数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用

浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用特殊化法是指运用满足题设条件的某些特殊值对各选择支进行检验或推理，根据“一般成立?圯特殊成立，特殊不成立?圳一般不成立”的原理得到正确结论。

此法的主要特征是取特例（如特殊数值、特殊位置、特殊模型等），解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊，效果愈好。

下面举几个例子来说明用特殊化解题的方法。

一、特殊数值从条件或者选择支中，取一些方便于计算和推理的数值进行验证，从而否定答案，包括取特殊值构造特殊数列或构造特殊项数、取特殊的角等等。

有时候一次能成功，但是有时候必须取两次、三次甚至更多，切忌“一次成功”。

例１.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log35解法１：由9=a5a6=a1q4×a1q5=a12q9，可得a1a2…a10=a110q1+2+3+…+9=a110q45=（a12q9）5=q5=310原式=log3a1a2…a10=10因此选Ｂ。

解法２：由等比中项性质可得9=a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7，原式＝log3（a 5 a 6 ）5=5log39=10。

这两种解法虽然都正确，都是把一道选择题当作一道解答题求解，并没有考虑到选项及选项只有一个是正确的这两个信息。

从这两个信息思考，不管这个数列的通项公式{an}是什么，答案都是唯一确定的。

既然如此，为什么不取一个特殊数列？解法3：令a5=a6=3，满足已知条件，此时是一个公比为１的等比数列，因此各项均为３，而log33=1，于是10个１相加得10，故选Ｂ。

解法3相对于前两个解法减少了运算量，甚至没有运算量，用的时间自然就少，解法自然就简捷。

二、特殊位置对于具有动态的问题，可以优先考虑问题极端情况，包括在中点、端点时的情形、在相等时取到最值的情形、在某个不断变换时的变化趋势和极限状态等。

特殊值法在高考试题中的应用近几年来，高考物理试题中出现了一类新题型，命题者所给的问题我们按中学物理的常规方法很难解决，但要求学生对这些问题的解是否合理进行分析和判断。

若在处理这类问题时，采用”特殊值假设法”能对所给的问题较快地作出判断。

现举例说明此法在解这类高考试题中的作用。

例1 （2012安徽.20）如图1所示，半径为r 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点（坐标为x ）p的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： e=2πkα1- ，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为α0 的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。

则圆孔轴线上任意一点α（坐标为）的电场强度为（）解析：我们可以这样考虑：x=0坐标和半径r不论取何值，结论式都适用。

不防我们先代以某些特殊值，看看结论如何？例如：（1）当x=0 时，即o点的电场强度由对称性和电场强度的叠加原理可求出，结果为0；将特殊值代入a、b、c、d四个式子中，a、c两个式子的值为0，b式不是0，d式为无穷大。

故ac可能是正确的；（2）当x取无穷大时，q点的电场强度为0；将特殊值无穷大代入ac两式中，c式的值不是0，a式 =0，故a 正确；例2 （2011福建.18）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m1 和m2 的物体a和b。

若滑轮有一定大小，质量m为且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。

设细绳对a和b的拉力大小分别为t1 和t2 ，已知下列四个关于的表达式中有一个是正确的。

请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是a.t1=b.t1=c.t1=d. t1=解析：（1）当m1=m2=m 时，整个系统处于静止状态， t1=mg ；将特殊值m1=m2=m 代入a、b、c、d四个式子中，a式中t1=- m ，b式中t1=- ，d式中mg t1=- mg ，只有c式中t1=mg ，故c选项是正确的。

特殊值法在高中数学解题中运用论文
浅谈特殊值法在高中数学解题中的运用
摘要：特殊值方法,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题中的某个特殊值,或某个特殊情形,经过简单的推理、判断或运算就可得到正确答案的方法。

在高考中,时间就是分数,解题的正确性与答题速度的快慢直接影响到总成绩。

关键词：数学；特殊值；解题
数学家希尔伯特曾讲过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起更为重要的作用。

”特殊化策略，将原问题视为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的分析解决而获得原问题的解决。

特殊化作为划归策略，基本思想方法是很简单的：对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常蕴涵着一般问题的解决方法。

所以，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法推广到一般问题上。

正如波利亚所说：“特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。

”从形式上看，将一般问题特殊化是不困难的，但是某个一般性问题经过不同的特殊化处理后会得到多个不同的特殊化命题。

特殊化策略是一种退的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体。

一、利用特殊值的数值解题
利用特殊值的数值解题时，在题设条件允许的范围内用具体的数。

浅谈特例殊法在数学中的运用高三级 数学科 陈鹏摘要：特例法在数学解题中的应用，有的数学题用一般法去解答很难求解甚至不知从哪里下手，这个时候如果选择特例法代入求解，就可以起到化难为易、简化思维量等效果。

关键词：特例法、概念、作用、解题、应用正文：在数学教学和数学解题中，有些问题从直接解题入手很难。

甚至不知从哪里入手，这个时候如果选择特例法代入求解，就可以起到化难为易、简化思维量等效果。

所谓特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理。

用特例法解题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

特例法教学的真谛与核心就是理论与实践相结合的互动式教学，学生通过对案例进行分析和解决实际问题的过程中获得启迪，逐渐归纳出一个有效的思维与逻辑。

从而达到学理论、懂理论、用理论三者之间的有机结合。

如在必修四2.5.1平面几何中的向量方法（课本P109页的例1）平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型的教学中。

如图，AD AB DB AD AB AC -=+=,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度 之间的关系吗？如果此题通过长度与模的关系，寻求向量中的基底表示，大部分学生可能觉得无从下手。

如果采用特例法，首先让学生去寻求长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？通过特例层层设问和质疑，把思维引向深入。

学生就能很快根据勾股定理去找到对角线的长度与两条邻边长度之间关系而达到解决问题目的。

同时把乏味、空洞、枯燥的学习通过特例设置直观有趣的质疑，刺激了学生的求知欲望，激发了学生的好奇心，在生疑、解惑中收获新的知识和能力，体会思考与创造带来的快乐，认识自己潜在的智慧与力量，也改变了教师一讲到底局面。

增强了教学互动，活跃了课堂气氛，激发学习兴趣和调动学生学习积极性。

特例法在数学教学与数学解题中要把握的最关键的环节是“如何选择合适的特例”个人认为要做到准确地选择特例首先就要知道特例法的三个特征：(一)、特例很少发生，但一旦发生，就能冲击现有的规则。

特例法的妙用如果你认真研究近几年的高考数学题，你将会发现有些选择题，须用特例法求解。

所谓特例法，通俗来说就是一般的满足，特殊的也满足；即在一般情况下，可用特殊的情形来代替一般情形。

具体来说就是用特殊的值、向量、点、数列、函数、位置、图形来代替一般的值、向量、点、数列、函数、位置、图形；从而达到快速解题的目的。

下面我就高考题把特例法做一总结，希望对你有所帮助。

一、 特殊值法例1 设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ）Ａ．n m p >> Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >>Ｄ．p m n >>解析：取a=2,得答案B评注：所选取的特例要符合题设条件，且越简单越好。

例2 若02x π<<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin x x π<Ｂ．3sin x x π>Ｃ．224sin x x π<Ｄ．224sin x x π>解析：取=6x π,排除A,B,C,得D评注：一般情况下，特例法与排除法结合起来使用。

例3 如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 ( )A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 解析：三角形中角的正弦值均为正∴111A B C ∆的三内角的余弦值也为正 ∴111A B C ∆是锐角三角形 ∴取1115,,;4312A B C πππ===得2223,,;4612A B C πππ===所以选D 评注：所取的特例必须是我们非常熟悉的，越简单越好。

特殊值在解题中的灵活应用高中数学的知识点很多，很多时候我们在解答数学题时，直接求解很难入手，或者运用理论解法求解时，因为大量的计算往往弄得焦头烂额，既浪费时间，又容易出现错误。

此时，或许最简单有效的方法就是运用特殊值法。

特殊值法在数学中是常见的一种方法，其解题的理论依据与逻辑基础是：若对一般情形成立，则对其中的特殊情形也成立；若某种特殊情形成立，则一般情形不一定成立；若对某特殊情形不成立，则对一般情形也不成立。

利用此方法可在短时间内解决问题，尤其是在争分夺秒的高考中，可舍弃一些选择题、填空题的解题过程，收到出奇制胜、事半功倍的效果；在一些一般性问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用。

下面举例说明。

例1已知f（x）=ax2+bx+c的值域、定义域所围成的是正方形，则a=。

解析：此题如果运用一般解法，一时很难找到思路，不妨将b、c代入特殊值求解。

取b=0，c=1。

则f（x）=ax2+1，由ax2+1≥0，得出定义域--1a≤x≤-1a，同时得出a<0。

由二次曲线及导数知识求得值域0≤f（x）≤1。

由題给出的条件值域、定义域所围成的是正方形，得到2-1a=1，计算得到a=-4。

例2设a、b、c都是正数，求证：an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp，其中n∈N，p、q、r都是非负整数，且p+q+r=n。

解析：欲证的不等式比较复杂，直接证明很难入手。

先考查p=2、q=1、r=0的特例，这时欲证的不等式为a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a。

不难看出，这个不等式可以利用“平均不等式”证明如下：因为2a3+b33≥3a3·a3·b3=a2b，同理2b3+c33≥b2c，2c3+a33≥c2a。

三式相加得：a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a。

再考查一般性问题，仿效上述特例的解答，由“平均值不等式”可知：pan+qbn+rcnn≥apbqcr，ran+pbn+qcnn≥arbpcq，qan+rbn+pcnn≥aqb rcp。

例谈特殊值法在高考中的应用作者：周英来源：《中学教学参考·理科版》2011年第06期用特殊情况代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论，做出正确判断的方法叫做“特殊值法”.当题目已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值或特殊位置，或者一种特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理、论证的过程.这种方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊数列等等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题的目的.在高考中,如果考生能够熟练地运用特殊值法常常会起到事半功倍的效果.下面以2010年江苏省的高考数学试题为例说明特殊值法在高考中的应用.【例1】（2010，江苏，5）设函数-∈R)是偶函数，则实数a = .解析：∵ f ( x )为偶函数，∴ f (-x) = f (x)，即(---化简可得x ［］=0.∵x ∈R时上式成立,∴a =-1.特殊值法:由于x ∈R时普遍成立, 所以可以取特殊值代入.例如：f ( -1) = f ( 1 )，即( ---，化简后直接可以得到a = -1.点评:对于这类特殊值的代入方法,若教师在平时的教学中能有意识地进行引导总结,形成固定的套路方法,那么学生在解题时就能主动运用“特殊值法”来解决这样的问题.【例2】（2010，江苏，13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ba+ab= 6cosC,则 tanCtanA+tanCtanB= .解析：即6ab•cosC = a2 +b2，即6ab•a2+b2-c22ab = a2 +b2,∴a2+b2=3c22.tanCtanA + tanCtanB =sinCcosC •cosBsinA+sin BcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB.由正弦定理得：上式=1cosC•c2ab=c216(a2+b2)=c216•3c22= 4.特殊值法:当A = B或a = b时满足题意，该锐角三角形为等腰三角形.其中 ba+ ab = 6cosC =2 ,即cosC=13,tanC =8.cosC =-cos (A + B) =- cos2A = - 2cos2A + 1 =13，解得cosA=33,tanA =2.∴tanCtanA +tanCtanB=8•(22+22) =4.点评: 本题属于难题，考查了正、余弦定理的综合应用和等价转化思想.需要学生在解题过程中不断地结合条件以及结论相应地调整解题思路.注意到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性,那么代入特殊值能减少推理、运算的过程.【例3】（2010，江苏，18）在平面直角坐标系xOy中，如右图，已知椭圆 x29+y25= 1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T (t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点、，其中（1）设动点P满足PF2-PB2 = 4,求点P的轨迹；（2）设＝，求点T的坐标；（3）设t = 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.解析：（1）（2）略.（3）设点T的坐标为(9,m)，直线MTA的方程为：y-0m-0 = x+39+3 ，即y =m12(x + 3)，直线NTB 方程为：y-0m-0 = x-39-3 ，即y =m6 (x -3)，分别与椭圆 x29+ y25 = 1联立方程组，同时考虑到-，解得M ( 3(80-m2)80+m2,40m80+m2),N (3(m2-20)20+m2 ,-20m20+m2 ).当x时，直线MN的方程为：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3(m2-20)20+m23(80-m2)80+m2+3(m2-20)20+m2.①令y = 0，解得x = 1.此时必过点D（1，0）；当时，直线MN的方程为x = 1，与x轴的交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.特殊值法:在上述解题运算到①处时,将m = 20代入①式,即可得x = 1.点评: 本小题主要考查求简单曲线的方程、直线与椭圆的方程等基础知识.将y=0代入①式以后对①式的化简成为解决这道题目的最大的障碍.此时式中含有m这一个不确定的量，但题目暗示其化简的结果是一个定值，这种情况适用于通过特殊值法来进行解决.这时如果将变量m取一些特殊数值20，会大大简化计算的过程.矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，一个普遍成立的命题，对特殊情形也必然成立；对特殊情形不成立的命题，对普遍情形也不成立.把辩证法的这一原理用到数学的解题和学习中就是特殊值法.对某些问题的求解，若将之当作解答题来解，会无从着手或很繁杂，但若善于运用特殊值法，会起到事半功倍的效果.因此，在平时的教学中我们应该注重对于“特殊值法”的总结和引导,把这种方法作为我们解题的主流方法之一,使之成为学生在解题过程中能主动运用的数学思想.(责任编辑金铃）注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

特殊值法在高考试题中的应用近几年来，高考物理试题中出现了一类新题型，命题者所给的问题我们按中学物理的常规方法很难解决，但要求学生对这些问题的解是否合理进行分析和判断。

若在处理这类问题时，采用”特殊值假设法”能对所给的问题较快地作出判断。

现举例说明此法在解这类高考试题中的作用。

例1 （2012安徽.20）如图1所示，半径为r 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点（坐标为x ）p的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： e=2πkα1- ，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为α0 的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。

则圆孔轴线上任意一点α（坐标为）的电场强度为（）解析：我们可以这样考虑：x=0坐标和半径r不论取何值，结论式都适用。

不防我们先代以某些特殊值，看看结论如何？例如：（1）当x=0 时，即o点的电场强度由对称性和电场强度的叠加原理可求出，结果为0；将特殊值代入a、b、c、d四个式子中，a、c两个式子的值为0，b式不是0，d式为无穷大。

故ac可能是正确的；（2）当x取无穷大时，q点的电场强度为0；将特殊值无穷大代入ac两式中，c式的值不是0，a式 =0，故a 正确；例2 （2011福建.18）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m1 和m2 的物体a和b。

若滑轮有一定大小，质量m为且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。

设细绳对a和b的拉力大小分别为t1 和t2 ，已知下列四个关于的表达式中有一个是正确的。

请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是a.t1=b.t1=c.t1=d. t1=解析：（1）当m1=m2=m 时，整个系统处于静止状态， t1=mg ；将特殊值m1=m2=m 代入a、b、c、d四个式子中，a式中t1=- m ，b式中t1=- ，d式中mg t1=- mg ，只有c式中t1=mg ，故c选项是正确的。

教学实践2013-04选择题和填空题在高考数学试卷中占有相当大的比例，可以不夸张地说:选择题和填空题发挥得好坏直接决定了一名考生的命运。

选择题重点考查的是学生对高中数学基本概念、基本知识的理解，对一些常用的解题方法、解题技巧的掌握.要清楚概念与概念之间的关系，特别是一些相似概念要能正确区分.选择题的特点是给出四个选项，要求考生能从中快速地选出正确的选项，它不需要给出解题过程，所以很多时候不需要从正面直接解答，利用特值法可以逐一排除错误选项，达到快速准确解题的目的.对于填空题同样可以采取特值法，例如，在一些有关函数性质的问题中就可以应用特值法.一、特值法的含义及其在学习中的功能特值法是特殊化方法的统称，就是根据问题所给的全部信息，通过观察分析，选取包含在问题的条件（或结论）中的某个特殊值，或某个特殊情形，经过简单的推理、判断或运算就得出问题的正确答案的方法，主要包括取特殊值法、取特殊图形法、取特殊位置法、取特殊函数法、取特殊数列法等.以下列举几个特值法解决的常用问题.二、特值法在高考数学中的应用1.利用特值法解决已知范围的化简问题例1.若a<-1,则3-3-a-3的最后结果是（）A.3-a B.3+aC.-3-aD.a-3解：∵a<-1，可以取a=-4，代入计算：原式=-1，又3+a=-1，∴选B.2.利用特值解决不等式问题例2.若0<a1<a2，0<b1<b2且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是（）A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12解：特值法，取a1=14，a2=34，b1=13，b2=23，通过计算比较a1b1+a2b2最大.选A.3.取特殊函数解决对称问题例3.函数f（x）=m+12x+1图像关于原点对称，求m的值.解：由题意知f（x）为奇函数，故f（0）=0，带入函数得m=-12.例4.函数f（x）=m cos2x+sin（2x）,对于任意t都有f（t+π4）= f（-t），则m的值为。

祖国2018.10.下|理论纵横|摘要：随着高中数学理论知识体系的不断丰富，我们在实际解题过程中需要使用多元化的解题方法，从而提高解题效率，其中就包括特定值法的应用。

本文以高中数学解题中特定值法的应用为研究内容，通过几个典型的例题分析，以期加深广大高中生对这一解题方法的认识，并能够熟练应用这一方法，进而促进个人数学综合素养的提升。

关键词：高中数学解题特定值法应用高中数学解题中特定值法的应用研究文/陈昊宇高中数学在难度上要远远高于初中阶段的数学知识，在实际解题过程中我们发现，仅仅掌握基础理论知识并不能够高效解题，相反严格按照基础理论知识和常规解题方法有时会使解题过程更加复杂。

在这种情况下，我们应选择灵活的解题方法，以降低解题难度，使解题过程更加简洁、清晰。

在诸多解题方法中，特定值法的应用具有一定的局限，并不是所有的数学题目都能应用这一方法。

因此，本文通过例题的方式对这一解题方法进行深入分析。

一、特定值法在不等式关系中的应用对于一些较为简单的选择题、填空题等题目，由于考试时间有限，如果进行深入分析和证明的话，将导致时间浪费。

在解此类题目时，利用特定值法，能够使解题更快，且结果不易出错，如例题所示。

例1：当时，则三个数的大小关系为：解析：该题目如果使用常规的解题方法，很难在较短的时间内证明三者之间的大小关系。

由于题目中已经明确了x 、y 的取值范围以及两者之间的大小关系，因此，可以应用特定值法对x 、y 赋值，为降低计算难度，取代入进行计算得：。

所以，三个数的大小关系为：。

二、特定值法在数列题目中的应用一般情况下，关于数列题目的求解主要为通项公式和前N 项公式，对于一些关于数列题目的变式，则可以应用特定值法辅助解题，如下题所示：例2：数列{a n }为等比数列，其中a n >0，并且，已知a 5a 6=9，此时，求函数的值。

解析：如果该题目是一个选择题或者是填空题，我们可以直接应用特定值法得出答案，已知条件为a n >0且a 5a 6=9，假设等比数列{a n }为a n =3，公比为1的等比数列，即a 5=a 6=3，继而求得的值为10。

特殊值法在解高考数学选择题中的运用郝晓鑫;韩龙淑【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】3页(P58-60)【作者】郝晓鑫;韩龙淑【作者单位】太原师范学院数学系 030619;太原师范学院数学系 030619【正文语种】中文选择题是高考数学试题的主要题型之一，要想简捷准确地完成，在丰富的知识背景下，特殊值法是一种行之有效的方法.特殊值法解选择题主要是将满足条件的特殊值、特殊例子、特殊图形等代入题干或结论中，排除发生矛盾的选项，确定正确的答案，从而可以简化题目，节省时间.同时由于选择题不需要写出思维过程，且题目和选项构成本身已经给出了答案，重在考查学生数学思维的敏捷性，因此“用最短的时间、最少的精力，迅速、准确地拿下选择题，取得全卷的主动权”是做高考选择题的目标，特殊值法成为人人都会尝试的方法，但是在运用时常出现取值不当和应用范围盲目扩大等问题.因此，研究适合用特殊值法的选择题以及如何运用，就显得特别有现实意义.对于函数图象类选择题来说，图象中任意的一个点总有唯一确定的横、纵坐标与之对应，利用特殊值法做此类题，就是要从最易求的一个或几个特殊点下手进行突破. 例1 (2014·全国卷Ⅰ)如图1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA,终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( ).解析此题中，点P在某一个固定的位置，即x为某一确定的角度时，都有(一个)唯一确定的y值与之对应.观察选项图象发现当时，4个选项中y的值不完全相同，故先取特殊值，得出=0，从而排除A,D；再观察选项B,C，当时，y的取值不同，故取特殊值进行判断.因，故选B.说明通过此题可以发现，特殊点的选取需要结合选项进行.对于题干中给出的图象来说，x=0和x=π均可视为特殊情况，但是将这两个特殊点作为注意指向(完全)没有意义，因为对于选项来说，在这两点处的情况一样，不能进行区分,特殊点的选取对于选项要有区分度.例2 (2013·全国卷Ⅰ)函数f(x)=(1- cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为( ).解析对于f(x)=(1-cos x)sin x，x取定，有唯一确定的y值与之对应，观察选项，只有B的图象不是奇函数图象，故先从奇偶性入手判断.因f(x)=-f(-x)，故f(x)为奇函数，排除B.对于A,C,D，最明显的不同是当x>0时，y值有正负的区别，故取便于计算的特殊值.因=1>0，故排除A.对于C，D，以为界，C项在中y值均小于1，D项在中y值均小于1，若取<1，C项一定符合，但并不能从图象中严格判断D项.此时尝试取,而>1，因为D项在中y值均小于1，故排除D，选C.解析借助奇偶性作为第一步进行筛选，可见特殊值法往往不是单一地运用，通常需要与其他方法结合使用；在对C，D两个选项做出选择时，运用了两次特殊值法，第一次难以严格推导出结论，需再次验证，可见利用特殊值法的同时要注重推理的严密性.周期类选择题，任取定一个周期区间均可求出周期，即他们都满足题干条件的情况有多种，但结论却唯一. 比值类选择题在比值一定的情况下，作比的两数有多种情况；此时，任取满足题干的一种情况，都可得出正确的结论.利用特殊值法解题即在满足条件的多种情况中，选取最容易、最特殊的情况进行推导，从而做出选择. 例3 (2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图4所示，则f(x)的单调递减区间为( ).解析要求的是余弦类函数的递减区间，而函数为周期函数.观察所给图象中的两个特殊点和，可以得出函数的半个周期为1，周期为2.由分析得出只有D选项的周期为2，从而选D.说明此题直接从两个特殊点分析，得出了周期为2，进而直接作出了选择，没有机械地从函数表达式开始推导，省去了大量的论证过程，简化了题目，节省了时间.特殊值要想用得恰当，需要将题干、题支及其给出的图象辩证统一起来.例4 (2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，边上的高等于，则sin A=( ).解析要求的是正弦值，此题中可将其定义为线段的比值，同时根据题干可作出如图5所示的图形，AD为BC边上的高线，D为BC的三分之一点.题干中给出了BD与BC的比例关系，并未给出确定的值，可见满足条件的情况有多种，可以用特殊值法得出结果.因为∠B=45°，此时取特殊值AD=BD=1，从而有,由余弦定理求出.由正弦定理得sin .故选D.说明按通性通法直接计算的话，面积的表示将会含有字母，使过程变得复杂，但是当取定满足条件的最简单的特殊值代入，顿时使计算过程简单明了.所以当遇到比值类选择题时，可采用特殊值法简捷地进行计算.求参变量选择题即通过给含参变量的函数设定确定的条件，使含参函数满足这个条件而推出参变量的取值范围；反过来讲，所推出的参变量的取值一定满足设定的条件，特殊值法便是利用这一特点.具体运用为：通过对比，在选项中给出的参变量范围不重合的部分中，找一个容易计算的特殊值，将此特殊值赋于参变量，判断是否满足条件，若满足，则不含此特殊值的选项排除，含此特殊值的选项留下.例5 (2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是( ).解析本题给含参函数设定确定的条件，从而求参变量的范围，可用特殊值法进行反向验证.为了使题目更加明了，首先画出函数的大致图象.题目中的函数较为复杂，可通过拆分来简单化，具体令g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a.由g′(x)=ex(2x+1)得出为g(x)的极小值点，且<0.因ex>0，当时，g′(x)<0，g(x)递减，且g(x)<0恒成立；当时，g′(x)>0，g(x)递增，且在内g(x)<0，在内g(x)>0.综上大致得出图象6.而题目中的“存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0”,结合图象即存在唯一的整数x0使g(x)在h(x)下方.从图象得出若a的取值为负时，存在无穷多个整数，使得f(x)<0，与设定条件相矛盾，从而排除选项A,B.对于选项C,D来说，C不包含，而D包含，故取特殊值进行判断.此时g(0)<f(0),且g(1)>h(1),g(-1)>h(-1),满足设定条件，排除C，选D.例6 (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( ).(A)(2,+∞) (B)(1,+∞)(C)(-∞,-2) (D)(-∞,-1)解析给含参函数设定条件，从而求参变量的范围，可用特殊值法求解.函数为三次较难，借助图象可使题目变得更加直观，设h(x)=ax3,g(x)=3x2-1，如图7.“若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0”即为h(x)和g(x)只在x>0时，有一个交点，从图中易得只有当a<0时，才能满足x0>0,故排除选项A，B.对于选项C，D来说，C项不包含-2，D项包含-2，故取特殊值a=-2来进行判断.此时f(x)=-2x3-3x2+1,f′(x)=-6x2-6x,可得出f(x)有两个极值点：x2=-1为极小值点，x1=0为极大值点.而 f(-1)=0，与x0>0相矛盾，故a取不到值-2，故选C.例7 (2013·全国卷Ⅰ)已知函数,若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ).(A)(-∞,0] (B)(-∞,1](C)[-2,1] (D)[-2,0]解析对于含参函数ax，设定了确定的条件|f(x)|≥ax，求参变量的范围，可用特殊值法来求.观察选项取特殊值a=-3，若成立，则排除选项C，D，若不成立，即可排除选项A，B.当x≤0时，取特殊值a=-3时，|f(x)|≥ax为x2-2x≥-3x,化简为x(x+1)≥0，即根据题意当x≤0时，x(x+1)≥0恒成立.然而当x∈(-1,0)时，有x(x+1)<0，矛盾，故a不能取到值-3.从而排除选项A，B.再看选项C，D .C项包含1，而D项不包含1，故取特殊值a=1.当x>0时，按题干信息可得|ln(x+1)|=ln(x+1)≥x,设g(x)=ln(x+1)-x，由g′(x)可判断出g(x)为单调递减函数.g(x)<g(0)即ln(x+1)<x，与题干信息相矛盾，故a不能取到值1.从而排除C项，故正确选项为D.说明此类选择题多为压轴题，综合性较强，有一定的难度，需要在综合分析的基础上通过将特殊值法与其他方法融合运用或使用多次特殊值法来解.比如经过一定的推导作出图象就可使题目清晰化，从而做出进一步的判断.同时特殊值法的运用需要建立在逻辑的严谨性和思维的灵活性基础上.总之，数学基础知识掌握越扎实，同时对题目整体把握越灵活，特殊值法运用起来越得心应手.不过需要注意应该借助于对题目条件的分析，并根据具体情况决定是否用特殊值法，不能为特殊值法而用特殊值法.在解题过程中所形成的习惯、思维方式将会对人的思想产生影响.为了培养学生思维的灵活性，在解题教学中，教师除了呈现具有通性通法的直接正面严格推导的习题外，也可通过特殊值法在选择题中的运用来开阔学生的思维；同时虽然在主观题中，一般情况下利用特殊值法不能严格推导做答，但是在较难的题目中，特值探路可使解题方向更加明确.此外，学生较多地接受了命题、定理的正面陈述和直接论证，会形成一定的思维定势，创造性思维仍是学生的薄弱之处，而猜想与预测有利于创造性思维的发展，运用特殊值法可以进行有效的猜想与预见.因此如何合理运用特殊值法提高数学解题的收益率值得进一步关注.。