可能使得 函数 的解析式 比较 简单 。函数 的导数 容
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・
易 求 出 并且 容 易 定 号 ． 本 题 中证 明 的 不 等 式 ｌ 眦ｚ ＋
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ｌ ｎ ｘ ≤ １（ —ｌ ＿） 在［ １ ， ＋ ） 上 恒成 立 ，这 个不等式在证 明 ２ ０ １ ０
由叠 加 法 ， 得， （ ） ＝ ；
体会从特殊到一般的数学思想在 解题 中的巧妙应 用．
三、 研 究 特例 ， 归 纳 问题 规 律
２ 。 当ｘ ＜ Ｏ且 ∈Ｚ时 ， ． ’ ． ∈Ｎ ，
‘ ．
苏谆教 授曾说 ： “ 简单 情形 正像 是一 把钥匙 、一 面镜子 ， 可
题 和填空题 的结论唯一或其值为“ 定值 ” 时， 可 以恰 当选取一个 （ 或一些） 特殊数值 （ 或特殊位置 、 特殊 函数 、 特殊点 、 特殊方程 、 特殊图形等等 ） 来确定其结果 ， 从而节省推理 、 论证、 演 算的过
程， 加快解题速度． 然 而对 于解答题 ， 如果在解答过程 中“ 进” 有 困难或是“ 无路” 可走路或是失去“ 目标 ” 时等等 。 我们可 以从一
（ ∈Ｑ ） ．
口， 锁定思维方 向， 迅速实现问题解决． 下面笔者就谈谈特例法 在解解答题中的启思导 向作用 。 不 当之处 ， 敬请批评指正．
一
、
研 究特 例 。 寻找 问题 的 “ 切 入 口”
【 分析二 】 由， （ ＋ ｙ ） ＿ ， （ ） ＋ ， （ ， ， ） ， 我们联想 到满足条件 的特
所 以 ＝ Ｉ ｎ
（ 作者单位 ：广 州市第 －ｑ ａ 学） （ ） 一 十
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．
责任编校
徐 国坚
、 ／ ２ （ ｎ ＋ １ ）
ＧＵＡＮＧ ＤＯＮＧ Ｊ ｜ ＡＯ ＹＵ ＧＡ０ ＺＨ０ＮＧ
１ 。 当 ∈ Ｎ 时， 令ｙ ＝ ｌ ， 得 卅１ ） ） １ ） ， 即 时 １ ） ） ＋ ２ ，
般性 的问题退 到特殊性 的问题上来 ， 将 问题转化或是构造满足 题设条件 的特殊情形 ， 进行 归纳 或否定其结论或找到问题的入
１ ） 争 ） ＋ ， （ 争 ） ） ＝ １ ， ， （ ｝ ） － ， （ ｝ ） ＋ ， （ ｝ ） ｝ ） ＝ ，
于是 ， 通过分析上面的特殊值 ， 便可作如下的猜想 ｉ 厂 （ ） ＝ ２ ｘ
令ｙ ＝ ， ． ， ． （ ０ ） ） 一） ， 即， （ － ｘ ） ＝ － ｆ （ ） ， 所以函数 厂 （ ） 为奇 函数 ，
点评 ：本题 中的不等 式合 有一个基本量 ｎ （ ｎ ＋ １ ） ．通过换
简 化问 题， 我 们 把不 ． ｇ － － 式 进 一 步变 形为１ ｎ 芋 ＋
３ ｏ 当 为分数时 ， 设 ＝ （ ｎ ∈Ｚ ， ｍ∈Ｎ ） 并且 ｍ， ｎ 互质 ，
