再谈高中数学中的特殊值法解题

解题宝典特殊值法是指借助满足题目条件的特殊值来解答问题的方法.特殊值法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答选择题、填空题时运用特殊值法，能巧妙优化解题的方案，简化解题的过程.那么如何运用特殊值法来解题呢？一、巧取特殊的数值有些代数问题较为复杂，且计算量较大，此时我们可以根据题意寻找一些特殊的数值，将其代入到题目当中，从中寻找到一定的规律，然后采用先猜想后验证的方法、归纳法、递归法等来解题.运用特殊值法解题，有助于快速找到解题的突破口，达到化难为易的目的.例1.定义在区间()-∞,+∞的奇函数f ()x 为增函数，偶函数g ()x 在区间[)0，+∞上的图象与函数f ()x 的图象重合.设a >b >0，则下列不等式中正确的是（）.A.f ()b -f ()-a >g ()a -g ()bB.f ()b -f ()-a <g ()a -g ()-bC.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-aD.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a 解：令f ()x =x ，g ()x =||x ，取a =2,b =1,所以f ()a =f ()2=2，f ()-a =f ()-2=-2，f ()b =f (1)=1,f ()-b =f ()-1=-1,g ()a =g ()2=2,g ()-a =g ()-2=2；g ()b =g ()1=1，g ()-b =g ()-1=1.所以f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a ，故选C .我们首先结合题意找到了两个满足题目条件的两个函数f ()x =x 、g ()x =||x ，然后取特殊值a =2、b =1,将其代入函数解析式中计算，便能快速解题.例2.（Ⅰ）已知在数列{}C n 中，C n =2n +3n ，且数列{}C n -pC n -1是等比数列，求常数p .（Ⅱ）设{}a n ，{}b n 是公比不相等的两个等比数列，且C n =a n +b n，证明数列{}C n 不是等比数列.解：（Ⅰ）由C n =2n +3n得C 1=5、C 2=13、C 3=35、C 4=97，又因为C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3为等比数列，所以()35-13p 2=()13-5p ()97-35p ，解得p =2或3.（Ⅱ）设{}a n 、{}b n 的公比分别为p 、q 且p ≠q ，则它们的前三项为a 1、a 1p 、a 1p 2和b 1、b 1p 、b 1p 2,其中a 1b 1≠0，所以C 1=a 1+b 1、C 2=a 1p +b 1q 、C 3=a 1p 2+b 12q 2，从而C 1C 3=a 12p 12+a 1b 1()p 2+q 2+b 12q 2，C 22=a 12p 12+2a 1b 1pq +b 12q 2.又因为p ≠q ，p 2+q 2>2pq ,所以C 22≠C 1C 3从而{}C n 不是等比数列.对于问题（Ⅰ），主要抓住了{}C n -pC n -1为等比数列的信息，然后取特殊值n =1,2,3,4，得到数列的前三项C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3，利用等比数列的性质建立关系式，求得p 的值，最后验证结果即可.解答问题（Ⅱ），需首先结合题意设出两个数列的公比，取数列的前三项，利用等比数列的性质证明结论.二、巧造特殊的图形有些几何问题中的图形为不规则的图形，难以直接运用所学的公式、定理、法则来解题.我们可以将图形特殊化，巧妙构造满足题意的、规则的、特殊的图形，或者直接将已知图形视为某种规则的、特殊的图形.这样会给我们解题带来很大的方便.例3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ,EF =32,EF 与AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D.152解：假设EF ⊥面FBC ,所以V E -FBC =13S ΔFBC ∙EF =13×12×3×2×32=32，而四棱锥E -ABCD 的体积为V E -ABCD =13×3×3×2=6,所以V ABCDEF =V E -ABCD +V E -FBC =152,故选D .题目中的图形呈现不规则状态，需对多面体作特殊化处理，于是假设EF ⊥面FBC ，这样三棱锥E -FBC 就成为直三棱锥，运用直三棱锥的体积公式便能快速得到结果.综上所述，运用特殊值法解题的关键是寻找满足题意的特殊数值、图形，将其代入题中进行求解.运用特殊值法解题，能让问题变得更加简单、直观，有助于培养同学们运用“从特殊到一般”“从一般到特殊”思想解答问题的能力.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）巧用特殊值法提升解题的效率石建春40。

数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。

在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。

主题词：数学高考特殊值法简化应用随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。

身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。

第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。

如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。

第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。

第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。

这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。

特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。

这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。

［１］特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。

这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。

如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证：先证相邻对换的情形。

设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b 与排列a…abab…b的奇偶性不同。

特殊值法解题技巧广东省和平县下车中学 刘玉燕特殊值法解题,可以绕开复杂的推理、运算,准确、快捷地得出答案。

在讲究解题速度的考试时使用能收到事半功倍的效果。

特殊值法解题的要点是: 1.在取值范围内取特殊值； 2.为使运算简便,一般所取的值应是绝对值较小的整数；3.将所取的值代入题中,通过运算、比较,得出答案。

下面常见的考试题用特殊值法来解，真是妙不可言。

一、填空题例 1. 已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数234yx x的图象上，若21330,22x x 则1y ，2y 具有的大小关系为______________分析：因为抛物线234yx x的对称轴是32x，由21330,22x x 易知A ，B 两点在抛物线对称轴的两侧，要确定1y ，2y 大小关系，通常要先把A ，B 点转移到对称轴的同一侧,再根据12,x x 的大小关系确定1y ，2y 大小关系.而若在取值范围内取12,x x 的特殊值，代入234yx x求出1y ，2y ，再比较，就很容易。

解: 21330,22x x 取213,1,x x 此时133310,22y213146, 2233344,64,y 故12y y例2．（1）若1a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。

（2） 若01a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。

分析：上题若用不等式的性质来解，容易造成混乱。

取特殊值后就很清晰。

解：（1）1,a 取2,a 则2112,,42aa a211224,2aaa a（2）01,a 取12a，则2111,2,.24a a a211112,.242aa aa二、选择题例 3已知一次函数(2)1y a x 的图象不经过第三象限，则化简296a a 的结果是（ ）（A ） 1 （B ） 1 （ C ）25a( D) 52a 分析：||a ，再由0,0,0a a a 确定结果。

高考数学选择题技巧与方法2．特殊值法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.通过取特值的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，因而我们根据题意选取适当的特值帮助我们排除错误答案，选取正确选项。

例1．【2014年全国新课标Ⅰ，理8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】B解一：（直接法）∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B ．解二：（特值法）取6πβ=，则31sin6tan cos 6παπ+===，所以3πα=，代入选项验证得B 正确． 例2．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（44,0),1x 2,tan x θ<<若则的取值范围是（ ） （A ）)1,31( （B ）)32,31(（C ）)21,52(（D ）)32,52(解：考虑由P 0射到BC 的中点上，这样依次反射最终回到P 0，此时容易求出tan θ=21，由题设条件知，1＜x 4＜2，则tan θ≠21，排除A 、B 、D ，故选C ． 另解：（直接法）注意入射角等于反射角，……，所以选C ．例3．如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝（ ）（A ） 2n（B ） 2n -1 （C ） 2n -2（D ） (n －1)2n -1解：（特值法）当n ＝2时，代入得C 20＋C 22＝2，排除答案A 、C ；当n ＝4时，代入得C 40＋C 42＋C 44＝8，排除答案D ．所以选B ．另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有C n 0＋C n 2＋…＋C nn -2＋C n n＝2n -1，选B ．例4．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260解：（特例法）取m ＝1，依题意1a ＝30，1a ＋2a ＝100，则2a ＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选（C ）．例5．若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（ ） （A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q 解：取a ＝100，b ＝10，此时P ＝2，Q ＝23＝lg 1000，R ＝lg 55＝lg 3025，比较可知选P <Q <R例6【2012辽宁高考，理6】在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S （ ）A ．58B ．88C ．143D ．176【常规解法】481111111()11()111688222a a a a S ++⨯====【特值法】采用特值法取48=8a a =则{}n a 为公差为0每一项都等于8的常数列则11=118=88S ⨯例7【2009辽宁高考，理6】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若63S S =3则69SS = （ ）（（（A. 2B.73C.83 D.3【常规解法】由等比数列性质可知nS ，2nn S S -，32n n S S -为等比数列，设3S k =，则由633S S =可得63S k =然后根据等比数列性质进行求解。

特殊值法在高中数学解题中运用论文
浅谈特殊值法在高中数学解题中的运用
摘要：特殊值方法,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题中的某个特殊值,或某个特殊情形,经过简单的推理、判断或运算就可得到正确答案的方法。

在高考中,时间就是分数,解题的正确性与答题速度的快慢直接影响到总成绩。

关键词：数学；特殊值；解题
数学家希尔伯特曾讲过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起更为重要的作用。

”特殊化策略，将原问题视为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的分析解决而获得原问题的解决。

特殊化作为划归策略，基本思想方法是很简单的：对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常蕴涵着一般问题的解决方法。

所以，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法推广到一般问题上。

正如波利亚所说：“特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。

”从形式上看，将一般问题特殊化是不困难的，但是某个一般性问题经过不同的特殊化处理后会得到多个不同的特殊化命题。

特殊化策略是一种退的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体。

一、利用特殊值的数值解题
利用特殊值的数值解题时，在题设条件允许的范围内用具体的数。

浅谈特例殊法在数学中的运用高三级 数学科 陈鹏摘要：特例法在数学解题中的应用，有的数学题用一般法去解答很难求解甚至不知从哪里下手，这个时候如果选择特例法代入求解，就可以起到化难为易、简化思维量等效果。

关键词：特例法、概念、作用、解题、应用正文：在数学教学和数学解题中，有些问题从直接解题入手很难。

甚至不知从哪里入手，这个时候如果选择特例法代入求解，就可以起到化难为易、简化思维量等效果。

所谓特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理。

用特例法解题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

特例法教学的真谛与核心就是理论与实践相结合的互动式教学，学生通过对案例进行分析和解决实际问题的过程中获得启迪，逐渐归纳出一个有效的思维与逻辑。

从而达到学理论、懂理论、用理论三者之间的有机结合。

如在必修四2.5.1平面几何中的向量方法（课本P109页的例1）平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型的教学中。

如图，AD AB DB AD AB AC -=+=,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度 之间的关系吗？如果此题通过长度与模的关系，寻求向量中的基底表示，大部分学生可能觉得无从下手。

如果采用特例法，首先让学生去寻求长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？通过特例层层设问和质疑，把思维引向深入。

学生就能很快根据勾股定理去找到对角线的长度与两条邻边长度之间关系而达到解决问题目的。

同时把乏味、空洞、枯燥的学习通过特例设置直观有趣的质疑，刺激了学生的求知欲望，激发了学生的好奇心，在生疑、解惑中收获新的知识和能力，体会思考与创造带来的快乐，认识自己潜在的智慧与力量，也改变了教师一讲到底局面。

增强了教学互动，活跃了课堂气氛，激发学习兴趣和调动学生学习积极性。

特例法在数学教学与数学解题中要把握的最关键的环节是“如何选择合适的特例”个人认为要做到准确地选择特例首先就要知道特例法的三个特征：(一)、特例很少发生，但一旦发生，就能冲击现有的规则。

谈高中数学选择题的特殊解法摘要：选择题是高中数学的重要题型，它注重考查基础知识、基本技能、基本方法、逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力.解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做。

求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时除了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解.解选择题要注意选择题的特殊性，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，灵活、巧妙、快速求解.“快、准、巧”，而特殊化思想会让你的理想之门为你应声而开，在你的高考之中帮助你实现自己的理想。

关键词：特例法特殊函数法特殊数列法特殊点法特例法（通称特殊值法）：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，在一般情况下成立，则在特殊情况下一定成立！所谓“特殊遵循一般”是解决某些特殊问题的捷径，由此判明选项真伪、达到去伪存真之目的的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.特例法主要包括：特殊数值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特特殊点法等。

【点评】本题主要考查函数与其导函数的大小关系比较，没有具体函数，但我们只要掌握特殊遵循一般，化抽象为具体，从而使问题简单化、明朗化。

高考考查的是方法的灵活运用，最最忌讳的是小题大做，所以一些考生就会钻进牛角尖，进入死胡同，或者陷入计算或抽象的泥潭！也是命题者浚浚乐道用以“刁难”某些不灵活的考生的常用“伎俩”！所谓“特殊遵循一般”是解决某些特殊问题的捷径，尤其是在高中数学中，特殊化思想是解选择题一种重要的思想方法，所以在解题时特例取得愈简单、愈特殊愈好.从而让你的数学答题过程用时少、做题快，恰如行云流水，自然、顺畅！（作者单位：青岛市国开中学）。

特殊值在解题中的灵活应用高中数学的知识点很多，很多时候我们在解答数学题时，直接求解很难入手，或者运用理论解法求解时，因为大量的计算往往弄得焦头烂额，既浪费时间，又容易出现错误。

此时，或许最简单有效的方法就是运用特殊值法。

特殊值法在数学中是常见的一种方法，其解题的理论依据与逻辑基础是：若对一般情形成立，则对其中的特殊情形也成立；若某种特殊情形成立，则一般情形不一定成立；若对某特殊情形不成立，则对一般情形也不成立。

利用此方法可在短时间内解决问题，尤其是在争分夺秒的高考中，可舍弃一些选择题、填空题的解题过程，收到出奇制胜、事半功倍的效果；在一些一般性问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用。

下面举例说明。

例1已知f（x）=ax2+bx+c的值域、定义域所围成的是正方形，则a=。

解析：此题如果运用一般解法，一时很难找到思路，不妨将b、c代入特殊值求解。

取b=0，c=1。

则f（x）=ax2+1，由ax2+1≥0，得出定义域--1a≤x≤-1a，同时得出a<0。

由二次曲线及导数知识求得值域0≤f（x）≤1。

由題给出的条件值域、定义域所围成的是正方形，得到2-1a=1，计算得到a=-4。

例2设a、b、c都是正数，求证：an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp，其中n∈N，p、q、r都是非负整数，且p+q+r=n。

解析：欲证的不等式比较复杂，直接证明很难入手。

先考查p=2、q=1、r=0的特例，这时欲证的不等式为a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a。

不难看出，这个不等式可以利用“平均不等式”证明如下：因为2a3+b33≥3a3·a3·b3=a2b，同理2b3+c33≥b2c，2c3+a33≥c2a。

三式相加得：a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a。

再考查一般性问题，仿效上述特例的解答，由“平均值不等式”可知：pan+qbn+rcnn≥apbqcr，ran+pbn+qcnn≥arbpcq，qan+rbn+pcnn≥aqb rcp。

高中数学解题技巧归纳总结大全1高中数学解题技巧特值检验法对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

剔除法利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

2高一数学解题技巧学会画图画图是一个翻译的过程，把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。

有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。

尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。

因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。

先易后难，逐步增加习题的难度人们认识事物的过程都是从简单到复杂。

简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。

我们在学习时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的习题，以不断提高解题速度和解题能力。

随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。

限时答题，先提速后纠正错误很多同学做题慢的一个重要原因就是平时做作业习惯了拖延时间，导致形成了一个不太好的解题习惯。

所以，提高解题速度就要先解决“拖延症”。

比较有效的方式是限时答题，例如在做数学作业时，给自己限时，先不管正确率，首先保证在规定时间内完成数学作业，然后再去纠正错误。

这个过程对提高书写速度和思考效率都有较好的作用。

你习惯了一个较快的思考和书写后，解题速度自然就会提高，及改正了拖延的毛病，也提高了成绩。